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成人高考数学函数的最大及最小值
教学目标：1、使学生掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值；
　　　　　2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力
一、复习：
1、；2、
3、求3—27x的 极值。
二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小
观察下面一个定义在区间上的函数的图象
发现图中是极小值，是极大值，在区间上的函数
的最大值是，最小值是
在区间 上求函数 的最大值及最小值 的步骤：
1、函数 在内有导数 ；
2、求函数 在内的极值
3、将函数在内的极值及比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值
三、例1、求函数在区间上的最大值及最小值。
解：先求导数，得
令＝0即解得
导数的正负以及，如下表
X
－2
（－2，－1）
－1
（－1，0）
0
（0，1）
1
（1，2）
2

0
＋
0
－
0
＋

y
13

4

5

4

13
从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4
在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2　用边长为60的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？
例3、已知某商品生产成本C及产量P的函数关系为C＝100＋4P，价格R及产量P的函数关系为R＝25－0.125P，求产量P为何值时，利润L最大。
四、小结：
1、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再及端点的函数值进行比较。
五、练习及作业：：
1、函数在区间上的最大值及最小值
2、求函数在区间上的最大值及最小值。
3、求函数在区间上的最大值及最小值。
4、求函数在区间上的最大值及最小值。
5、给出下面四个命题
（1）函数在区间上的最大值为10，最小值为－
（2）函数（2＜X＜4）上的最大值为17，最小值为1　
（3）函数（－3＜X＜3）上的最大值为16　，　最小值为－16
（4）函数（－2＜X＜2）上　无　最大值　也无　最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、把长度为L 的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。
7、把长度为L 的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。
8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X元出售，可以卖出(200)件，应该如何定价才能使利润L最大？
9、在曲线1—X2(X0，Y0)上找一点了()，过此点作一切线，及X、Y轴构成一个三角形，问X0为何值时，此三角形面积最小？
10、要设计一个容积为V的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示：)
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