圆锥曲线(椭圆)专项训练(含答案).docx

圆锥曲线椭圆专项训练
【例题精选】：
例1求下列椭圆的标准方程：
(1) 与椭圆x2 4y2 16有相同焦点，过点P(v5,；6)；
(2) 一个焦点为(0，1)长轴和短轴的长度之比为t；
(3) 两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为＜3 o
(4) e 0.8,2c 16.
例2已知椭圆的焦点为F (0, 1), F (0,1),a 2。12
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 设点P在这个椭圆上，且|PF「|PF「1,求：tg F1PF2的值。
例3已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的3。
求：椭圆的离心率。
小结：离心率是椭圆中的一个重要内容，要给予重视。
例4已知椭圆M y2 1，过左焦点F1倾斜角为Z的直线交椭圆于A、B两点。916
求：弦AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。
小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。
X2 y2
例5过椭圆# — 1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线方程。164
小结：有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法，也叫“设而不求”。
例6已知A(4,0)、B(0,5)是椭圆二 二1的两个顶点，C是椭圆在第一象限内部分上的一1625
点，求ABC面积的最大值。
小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。(圆中用直
径性质或弦心距)。要有耐心，处理好复杂运算。
【专项训练】：
一、选择题：
1. 椭圆2x2 3y26的焦距是()
A. 2B. 2(3、①C. 2 甚D. 2仃3 点)

2. F1、F2是定点，饵F2I=6,动点M满足|MF1| + |MF2I=6,则点M的轨迹是 （）
A.椭圆B.直线C.线段D.圆
3. 若椭圆的两焦点为（- 2, 0）和（2, 0）,且椭圆过点（5, j,则椭圆方程是（）
5.
过椭圆4x2
焦点F构成
2
A.顼 B.2
6.
2y2 1的一个焦点F］的直线与椭圆交于A、B两点
ABF，则ABF的周长是（）
2
C.D. 1
x2
则A、B与椭圆的另一
7.
x2
已知k <4,则曲线甘
B.相同的焦点
虹 1上的一点
36
A.相同的准线
已知「是椭圆盐
y2
1有（ ）
4 k
C. 相同的离、率 D.
相同的长轴
若p到椭圆右焦点的距离是354,则点p到左焦点的距
8.
离是
A. i6B. 66C.
5 5
x2
75d.
8
77
8
若点P在椭圆
y2
1 上，F1、
F2分别是椭圆的两焦点，且F1PF
90，则 F PF

A.

1B. 21 挡 1C.旦挡 1D.
x2y2_
一 —1

8
4
10648
106

4.方程
x2
ky2
2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是
(
)
A.
(0,
)
B.(0,2)C.(1,+8)D.
(0, 1)

的面积是
B.1
A. 2
9.
椭圆4x2
9y2
144内有一点P （3
2）过点P的弦恰好以？为中点
则这弦所在直线的方

程为
A. 3x
2y
12 0
B.
2x 3y 12 0
C. 4x
9y
144 0
D.
9x 4y 144 0
10.椭圆U
16
A. 3
、填空题:
y2
4
1上的点到直线x
2y
0的最大距离是
<10

x2
11.椭圆甘
y2

…一一1
1的离心、率为2
Li

-X2
12. 设P是椭圆彳y2 1上的一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，则|PFJ|PFJ的最大值为；
最小值为。
13. 直线y=*-l被椭圆*2+4y2=4截得的弦长为。
14、椭圆3x2 7y221上有一点P到两个焦点的连线互相垂直，则P点的坐标是
三、解答题：(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 已知三角形ABC的两顶点为B( 2,0)。(2,0)，它的周长为10,求顶点A轨迹方程.
16、椭圆的一个顶点为A(2, 0),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.
17、中心在原点，一焦点为F (0, 5三)的椭圆被直线y=3*-2截得的弦的中点横坐标是1 ,求
12
此椭圆的方程。
18. 求F］、F2分别是椭圆不 y2 1的左、右焦点.
(I) 若r是第一象限内该数轴上的一点，PT2 PF^2 5,求点P的坐标；
124
(II) 设过定点M (0,2 )的直线l与椭圆交于同的两点A、B,且ZAoB为锐角(其中O为作标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.
xOy中，经过点(0寸2)且斜率为k的直线l与椭圆三 y2 1有两个不同的交点P和Q .
(I) 求k的取值范围；
(II) 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A, B ,是否存在常数k,使得向量
面 可 与应共线.如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.
20.椭圆41 IL1a > b > 0与直线x y 1交于P、Q两点，且OPOQ ，其中O为坐
a 2 b2
标原点.
(1)求才 £的值；(2)若椭圆的离心率。满足导< e J*，求椭圆长轴的取值范围.
圆锥曲线椭圆专项训练参考答案
x
例1(1)布
L U
【例题精选】：
(2)(t21)y2(t21)x21(3)^212域22三 1
t2129129

亳1即M以
36 36 1
(4)挡 ；1即挡 4 1.(5)工
17
25
可利用余弦定理求得
例 2 ⑴丁 3、^|PF |2|PF |2|F F |2
cos F PF 121—2—
122-|PF ||PF |
X2
例4已知椭圆亏 y2
12
1,过左焦点F］倾斜角为百的直线交椭圆于A、B两点。
求：弦AB的长，左焦点F］到AB中点M的长。
解：a 3,b 1,c 2j2
小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。
例 5 *+2y-4=0
例6解：设C点坐标为（气,七）
则25x12 16y「4过A、B的直线方程是： 三1
小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。
【专项训练】：
一、 选择题：ACD DABB BBD
13、罕 14*、岑
3
,2
填空题11、3或当
12、 41
15、X 2y 2,、
1 （x3）
95
16、解：（1）当心）为长轴端点时，。
l2，右=1，椭圆的标准方程为：
—+ — = 1
41；

（2）当^（20）为短轴端点时，3 = 2,度=4，椭圆的标准方程为：416；
17、设椭圆：业止 i (a>b>0 )，^ ij a2 + b2=50...①a2 b2

.•*
=1
0
又设^ (*1, y1), B (*2,
y2)，弦 AB 中点(*0, y0)
•••yo=：
土业1
由 a2 b2 y1 y2
翌翌]a2
a2 b2
顼kAB耳一与3 a2 3b2…②b2 ABx1X2 b2yo
解①，②得：a2=75, b2=25,椭圆为：土号=1
18、(1)易知劣 2, b 1, c \；3.
F1 ( 一3, 0), F2 Q3, 0).设 P (x, y) (x0, y 0) .则
PF PF ( *，'3x, y)G'3 x, y)X2 y2 3
5
x2

,
又二
y2
1,
4
4

x2
y2
7
4 x2
1
x
联立

，解得
3

x2

1 y2
-
y
4
y2
4

巨P (净.
T
12

(II)显然X 0不满足题设条件.可设l的方程为y kx 2,设A(x,y), B (x ,y ).
1122
x2
联立4
y
y2
kx
x2
4(kx 2)2 4
(1 4k2)x2 16kx 12 0

x x ———, x x 'I* 由(16k)2 4 (1 4k2) 12
1214k21214k2
16k23(14k2)0,4k230,得 k2 [.①
12(1 k2)
1 4k2
2k 16k
1 4k2
4^ 0... 1
1 4k2 4
k2 4 .②

又 AOB 为锐角 cos AOB 0 OA OB 0,
/. OT OT x x
yy
0又y y
(kx
2) kx 2)
k2x x
2k(xx ) 4
1 2
12
12
1
2
12
12
••• x x y y (1
k2)x
x 2k (x
x )
4(1 k2)
—
2k ( 16k) 4
1212
1
21
2

1 4k2
1 4k2

3 ,
综①②可知4 k2
4,.・.k的取值范围是（2, f）UC^,2）

19. 解：（1）由已知条件，直线l的方程为y kx 点，
代入椭圆方程得§ (kx <2)2 1.整理得1k2 x2 2<7kx 1 0①
22
直线1与椭圆有两个不同的交点p和Q等价于8k2 42 k2 4k2 2 0,
解得k或k ^g.即k的取值范围为°°,U ^~，°°
2222

(II)设p(xi，yi)，
Q (x, y ),则匝应(x
221

4寸2k
1 2k2 .

②” y k(x x ) 2<2.
1212
而 A(VX0), B(Q1),AT( 72,1).

所以OF可与MB共线等价于xx
12
V2(y1
2
y2）,将②③代入上式，解得k %—
由（I）知k g或k
上厂，故没有符合题意的常数k.
20、解析]：设P(x,y ),P(x ,y ),由 OP 1 OQ
y 1
1
x2
a2
x , y
12
1122
x，代入上式得：2x x21 2
(x :
1
2
a2
C2
b2
b2
'—
a2
1
—b2
1
2
b2
r b2
1 [
e2
—
1 一
-1
一
-

一

a2
a2
3
a2
2
2
a2

-2

3
（―

1—
1 一
1
_1_
5
一 a2
v5
a
.、. 6

—
—
2
2a2
1 3
4
2
2

2

b2)
⑵
1
b2)
3,又由
(a2 b2)x2 2a2x a2 1
土 1
b2
a2 1
a2
—
2a2 1
,.••长轴 2a6 [近&].
* 1 * 2 + y1 y2 = 0
①又将y 1
0, x
1
乂代入
a2 b2
(1)知 b2