线性代数考试练习题带答案.docx

线性代数试题集与答案解析
一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)
1.设向量组a1,
a2,
a 3线性无关，
则下列向量组中线性无关的是()。
(A) a 1
a 2
,a 2 a
3 , a 3 a 1
(B) a 1 ,
a 2
,a 3 + a
1
(C) a 1 ,
a 2
,2 a 13
a 2
(D) a 2 ,
a 3
,2 a 2 + a
3

正确答案：B
解答参考：A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与a1,a 2， a3等价，其秩为3, B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个 向量的线性组合，是线性相关向量组。
2.设提赫矩阵，田的行列式冈=。，则砰，
(A) 必有一列元素全为0；
(B) 必有两列元素对应成比例；
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。

正确答案：C 解答参考：
3,矩阵(0 1 11 2 ,0 111 0 ,0 1 3 1 4 ,1 1 0 11 )的秩为()。
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

正确答案：C
解答参考：
4,若矩阵(1 a 1 2, 11 a 2 ,1 0 1 2 )的秩为2,则a的值为。
(A) 0
(B) 0 或-1
(C) -1
(D) -1 或 1

正确答案：B
解答参考：
5,二次型 f( x 1
, x
2
,x
3 )=2 x
1 2
+5
x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2
8 x 2 x 3
，则f的矩阵为
O

(A)( 2 4
0
0
5
8
0
0 5
)

(B)( 2 4
0
0
5
4
0
4
5
)

(C)( 2 2
0
2
5
4
0
4
5
)

(D)( 2 4
0
4
5
4
0
4
5
)

正确答案：C 解答参考：

6.设A、 B为n阶方阵，且A与B等价，| A |=0，则r(B)
(A) 小于n
(B) 等于n
(C) 小于等于n
(D) 大于等于n

正确答案：A 解答参考：
7,若矩阵［1 2 23 ,11入3 ,1 0 23 ］的秩为2,则入的取值为
(A) 0
(B) -1
(C) 2
(D) -3

解答参考：
8.设a 1 , a 2 , a 3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也可作为A x=0的基础解系的是
(A) 2
(B) -2
(C) 1
(D) -1

正确答案：B 解答参考：
、判断题(判断正误，共6道小题)
9.设A ,B是同阶方阵，则AB=BA

正确答案：说法错误
解答参考：

10.若A是方阵，则| A | = | A T |。

正确答案：说法正确
解答参考：

11.如果矩阵A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。

正确答案：说法错误
解答参考：反例：A=( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 )，B=( 0 0 0 0 1 0 0 0 1 )
12.非齐次线性方程组Ax=b 一定有解。

正确答案：说法错误
解答参考：
13.若A、B是n阶非零方阵，且AB=0 ，则| A |=0或者| B |=0。

正确答案：说法错误
解答参考：
14.设入=0是n阶方阵A的特征值，则方程组Ax=0有非零解。

解答参考:
（注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客观题答案。）
三、主观题（共12道小题）
15. 设 a 1 =( 62 0 4 ) , a 2 =(3 1 5 7 )，则 3 a 12 a 2 =
参考答案：3 a 12 a 2 =( 248102 )
16. 设 a = ( 1 1 0 ) , A=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , B=( 1 0 0 3 2 2 )，则 aAB= 参考答案：aAB=( 0 14 )
:
设的为3阶坦阵，且满足1/31 = 3,则例牛,=;
参考答案：
1/3, 35
18.
向量组 1 =
1

.0.

2 •

1

..吃=
2
、气=
4
技4 =
2

是线性
的，它的一
个极大线性无关组是
参考答案：
相关（因为向量个数大于向量维数）。
因为a
3
=2
19.若水应=
a
a ] + a 2 ，A=I a i
则血方程组虫=Cl当—
时，
4
a彳| 尹0
此方程组只有零

解。
参考答案：r=n时，此方程组只有零解。
「％ 、
设A二炽_
2°. I.是分块对角矩阵，其中
Ak= ” '*& =1 ,2 3--- ?占），则榛
I, ?i" k 十 1
参考答案：（2n+1）!!
设矩阵
21.
1 2 .藻
0 4 5 ,£=
0 0 2
1 0 0
5 -1 0，则行列式|绸=
2 3. 1
参考答案：I AB |= 8
2 1 0'
若矩阵』二1 a 0为正定矩阵，贝脂的取修范围是. 0 0 a
22.L—
参考答案：a> 1/ 2
23.
求一个正文变换P』化二次型f （^u岌才的=2月'+ 3席/ + 3岌顶+ 4工哗
为标准形。
<2 0 CP

0 3 2
卜特征值：L 2 5,特征向量，1O
-1
p 2
0
；50
.0 2 3.

2
4.
设数列｛%"如[其中竺二1, 8]二—1, %二%_] +跑_.鸟=一％-1+4鸟_.
求％，如。
参考答案：
参考解答：
冗4）= ；2顶，特征向量t Pi =
(2\
<b

P~XAP = D =湖g；2,3；,弭=PDP~-?

1V2b'l
Ci

设两问量组；①强，电，遂,（）％,的网的秩为砒1） = 2，剧11） = 3,求
25.向量组"K + %的外
参考答案：
由敏D = 2顼（）二3知叫,璀线性无关且％可由叫，遂,线性表出.一-4
因而成；角，％,遂,a]=我01，唾,皿」=36
向量组叫&卜丐+电与皿1皿皿以4是等价的向量组，所以
R皿1皿皿十遮4 ] =310
26.用正交变换化二次型冲，%心）二夜‘ + 3送+ 3逡+蜘琮为标准型，并 求出所用的正交变换及f的标准型。问：这个二次型是否是正定的？为什么？
参考答案:
<20CP
二次型的矩阵为』=032
<02>
矩阵』的特征值为用=1, ^=2, =5
4

特征向量:

10

正交变换】 = Fy,二次型的标准形为了 =看十2有十5对11
因为矩阵旦的特征值均为正数「所以此二次型是正定的.12
本次作业是本门课程本学期的第3次作业，注释如下：
一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)
1.设 A 为 n 阶方阵，且 A2+A 5E=0,则(A+2E) 1=()。
(A) A E
(B) A+E
(C) 13(A E)
(D) 13(A+E)

正确答案：C
解答参考：A 2 +A 5E=0 A 2 +A 2E=3E ( A+2E )(A E)=3E( A+2E )
1 3 (A E)
2,若n维向量a 1 ,
a n线性相关，0为任一 n维向量，则()。
(A) a 1 , a 2 , , a n ,0 线性相关；
(B) a 1 , a 2 , , a n ,0 线性无关；
(C) 0一定能由a 1 , a 2 , , a n线性表示;
(D) a 1 , a 2 , , a n , 0的相关性无法确定。
正确答案：A

解答参考：
3,设线性方程组｛ 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 , 5 x 13 x 22 x 3
=1 )则此方程组。
(A) 有唯一解
(B) 有无穷多解
(C) 无解
(D) 有基础解系
正确答案：A 解答参考：

4.设n维向量组 a1, a2, , as，若任一 维向量都可由这个向量组线性表 出，必须有 。
(A) s= n
(B) s< n
(C) s> n

正确答案：D 解答参考：
5.设a 1 ,a2 ,a3 ,0,y都是4维列向量，且4阶行列式| a 1 , a 2 ,a
3 , 0 |=a ,|y ,a1 , a 2 , a 3 |=b，则 4 阶行列式 | a 1 , a 2 , a3
,0 + Y | =
(A) a+b
(B) a b
(C) a
(D) b a

正确答案：C
解答参考：
6. 设 B,C 为 4 阶矩阵，A=BC , R(B)=4 , R(C)=2，且 a 1 , a 2 , a 3 是线性方 程组Ax=0的解，则它们是
(A) 基础解系
(B) 线性相关的
(C) 线性无关的
(D) A,B,C都不对

正确答案：B 解答参考：
7. 设 n 维列向量 a= ( 1 2 ,0, , 0, 1 2 ) T，矩阵 A=I a a T , B=I+2a a T
，则 AB=
(A) 0
(B) I
(C) I
(D) I+a a T

正确答案：C 解答参考：
8.
设矩阵也5的秩尸(A) = m,下述结论中正确的是
(A)
/的任意酬个列向量必线性无关m
(B)
只的任意一个部阶子式不等于零3
(0
齐次方程组Ax= 0H有零解9
(D)
非齐次方程组=由必有无穷多解.

正确答案：D
解答参考：