大学高数常用公式大全全面版.doc

大学高数常用公式大全全面版资料
高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：

一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

·正弦定理： ·余弦定理：

·反三角函数性质：

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分的近似计算：

定积分应用相关公式：
。
空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用

微分法在几何上的应用：
方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法：

重积分及其应用：

柱面坐标和球面坐标：

曲线积分：

曲面积分：

高斯公式：
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

常数项级数：

级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛：

幂级数：

函数展开成幂级数：

一些函数展开成幂级数：

欧拉公式：

三角级数：

傅立叶级数：

周期为的周期函数的傅立叶级数：

微分方程的相关概念：

一阶线性微分方程：

全微分方程：

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)式的通解
两个不相等实根

两个相等实根

一对共轭复根

0二阶常系数非齐次线性微分方程

1、行列式
1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、和的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；
3. 代数余子式和余子式的关系：
4. 设行列式：
将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；
将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；
将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；
将主副角线翻转后，所得行列式为，则；
5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积；
③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；
④、和：副对角元素的乘积；
⑤、拉普拉斯展开式：、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
7. 证明的方法：
①、；
②、反证法；
③、构造齐次方程组，证明其有非零解；
④、利用秩，证明；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1. 是阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组有非零解；
，总有唯一解；
与等价；
可表示成若干个初等矩阵的乘积；
的特征值全不为0；
是正定矩阵；
的行（列）向量组是的一组基；
是中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于阶矩阵： 无条件恒成立；
3.

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：
若，则：
Ⅰ、；
Ⅱ、；
②、；（主对角分块）
③、；（副对角分块）
④、；（拉普拉斯）
⑤、；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
6. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；
等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵、，若；
7. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
8. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、 若，则可逆，且；
②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；
③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；
9. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；
③、对调两行或两列，符号，且，例如：；
④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；
⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；
10. 矩阵秩的基本性质：
①、；
②、；
③、若，则；
④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、；（※）
⑥、；（※）
⑦、；（※）
⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）
Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵，则；
11. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
②、型如的矩阵：利用二项展开式；
二项展开式：；
注：Ⅰ、展开后有项；
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质：；
③、利用特征值和相似对角化：
12. 伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：；
②、伴随矩阵的特征值：；
③、、
13. 关于矩阵秩的描述：
①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）
②、，中有阶子式全部为0；
③、，中有阶子式不为0；
14. 线性方程组：，其中为矩阵，则：
①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；
②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；
15. 线性方程组的求解：
①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特解：自由变量赋初值后求得；
16. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：
①、；
②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）
③、（全部按列分块，其中）；
④、（线性表出）
⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
17. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；
个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
18. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）
③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）
19. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)
20. ；(例15)
21. 维向量线性相关的几何意义：
①、线性相关 ；
②、线性相关 坐标成比例或共线（平行）；
③、线性相关 共面；
22. 线性相关与无关的两套定理：
若线性相关，则必线性相关；
若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：
若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
23. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；
向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）
向量组能由向量组线性表示
有解；
（定理2）
向量组能由向量组等价（定理2推论）
24. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；
①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解
②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；
③、矩阵等价：（、可逆）；
25. 对于矩阵与：
①、若与行等价，则与的行秩相等；
②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵的行秩等于列秩；
26. 若，则：
①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；
②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）
27. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、 只有零解只有零解；
②、 有非零解一定存在非零解；
28. 设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）
（）
其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性：；充分性：反证法）
注：当时，为方阵，可当作定理使用；
29. ①、对矩阵，存在， 、的列向量线性无关；（）
②、对矩阵，存在， 、的行向量线性无关；
30. 线性相关
存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）
有非零解，即有非零解；
，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
31. 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；
32. 若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）
5、相似矩阵和二次型
33. 正交矩阵或（定义），性质：
①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；
②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；
③、若、正交阵，则也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；
34. 施密特正交化：
；

;
35. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；
36. ①、与等价 经过初等变换得到；
，、可逆；
，、同型；
②、与合同 ，其中可逆；
与有相同的正、负惯性指数；
③、与相似 ；
37. 相似一定合同、合同未必相似；
若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；
38. 为对称阵，则为二次型矩阵；
39. 元二次型为正定：
的正惯性指数为；
与合同，即存在可逆矩阵，使；
的所有特征值均为正数；
的各阶顺序主子式均大于0；
；(必要条件)

高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：

一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

·正弦定理： ·余弦定理：

·反三角函数性质：

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分的近似计算：

定积分应用相关公式：

空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用

微分法在几何上的应用：
方向导数与梯度：
多元函数的极值及其求法：

重积分及其应用：
柱面坐标和球面坐标：
曲线积分：

曲面积分：
高斯公式：

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

常数项级数：

级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛：

幂级数：
函数展开成幂级数：
一些函数展开成幂级数：

欧拉公式：

三角级数：

傅立叶级数：

周期为的周期函数的傅立叶级数：

微分方程的相关概念：
一阶线性微分方程：

全微分方程：

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)式的通解
两个不相等实根

两个相等实根

一对共轭复根

二阶常系数非齐次线性微分方程

公式一

1　 众数【MODE】
40. 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算
未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。

41. 组距分组数据众数的计算
对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。
下限公式：
式中：表示众数；L表示众数的下线；表示众数组次数与上一组次数之差；表示众数组次数与下一组次数之差；表示众数组的组距。
上限公式：
式中：U表示众数组的上限。

2．中位数【MEDIAN】
（1）未分组数据中中位数的计算
根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。设一组数据按从小到大排序后为，中位数，为则有：
当N为奇数
当N为偶数

（2）分组数据中位数的计算
分组数据中位数的计算时，要先根据公式N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：

式中：表示中位数；L表示中位数所在组的下限；表示中位数所在组以下各组的累计次数；表示中位数所在组的次数；表示中位数所在组的组距。

3．均值的计算【AVERAGE】
（1）未经分组均值的计算
未经分组数据均值的计算公式为：
（2）分组数据均值计算
分组数据均值的计算公式为：
4．几何平均数【GEOMEAN】
几何平均数是N个变量值乘积的N次方根，计算公式为：

式中：G表示几何平均数；表示连乘符号。

5．调和平均数【HARMEAN】
调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。
简单调和平均数：
加权调和平均数：
式中：H表示调和平均数。

6．极差【Range】
极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即

式中：R表示极差；和分别表示一组数据的最大值与最小值。

7．平均差【Mean Deviation】
平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。
1.1　 根据未分组资料的计算公式：
1.2　 根据分组资料的计算公式：
式中：AD表示平均差

8．方差【Variance】和标准差【Standard Deviation】
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。
未分组数据方差的计算公式为：
分组数据方差的计算公式为：
式中：表示方差。

方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：
未分组数据：
分组数据：
式中：表示标准差。
9．离散系数
离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。
其计算公式为：
式中：表示离散系数。
10．偏态【SKEW】
偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。
EXCEL中偏态系数的计算公式为：
11．峰值【KURT】
EXCEL中峰值系数的计算公式为：

式中：s 表示样本标准差。

公式二
1． 均值估计
（1）样本均值的标准差
样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差,它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。
样本均值的抽样平均误差计算公式为：
重复抽样方式：
不重复抽样方式：
通常情况下，当N很大时，（N-1）几乎等于N，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：

在公式中，是总体标准差。但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S代替。
（2）大样本均值的极限误差
（3）大样本下总体均值的区间估计
总体均值的置信度为（）的置信区间：
即
（4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计
总体均值的置信度为（）的置信区间：

即
2．比例估计
（1）样本比例的抽样平均误差
样本比例的抽样平均误差为：
重复抽样下：
上式中，p应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p代替。
不重复抽样下：
（2）样本比例的抽样极限误差

（3）总体比率的区间估计
总体比例P的置信度为（）的置信区间为：

即

3． 总体均值检验
（1） 单一总体均值检验
①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验
检验统计量Z为：
②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验
检验统计量t为：

（2） 两个总体的均值检验
①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本
Z检验统计量为：

大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。
②两个正态总体均值检验（小样本）——两个总体方差未知但相等
T检验统计量为：

其中： ；

4． 总体比例检验
（1） 单一总体的比例检验
Z检验统计量：
（2） 两个总体比例的检验
检验的统计量为：
其中：，为当时和的联合估计值。
5． 总体方差假设检验
（1） 单一正态总体方差的假设检验
检验统计量为：
其中：为的估计量。
（2） 两个正态总体的方差假设检验
检验统计量为：
其中： ； 。

公式三

设总体共分为k种处理进行观察，第j种处理试验了容量为的样本。
（1） 计算各项离差平方和
在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平项离差平方和。
总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total ）代表：

式中：表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为：

误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表：

式中：表示第j种水平的样本均值，
水平项离差平方和。为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A。于是水平项离差平方和可以用SSA（Sum of Squares for Factor A）表示。
SSA的计算公式为：
（2） 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（n-1）；对SSA来说，其自由度为（r-1），这里r表示水平的个数；对SSE来说，其自由度为（n-r）。与离差平方和一样，SST、SSA、SSE之间的自由度也存在着如下的关系：
n-1=（r-1）+（n-r）
对于SSA，其平均平方MSA（组间均方差）为：
对于SSE，其平均平方MSE（组内均方差）为：
（3） 检验统计量F

2．两因素方差分析
设两个因素A、B分别有k个水平和n个水平，共进行nk次试验。
（1） 计算各项离差平方和
在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平A、B项离差平方和。
总离差平方和，用SST（Sum of Squares for Total）代表：
式中：表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为：
水平项离差平方和可以分别用SSA（Sum of Squares for Factor A）和SSB（Sum of Squares for Factor B）表示。
SSA的计算公式为：
式中：
SSB的计算公式为：
式中：
误差离差平方和，用SSE（Sum of Squares for Error）代表：

（2） 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。对SST来说，其自由度为（nk-1）；对SSA来说，其自由度为（k-1），这里k表示水平A的个数；对SSB来说，其自由度为（n-1），这里n表示水平B的个数；对SSE来说，其自由度为（n-1）（k-1）。这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方：

（3） 检验统计量F

公式四
1．拟合优度的检验统计量：

式中：表示类别i的观察频数；表示假设为真时，类别i的期望频数；k表示类别总数。
注意：当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的分布。

数控车床常用计算公式
　　直径Φ 倒角量a 角度θ 正切函数tanθ 正弦函数sinθ 余弦函数cosθ 圆弧半径R 乘以号x
　　除以号÷ 先运算()内结果，再运算【】，再运算全式

　　一、外圆倒斜角计算
　　公式例子：Φ30直径外端倒角1.5x60°程式：GoX32Z2
　　1，倒角起点直径
　　2，倒角起点长度Z=0其中tan60°由数学用表查出
　　3，倒角收点直径X=Φ；G1Z-50
　　4，倒角收点长度Z=-a。。。。。。

　　二、内圆倒斜角计算
　　公式例子：Φ20孔径外端倒角2x60°程式：GoX18Z2
　　1，倒角起点直径
　　2，倒角起点长度
　　3，倒角收点直径X=Φ；G1Z-30
　　4，倒角收点长度Z=-a。。。。。。

　　三、外圆倒圆角计算
　　公式例子：Φ35直径外端圆角R3程式：GoX36Z2
　　1，倒角起点直径
　　2，倒角起点长度
　　3，倒角收点直径X=Φ；G1Z-30
　　4，倒角收点长度Z=-R。。。。。。

　　四、内圆倒圆角计算
　　公式例子；Φ20孔径外端圆角R2程式：G0X18Z2
　　1，倒角起点直径
　　2，倒角起点长度
　　3，倒角收点直径X=Φ；G1Z-25
　　4，倒角收点长度Z=-R。。。。。。

　　五、G90、G92数控指令R锥度值的计算：
　　例子：大端Φ35小端Φ32锥体长20牙长16mm让刀3mm加工
　　1、计算图上锥度比例值：（32-35）程式；G0X37Z3
　　（起始端直径-收点端直径）÷锥体长度
　　2、计算G92实际R值（车牙时，起始端至收点端的半径差）：（16+3）
　　锥度比例值x1/2x（有效牙长度+让刀位置）
　　3、G92的收刀点直径：35+（-0.15X(20-16））
　　锥体收点端直径+锥度比例值x（锥体长度—有效螺纹长度）—2x牙高。。。。。

　　六、球冠的高度计算公式：
　　1、当截面为劣弧时。球冠高度=R-【R2-（X/2)2)】的方差的平方根

　　2、当截面为优弧时。球冠高度=R+【R2-（X/2)2)】的方差的平方根

　　例如：Φ35外径前端车制一个R50的圆弧面
　　弓高=R50-【R50乘方-（35/2)乘方】的方差的平方根
　　程序：S800M3G99T0101
　　G0X36Z2

　　N10G0X0
　　N20G1Z0

　　N40G1X36

　　G0X100Z50
　　M5
　　M30
　　例如：Φ40棒料车制尾柄为Φ18的R20的球体
　　弓高=R20+【R20乘方-（18/2)乘方】的方差的平方根
　　程序：S800M3G99T0101
　　G0X41Z2

　　N10G0X0
　　N20G1Z0
　　N30G3X40Z-20R20
　　N40G1X41

　　G0X100Z50
　　T0202

　　N50G0Z-20
　　N60G1X40

　　G0X100Z50
　　M30

　　七、锥体与球体结合体的接点计算：
　　1、顶端X=0Z=0
　　2、圆弧与锥体相切点X=2xRxcosθ°
　　Z=-（1-Sinθ°）xR
　　收点端X=锥体大端ΦZ=-(Φ-切点X)÷2÷tanθ+切点的Z
　　例如；Φ32棒料车制一个前端为R3的60度顶尖
　　圆弧与锥体切点
　　Z=-（）
　　锥大端=32
　　锥体大端=-（）÷2÷0.57733+（）

　　程序：S700M3G99T0101

　　N10G0X0
　　N20G1Z0

　　G0X100Z50
　　M5
　　M30

　　八、锥台圆角的计算：
　　1、起始端X=Φ-2R【(1-sinθ)*tanθ-cosθ】Z=0
　　2、切点X=Φ+2R(1-sinθ)*tanθZ=-（1-Sinθ）*R
　　3、收点X=锥体大端直径ΦZ=-(Φ-切点X)÷2÷tanθ+切点的Z（也就是锥长）

　　九、大圆弧R与小圆弧r的接合：
　　1、起始端X=0Z=0
　　2、切点XZ见上图
　　3、收点X=ΦZ=见上图
　　例如直径100棒料车R80大球端，r10卷边
　　S500M3T0101G99
　　G0X102Z2
　　，25

　　N10G0X0
　　N20G1Z0

　　N50G1Z-23

　　G0X150Z50
　　M5
　　M30