数值分析：4.1－4.2Newton-Cotes求积公式.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 微积分的数值计算方法,Numerical Value Analysis,传统方法的困境,数值积分的基本思想,数值积分的一般形式,代数精度问题,求函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分,是微积分学中的基本问题。,返回章,4.1,基本概念,对于积分,但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象,:,传统方法的困境,以上这些现象,Newton-Leibniz,很难发挥作用,!,只能建立积分的近似计算方法,-,数值积分,正是为解决这样的困难而提出来的，,不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。,数值积分的基本思想,数值积分,-,是计算定积分的具有一定精度的近似值的各种计算方法。,从,几何上,看，就是计算,曲边梯形面积,的近似值。,最简单的办法，是用许多,小矩形之和,近似曲边梯形,的面积，如,图,7-0,所示，这就是,-,矩形公式,：,图,7-0,矩形规则,y,x,a=x,0,x,1,x,2,x,i,x,i,+1,x,n-,1,x,n,=b,f,0,f,1,f,2,f,i,f,i+,1,f,n-,1,f,n,f,(,x,),(1),图,7-1,梯形规则,x,a=x,0,x,1,x,2,x,i,x,i,+1,x,n-,1,x,n,=b,y,f,0,f,1,f,2,f,i,f,i+,1,f,n-,1,f,n,f,(,x,),如果改用许多小梯形之和近似曲边梯形的面积，如图,7-1,，就会更精确些，这就是,-,梯形公式,。,(2),积分中值定理,但 具体位置一般是不知道的，,称为函数,y=,f(x,),在区间,a,b,上的平均高度。,这样，只要对平均高度 提供一种算法，相应地,便获得一种数值求积方法。,一般地，我们取,a,b,内若干个节点处的高度的加权平均的,方法近似地得出平均高度。,数值积分的一般形式,数值积分的一般形式是：,其中，,f,i,-,是函数,f,(,x,),在节点,x,i,上的函数值，它可能以列表形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函数值；,A,i,-,称为节点,x,i,上的权系数，也称求积系数。,正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。,(3),记数值积分公式为,特点：,把求积过程（极限过程）转化为有限次的乘法与加法的代数运算。,x,i,为节点,，,A,i,为求积系数。,需要做的工作：,1.,确定节点和求积系数；,2.,估计余项；,3.,讨论公式的算法设计及其数值稳定性。,最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下,:,不同的,插值方法,有不同的,基函数,不同的表示形式,插值型求积公式,(1),式为数值求积公式,.,A,k,为求积系数,且仅与积分区间和求积节点,x,k,有关,.,也就是说，当被积函数,f,为次数不超过,n,的多项式时，其相应的插值型求积公式不是近似公式，而是准确公式。,当然期望公式能对越多的被积函数精确成立，并与此作为,判断求积公式“好”与“差”的一个标准。,判断求积公式“好”与“差”的标准,代数精度,因此定义代数精度的概念,:,定义,1.,若求积公式,则称该求积公式具有,m,次的代数精度,.,代数精度也称,代数精确度,可以证明，求积公式,不能准确成立,.,显然，一个求积公式的代数精度越高，,它就能对更多的被积函数,f(x,),准确成立，,从而具有更好的实际计算意义。,结论：,含有,n+1,个节点的插值型求积公式,的代数精度至少为,n.,例,1.,试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高,.,解,:,因此,所以该积分公式具有,3,次代数精确度,1,Newton-Cotes,公式,2,常用的,NC,公式,3.,Newton-Cotes,公式的稳定性,4.2,Newton-Cotes,求积公式,1,、,Newton-Cotes,数值求积公式,Newton-Cotes,公式是指等距节点下使用,Lagrange,插值,多项式建立的数值求积公式,各节点为,其中,而,因此对于定积分,有,令,即有,n,阶,Newton-Cotes,求积公式,Newton-Cotes,公式的余项,(,误差,),注意是等距节点,所以,Newton-Cotes,公式化为,Nowton,-Cotes,型求积公式的误差分析,定理,4.2.1,Newton-Cotes,求积公式的余项可表示为：,其中,其中,2,、低阶,Newton-Cotes,公式及其余项,在,Newton-Cotes,公式中,n=1,2,4,时的公式是最常用也,最重要三个公式,称为低阶公式,(1).,梯形公式及其余项,Cotes,系数为,求积公式为,上式称为,梯形求积公式,也称,两点公式,，记为,梯形公式的余项为,第二积分,中值定理,梯形公式具有,1,次代数精度,故,(2).Simpson,公式及其余项,Cotes,系数为,求积公式为,上式称为,Simpson,求积公式,，也称,三点公式或抛物线公式,记为,Simpson,公式的余项为,Simpson,公式具有,3,次代数精度,(3).Cotes,公式及其余项,Cotes,系数为,求积公式为,上式称为,Cotes,求积公式,，也称,五点公式,记为,Cotes,公式的余项为,Cotes,公式具有,5,次代数精度,常用的,NC,公式：,常用的,NC,公式,观察这些公式的代数精度阶数，自然会得出结论：,梯形规则简单，有,1,阶代数精度；,再增加一个节点，就是具有,3,阶代数精度的,Simpson,公式；,而,Simpson3-8,公式又增加一个节点，精度却没有提高。,所以，人们一般常用前两个方法。,Cotes,系数的性质,:,三、,Newton-Cotes,公式的稳定性,(,舍入误差,),考察,Cotes,系数,因此用,Newton-Cotes,公式计算积分的舍入误差主要由,其值可以精确给定。,记,而理论值为,即,Newton-Cotes,公式的舍入误差只是函数值误差的,此时,公式的稳定性将无法保证,因此,在实际应用中一般不使用高阶,Newton-Cotes,公式,而是采用低阶复合求积法,(,下节,),4.2,复化求积法,直接使用,Newton-Cotes,公式的余项将会较大,；,公式的舍入误差又很难得到控制。,为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法,然后在每个小区间上使用低阶,Newton-Cotes,公式，,最后将每个小区间上的积分的近似值相加。,一、复化求积公式,各节点为,记为,由,积分区间的可加性,得,复化求积公式,复化梯形公式,:,称为复化,Simpson,公式或复化抛物线公式,例,1.,解,:,为简单起见,依次使用,n=8,的复化梯形公式、,n=4,的复化,Simpson,公式,.,可得各节点的值如右表,0 1,0.125 0.99739787,0.25 0.98961584,0.375 0.97672674,0.5 0.95885108,0.625 0.93615564,0.75 0.90885168,0.875 0.87719257,1 0.84147098,分别由复化梯形、,Simpson,公式有,原积分的精确值为,精度高,精度低,比较两个,公式的结果,那么哪个复化求积公式的收敛最快呢？,二、复化求积公式的余项和收敛的阶,我们知道,两个求积公式的余项分别为,单纯的求积公式,复合求积公式的每个小区间,则复化梯形公式的余项为,由于,即有,比较两种复化公式的的余项,为此介绍收敛阶的概念,!,定义,1.,不难知道,复合梯形、,Simpson,公式的收敛阶分别为,2,阶、,4,阶,通常情况下,定积分的结果只要满足所要求的精度即可,See you next time!,应用数值分析,第四章,：,4.2.5,小节中的例题,及例题,4.3.1,；,习题,4.14.7,、,4.12,、,4.13,、,4.17,