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第十章 平方根 立方根专项训练(二)

【例题精选】：

例1：求下列各数的平方根：
1）49 2）2.89 3）
解：1）∵ ∴49的平方根是
即
2）∵ 2.89的平方根是
即
3）∵
∴的平方根是 即
说明：1）求平方根时，根号前的“”号一定要写，若不写只表明是两个平方根中的那一个正根了，如是错的。
2）平方运算和开平方运算互为逆运算。
3）从平方运算入手，来求平方根的方法，只适用于被开方数是简单的完全平方数，对于一般数的开方就要查平方根表解决。

例2：求下列各数的算术平方根
1）121 2） 0.64 3） 4）
解：1）∵ ∴121的算术平方根是11
即
2）∵ ∴的算术平方根是
即
3）∵ ∴的算术平方根是
即
4）∵ 而 ∴25的算术平方根是5
即
说明：1）被开方数是带分数时，一般要化为假分数，这样运算较为方便。
2）求的算术根时，要将写成=25，即转化为求25的算术平方根 防止出现的算术平方根是－5的错误。

例3：求下列各式的值
1） 2） 3）
解：1）∵ ∴=12
2）∵ ∴
∴
3）∵ ∴
另法：先求的算术平方根
∵ ∴
∴
说明：由上述例题可知，必须注意根据题目的要求，严格区分符号，另外，只要求出一个正数的算术平方根再解决其它问题就容易了。
例4：求的平方根和算术平方根
解：的平方根是
的算术平方根是
说明：正数的平方根有两个为，其中的算术平方根。

例5：求中的
解：整理得 ∴
而 ∴

例6：下列各式中为何值时有意义
1） 2） 3）
分析：根据平方根的意义，负数没有平方根，因此被开方数必须为非负数（即大于等于零）。
解：1）∵负数没有平方根，要有意义得
2）同理：有意义，必须有
即
3）有意义一定要
即

例7：求的值
分析：含有字母的代数式中，字母的取值应使原式有意义，因为负数不能开平方，于是可以确定的值，进而求出此代数式的值。
解：∵负数没有平方根
由有意义，得；由有意义，得
∴
代入原式=0

例8：求下列各式的值
1） 2） 3）
4） 5） 6）
分析：开方是又一种代数运算，开方与乘方互为逆运算，故可以用乘方来检验运算是否正确。
解：1）∵ ∴
2）∵ ∴
3）∵ ∴
4）分式要化为最简分式：
∵ ∴
5）∵ ∴
6）∵
又 ∴

例9：已知，求的值
解：由算术平方根的定义得：
当且仅当

∴代入

例10：如果为正整数，为整数，求的最大值及此时的值
解：∵ ∴是不大于14的正整数
∵为整数 ∴是0到14之间的完全平数
它们是0、1、4、9
当取最大值9时，相应的的值也最大，即
当时，相应的最大
说明：1、在求平方根时，往往采用平方运算，所以1至20的整数的平方值应当牢记， 对求平方根运算是有益的。
2、整数的平方称为完全平方数，完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9这六个数，如果一个整数的末位数是2、3、7、8那么这个数肯定不是完全平方数。

例11：计算1） 2） 3）
解：1）
2）
3）
例12：已知 求的值
解：由平方根的意义得：
∵ ∴
∵ ∴
解方程组 ∴
经检验时
∴
注意：因为负数没有平方根，所以一定组成立方程组的解必须代入上述两个不等式检验是否成立，若有一不成立，则此题无解。

【专项训练】：
一、选择题：（单选题）
1、下列命题中，错误的命题个数是：
（1）正数、负数和零统称有理数
（2）无限小数是无理数
（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数
（4）实数分正实数和负实数两类
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
2、下列说法中正确的是：
A．因为的底数是负数，所以没有平方根
B．因为的平方是16，所以16的平方根是
C．因为零既不是正数也不是负数，所以零没有平方根
D．因为是负数，所以没有平方根
3、的平方根是：
A．5 B． C． D．
4、下列各式中正确的是：
A． B．
C． D．
5、如果则的值分别是：
A．2 和3 B．2和－3 C．2和 D ．
6、使式子有意义的是：
A．全体正数 B．全体负数 C．零 D．非零数
7、的平方根是：
A． B． C． D．
8、下列各式求值正确的是：
A． B．
C． D．
9、能使的平方根有意义的是：
A． B． C． D．
二、填空：
1、25的平方根是 －8的立方根是 。
2、的平方根是 的算术平方根是 。
3、平方根是它本身的数是 。
4、当x 时，在实数范围内有意义。
5、已知则 。
6、7是49的 ，化简 。
7、如果，那么的取值范围 。
8、已知，则 。
三、判断题：
1、无限小数都是无理数。
2、（）表示有理数。
3、带根号的数都是无理数。
4、非负整数是自然数。
5、一切实数的绝对值都大于零。
6、无理数就是开方开不尽而产生的数。
7、任何一个有理数都有数轴上的点与它相对应。
8、实数的倒数是。
9、数轴上的所有点都表示有理数。
10、的平方根是。
11、的平方根在实数范围内不存在。
12、两个绝对值不相等的无理数，其和、差、积、商仍是无理数。
四、已知，求的值。
五、为实数，试比较。
六、设是正整数且满足，求的值。

【答案】：

一、选择题：
1、C 2、D 3、D 4、C 5、C
6、C 7、D 8、B 9、 C

二、填空：
1、 2、 3、0；
4、 5、111 .8 6、算术平方根；
7、 8、7

三、判断题：
1、× 2、√ 3、× 4、×
5、× 6、× 7、√ 8、×
9、× 10、× 11、√ 12、×

四、解：∵ 只有当它们的值都等于零时，它们的和才能等于零，即当：

说明：是三个非负量，应加深对它们的理解并正确运用。

五、解：使为0的点把数轴分为三个段落，（数学上称为区间），在这三个区间内分别研究与的大小。
（1）当时，

则
∴
（2）当时
则
此时，若
若即
（3）当
则
∴
综上所述：当
当
当
注意：（1）在比较中不能判断绝对值内的代数式的值的符号时，先求它的零点，作为小段进行讨论，“零点讨论法”是一种重要的方法。
（2）题目解完时一定要进行小结。

六、解：将两边平方得

∵是无理数 ∴不可能是有理数
∴ ∴
因等式左边是算术平方根 ∴
故解得
注意：若成立（其中均为有理数，是无理数）则必有