八决策与对策模型PPT课件.ppt

8.决策与对策模型工程、经济、管理、军事以及社会生活诸领域中经常遇到决策和对策问题.每个方案有确定结果,要选出使决策目标达到最优的方案.确定性决策风险性、非确定性决策每个方案结果是随机的,要选出使目标平均值达到最优的方案.存在多个决策者并且他们的决策相互影响.只一个决策者非合作对策与合作对策8.1多属性决策与层次分析法8.2风险性决策与非确定性决策8.3非合作对策8.4合作对策8.决策与对策模型8.1多属性决策与层次分析法多属性决策（MADM）（MultipleAttributeDecisionMaking）为一特定目的在备选方案中确定一个最优的(或给出优劣排序、优劣数值),而方案的优劣由若干属性(准则、特征、性能)给以定量或定性的表述.多属性决策应用领域非常广泛国家综合实力评价大学排名榜公司新厂址选择个人工作岗位抉择8.1多属性决策与层次分析法层次分析法（AHP）（AnalyticHierarchyProcess）针对经济、社会领域作比较判断时主观因素作用较大,准则和方案的重要性难以量化的情况.Saaty于20世纪70年代提出,稍晚于多属性决策.定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法.在实际应用领域、处理问题类型、具体计算方法等方面,与多属性决策有不少类似和相通之处.8.1.1多属性决策(MADM)的问题与要素8.1.2多属性决策的决策矩阵与属性权重8.1.3多属性决策几种主要的综合方法8.1.4层次分析法8.1.5多属性决策问题的求解8.1.6多属性决策和层次分析法应用中的几个问题8.1多属性决策与层次分析法8.1.1多属性决策(MADM)的问题与要素对待选汽车作出综合评价,为选购确定决策.汽车选购确定3个属性(指标)经济适用、性能良好、款式新颖对3个属性在汽车选购中的重要性有大致比较.对待选汽车在每一属性中的优劣程度有基本判断.基于实际背景提出几个案例:申报晋升者根据在每项属性中所处等级对号入座取得分值,计算总分,根据总分确定能否晋升.职员晋升工作年限、教育程度、工作能力、道德品质每一属性分为若干等级:年限、程度用入职时间和学历分级,能力、品质按照优、良、中划分.确定4项属性在职员晋升中的权重，及每项属性中各个等级的分值.确定4项属性(指标)对学生宿舍设计方案的评价（全国大学生数学建模竞赛2010D题）学生宿舍的设计必须考虑以下问题：经济性：建设成本、运行成本和收费标准等.舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等.安全性：人员疏散和防盗等.附件给出4种比较典型的学生宿舍的设计方案.请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较.8.1.1多属性决策(MADM)的问题与要素要素：1.决策目标、备选方案与属性集合2.决策矩阵3.属性权重4.综合方法1.确定属性集合的一般原则：全面考虑,选取影响力(或重要性)强的.属性间尽量独立(至少相关性不太强)不选难以辨别方案优劣的(即使影响力很强).若数量太多(如大于7个),应将它们分层.尽量选可量化的,定性的也要能明确区分档次.2.决策矩阵以方案为行、属性为列、每一方案对每一属性的取值为元素构成的矩阵.表示方案对属性的优劣(或偏好)程度.可以定量的属性只能定性的属性3.属性权重对目标影响力(或重要性)的权重分配将决策矩阵与属性权重加以综合,得到最终决策的数学方法.4.综合方法要素：1.决策目标、备选方案与属性集合2.决策矩阵3.属性权重4.综合方法8.1.2多属性决策的决策矩阵与属性权重3个属性为选购准则价格X1,性能X2,款式X3汽车选购3个方案供决策选购的汽车型号A1,A2,A3dijX1X2X3A12597A21877A31255dijAi对Xj的取值(原始权重)3种汽车价格(万元):25,18,123种汽车性能(打分,10分满分):9,7,53种汽车性能:7,7,51）决策矩阵及其标准化m个备选方案A1,A2,Am决策矩阵dijAi对Xj的取值决策矩阵的获取调查、量测各方案对属性的取值(定量,偏于客观).决策者打分评定或用层次分析法的成对比较得到(定性,偏于主观).8.1.2多属性决策的决策矩阵与属性权重n个属性X1,X2,Xn汽车选购1）决策矩阵及其标准化决策矩阵D的列各方案对某属性的取值(属性值).各属性物理意义(包括量纲)不同效益型属性对费用型的属性值dij作倒数变换将全部属性统一为效益型.性能X2,款式X3费用型属性标准化第1步：区分价格X1决策矩阵标准化R的列最大值为1最大化R的列和为1归一化R的列模为1模一化1）决策矩阵及其标准化标准化第2步：对dij作比例尺度变换当且仅当dij=0时才有rij=0R标准化的决策矩阵比例变换假定:属性的重要性随属性值线性变化.2）属性权重的确定w1,w2,wn属性X1,X2,Xn的权重，用层次分析法的成对比较得到.偏于主观根据决策目的和经验先验地给出.信息熵法偏于客观熵信息论中衡量不确定性的指标，信息量的(概率)分布越一致，不确定性越大.R归一化的每一列各方案对Xj信息量的(概率)分布.2）属性权重的确定方案关于属性Xj的熵rij=1/m时Ej=1.属性Xj对于方案的区分度rij只有一个1其余为0时Ej=0rij(i=1,2,m)相差越大,Ej越小,Xj越能辨别优劣.Xj的权重(归一化的区分度)Xj对于辨别方案优劣不起作用.Xj最能辨别方案优劣.汽车选购2）属性权重的确定X1X2X30.22360.42860.3684rij0.31060.33330.36840.46580.23810.26323种汽车价格X1取值相差最大,款式X3取值相差最小.w1最大rij(i=1,2,m)的均方差可作为区分度Fj(m较大时).归一化Ej0.95940.97490.9895Fj0.04060.02510.0105wj0.53300.32930.1377w3最小8.1.3多属性决策几种主要的综合方法方案对目标的权重（综合取值）综合方法决策矩阵属性权重+1.简单加权和法(SAW,SimpleAdditiveWeighting)方案Ai对n个属性的综合取值为对决策矩阵采用不同的标准化,得到的结果会不同.2.加权积法（WP,WeightedProduct）可直接用方案对属性的原始值dij,不需要标准化.若效益型属性的权重取正值，则费用型属性的权重应取负值.将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：3.接近理想解的偏好排序法(TOPSIS,TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）n个属性、m个方案视为n维空间中m个点的几何系统每个点的坐标由各方案标准化的加权属性值确定.决策矩阵模一化,以便在空间定义欧氏距离.正理想解(最优方案)由所有最优加权属性值构成.负理想解由所有最劣加权属性值构成.定义距正、负理想解距离的数量指标:相对接近度.按照相对接近度确定备选方案的优劣顺序.汽车选购统一为效益型的决策矩阵用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序R最大化R归一化R模一化属性权重取信息熵法结果:w=(0.5330,0.3293,0.1377)T8.1.3多属性决策几种主要的综合方法1.简单加权和法(SAW)v=(0.3110,0.3260,0.3629)TR归一化R最大化v=(0.7228,0.7492,0.8143)T2.加权积法(WP)v=(0.3162,0.3277,0.3562)Tv归一化v=(0.4847,0.5316,0.5639)Tv=(0.3067,0.3364,0.3569)Tv归一化汽车选购用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序3.理想解法(TOPSIS）R模一化vij=rij wj正理想解负理想解Ai与v+距离Ai与v-距离S+=(0.2141,0.1470,0.1087)S-=(0.1087,0.0966,0.2141)相对接近度C+=(0.3368,0.3966,0.6633)C+=(0.2411,0.2840,0.4749)归一化方法方案SAW(R归一化)SAW(R最大化)WPTOPSISA10.31100.31620.30670.2411A20.32600.32770.33640.2840A30.36290.35620.35690.4749汽车选购用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序SAW(R归一化,最大化),WP结果差别很小,TOPSIS结果差别稍大.优劣顺序均为A3,A2,A1简单、直观的加权和法(SAW)是人们的首选.SAW的前提属性之间相互独立,并且具有互补性.8.1.4层次分析法(AHP)将决策问题自上而下地分为目标、准则、方案3个层次,直观地用一个层次结构图表示.汽车选购性能款式A1A3目标层准则层方案层价格A2将二者综合得到方案对目标的权重.确定各准则(属性)对目标的权重.确定各方案对每一准则的权重.确定某层n个元素X1,X2,Xn对上层元素Y的权重A成对比较阵aijXi和Xj对Y的重要性之比价格X1,性能X2,款式X3对目标Y(汽车选购)的成对比较阵:正互反阵a12=2X1与X2重要性之比是2:1Oa13=5X1与X3重要性之比是5:1On个元素两两相互对比对比采用相对尺度1.成对比较矩阵和特征向量a23=2X2与X3重要性之比是2:1O1.成对比较矩阵和特征向量成对比较的一致性n个元素需做n(n 1)/2次成对比较,要求全部一致是不现实、也不必要的.AHP容许成对比较存在不一致，并确定了这种不一致的容许范围.a12=2X1与X2重要性之比是2:1X1与X3重要性之比应是4:1a23=2X2与X3重要性之比是2:1Oa13=5成对比较不一致成对比较一致性成对比较完全一致1.成对比较矩阵和特征向量假定X1,X2,Xn对Y的重要性之比已精确测定为w1:w2:wn令aij=wi/wj成对比较阵A满足一致阵的各列均相差一个比例因子一致阵A的代数性质：任一列向量都是对应于n的特征向量.秩为1,唯一非零特征根为n.一致阵设1.成对比较矩阵和特征向量取权向量为w=(w1,w2,wn)T一致阵A的任一列向量都是对应于n的特征向量.如果成对比较阵A不一致(但在容许范围内)用对应于A最大特征根 的特征向量(归一化后)为权向量w2.1-9比较尺度Saaty提出19尺度:aij=1,2,9及1,1/2,1/9.尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,1/9 Xi和Xj对Y重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个.用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优.便于定性到定量的转化：Xi和Xj对Y重要性aij2468介于相邻数之间3.一致性指标和一致性检验Saaty定义一致性指标:界定成对比较阵(正互反阵)A不一致的范围.n阶正互反阵A的最大特征根n，A是一致阵的充要条件为=n.CI=0时A是一致阵,CI越大A越不一致.用n的大小衡量A的不一致程度.比n大得越多,A与一致阵相差越大,用特征向量作为权向量引起的判断误差越大.当CR0.1时通过一致性检验Saaty引入随机一致性指标RI从1,2,9及1,1/2,1/9随机取值构成A,计算CI的平均值作为RI.3.一致性指标和一致性检验制定衡量CI数值的标准，界定A不一致的范围.n345678910RI0.58 0.901.121.241.32 1.41 1.45 1.49Saaty给出应用时将n阶成对比较阵A的CI与同阶的RI比较.4.综合权重汽车选购性能款式A1A3第1层目标第2层准则第3层方案价格A2第2层对第1层的成对比较阵用MATLAB软件计算最大特征根 和特征向量w.RI=0.58=3.0055CI=(-3)/(3-1)=0.0028归一化的w=(0.5954，0.2764，0.1283)T为权向量.CR=0.0028/0.580.1一致性检验通过4.综合权重，第3层对第2层的成对比较阵j123w(2)Wj(3)0.13650.5396 0.40000.59540.23850.2970 0.40000.27640.62500.1634 0.20000.1283 j3.01833.0092 3.0000CIj0.00920.00460=(0.2817,0.2754,0.4429)T由A得到归一化的w由Bj得到归一化的wjCRj=CIj/RI10年X11510年X1225年X131）X1w1=0.6X2w2=0.4综合权重1.00000.20000.68000.25001.00000.55000.50000.40000.46001.50000.20000.9800新方案加入时,只要它对每个准则的权重都不超过原方案,用理想模式计算原方案的排序保持不变,用分配模式计算原方案的排序可能逆转.4.方案的排序保持与排序逆转分配模式各方案对每一准则权重rij对i之和恒为1,新方案加入导致原来rij减少,稀释了原有资源,资源的重新分配可能导致原方案排序逆转.理想模式各方案对每一准则权重rij对i最大值为1,新方案加入只要不改变原来的最大值,就不会稀释原有资源,原方案排序将保持不变.4.方案的排序保持与排序逆转分配模式适用于封闭系统,或者承认资源稀释合法的开放系统(允许排序逆转).封闭系统方案固定开放系统方案不固定85%95%模拟计算结果(Saaty):方案排序逆转的比例较小.准则和方案数量增加,方案排序不变的比例下降.90%以上理想模式分配模式原方案全部排序不变最优方案不变95%以上60%90%小结与评注多属性决策层次分析法确定决策目标,备选方案与属性集合建立由目标层,准则层,方案层等构成的层次结构图通过相对量测,绝对量测,信息熵等方法确定决策矩阵,属性权重通过成对比较阵、特征向量、一致性检验确定下层各元素对上层每一元素的权重采用归一化(分配模式),最大化(理想模式)或模一化对决策矩阵标准化方案层权重采取归一化(分配模式)或最大化(理想模式)选用加权和,加权积,TOPSIS等综合方法计算方案对目标的权重用分层加权和法计算最下层各元素对最上层元素的权重多属性决策和层次分析法都用于解决确定性决策问题.小结与评注可以将多属性决策和层次分析中的方法结合起来运用,如用成对比较阵来确定属性(准则)权重，用绝对量测确定决策矩阵.一般来说相对量测偏于主观、定性,绝对量测偏于客观、定量,应尽量采用绝对量测.采用不同的标准化和综合方法对最终决策的影响远小于不同属性集合及属性权重对最终决策的影响.不要过度注意前者,应对后者多些关注.8.2风险性决策与非确定性决策备选方案存在两种或更多种状态，不确定哪一种状态实际上会出现风险性决策：每一种状态出现的概率已知非确定性决策：每一种状态出现的概率未知风险性决策与非确定性决策确定性决策(8.1)两类决策问题每个备选方案都可以确定地实现8.2.1风险性决策与非确定性决策问题的提出8.2.2风险性决策8.2.3非确定性决策8.2风险性决策与非确定性决策例1 1 新建还是改建现有两种备选方案：新建或改建厂房某公司为增加产量、拓展市场拟制定10年规划问题据估计未来市场销路好和销路差的概率分别是0.7和0.3若投资400万元新建厂房，销路好时年收益100万元，销路差时年亏损20万元若投资100万元改建厂房，销路好和销路差时的年收益分别为40万元和10万元从净利润最大化角度为公司确定决策问题18.2.1 8.2.1 问题的提出例1 1 新建还是改建对未来市场的估计不可能准确，问对销路概率的估计变化多大就会导致决策的改变？问题2第3种方案：先做改建，3年后视市场情况再定若3年销路好，则未来7年销路仍然好的概率将提高到0.9若投资200万元扩建，销路好时年收益将为90万元，销路差时不赢不亏问题3若不扩建，年收益不变若3年销路差,未来7年销路一定差,不扩建,收益不变从净利润最大化角度如何作出新的决策？例1 1 新建还是改建仍从问题1的两种方案（新建、改建）出发为了降低由于对市场销路估计不准确带来的风险，拟重金聘请专家团队利用科学方法进行预测问题4根据可靠资料,该团队预测的准确性高达90%从净利润最大化的角度,公司最多能出多少聘用金？例2 2 选择投资决策某人一笔资金有4种投资方案供选择：股票、基金、债劵、储蓄收益前景可分为好、中、差3个状态(无法估计出现概率)问题若某人是冒险型，或保守型，或持中性态度的投资者，制定合适的准则并据此选择最优决策状态方案好中差股票14010基金1262债劵9102储蓄4448.2.2 8.2.2 风险性决策(结合例1 1“新建还是改建”介绍)两方案在两状态下的收益(10年)和投资期望值准则E(1)E(2),最优决策是新建厂房净利润期望值为240（万元）-回答问题1状态方案销路好p=0.7销路差1-p=0.3投资(万元)新建(方案1)100 10-20 10400改建(方案2)40 1010 10100E(1)=100 10 0.7+(20 10)0.3 400=240E(2)=40 10 0.7+10 10 0.3 100=2108.2.2 8.2.2 风险性决策两方案在两状态下的收益(10年)和投资敏感性分析决策对估计概率的变化相当敏感-回答问题2状态方案销路好p=0.7销路差1-p=0.3投资(万元)新建(方案1)100 10-20 10400改建(方案2)40 1010 10100E(1)=100 10 p+(20 10)(1 p)400=1200p 600E(2)=40 10 p+10 10(1 p)100=300p当p=2/3时E(1)=E(2)；当p2/3时E(1)E(2)8.2.2 8.2.2 风险性决策两方案在两状态下的收益(10年)和投资敏感性分析决策对估计概率的变化相当敏感-回答问题2状态方案销路好p=0.7销路差1-p=0.3投资(万元)新建(方案1)100 10-20 10400改建(方案2)40 1010 10100E(1)=100 10 p+(20 10)(1 p)400=1200p 600E(2)=40 10 p+10 10(1 p)100=300p当p=2/3时E(1)=E(2)；当p2/3时E(1)0)；每个出行者的总出行成本相同模型的建立与求解t时刻出发的车辆在道路上的时间（等待时间）为T(t)=Q(t)/s如果tt0(tt2)时,时刻t出发车辆迟到时间L(t)t+T(t)t*总成本C(t)T(t)L(t)(tt*)()/s)Q(t)因所有晚到者成本相同，dC/dt=0，利用Q(t2)=0得Q(t)(s/()(t2t)比较tt0时:Q(t)(s/()(t2t)tt0时:Q(t)(s/()(t2t)t0t*t1t2t*模型的建立与求解每辆车成本C(t)(n/s)/()(与和t*无关)n辆车出行的总成本是TC(n2/s)/()模型的建立与求解每辆车成本C(t)(n/s)/()(与和t*无关)所有车总等待成本(TTC)n辆车出行的总成本是TC(n2/s)/()模型的分析与应用：拥堵费集中决策：从t1到t2的任意时刻t,出发率等于瓶颈的通行能力s（累计的出发车辆数与OCD线重合）固定的高收费：可达到最优但实际收不到费不公平(不同车成本不同)如何收拥堵费？是否可达到上述“系统最优”？模型的分析与应用：拥堵费早到成本：E(t)(t*tT(t)（当tt0）消除排队即T(t)=0,收费让每辆车成本相同按时刻t收费(a:常数)取aC(t)(n/s)/(),则车成本不增,但p(t)0较简单的收费（如分时段的固定收费）复杂路网(多出发地、多目的地、多瓶颈等)随机因素交通诱导、信息的作用 交通经济学模型的扩展主要参考文献：8.4 合作对策与Shapley值决策人无法达成有约束力的合作协议的前提下，讨论均衡的结果决策人能够达成有约束力的合作协议的前提下，讨论公平合理的利益分配或成本分担合作对策非合作对策两类对策问题军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛8.4.1合作对策问题的提出8.4.2n人合作对策与Shapley值8.4.3Shapley值方法在n人合作对策中的应用8.4 合作对策与Shapley值例1 1 联合建厂费用的合理分担问题：应该怎样合理地分担总费用450呢？3城镇筹建污水处理厂：单独建厂？联合建厂？问题单独建厂1,2联合1,3联合2,3联合合计5003镇费用分别为200,150,200费用为300费用为330费用为3103镇联合费用为450合计550合计480合计510实现大联合，节省总费用8.4.1 8.4.1 合作对策问题的提出例1 1 联合建厂费用的合理分担3镇联合节省100，记分得的效益分别为x1,x2,x3分析费用分担效益分配单独建厂1,2联合分别200,150,200费用为300节省50 x1+x2+x3=100 x1+x2500 x350同理x1+x3700 x230 x2+x3400 x160但满足以上条件的(x1,x2,x3)不唯一：(40,20,40),(30,30,40),(37.4,28.5,34.1),负担200-x1,150-x2,200-x3例2 2 加权投票中权力的度量 背景“一人一票”显示投票和表决的公正.股份制公司每位股东投票和表决权的大小由所占有的股份多少决定.一些国家、地区的议会、政府的产生，由所属的州、县等各个区域推出的代表投票决定.代表投票的权重取决于所代表区域的人口数量.经济或政治机构权力的分配 加权投票例2 2 加权投票中权力的度量 假设一县5区(A,B,C,D,E)人口为12,4,2,1,1(万)每区一位代表按人口比例分配其投票权重为12,4,2,1,1.将A区分成人口相等的2个子区A1，A2每区代表的投票权重为6，6，4，2，1，1决定结果的区域集合：A1,A2,A1,B,C,A1,B,D,改革按简单多数规则(权重和超过总权重一半)决定投票结果.A区代表是独裁者(能决定投票结果),其他代表都是傀儡.权力:每位代表对投票结果的影响力A1权:C权=6:2?N,vn人合作对策，v特征函数n人从v(I)得到的分配，满足子集S称为联盟；v(S)联盟S的效益8.4.2n人合作对策与ShapleyShapley值公理化方法由 S(子集S中的元素数目)决定的权重Shapley值i对S的贡献(边际效益)n人合作对策与ShapleyShapley值n个成员的全排列数排在i之前的|S|1个成员恰是联合S中成员的排列数例1 1 联合建厂费用的合理分担下面计算Shapley值模型合作对策特征函数v记费用c(1)=200，c(2)=150，c(3)=200，c(1,2)=300,c(1,3)=330,c(2,3)=310,c(1,2,3)=450N=1,2,3v()=0,v(1)=v(2)=v(3)=0v(1,2)=c(1)+c(2)c(1,2)=50v(1,3)=c(1)+c(3)c(1,3)=70v(2,3)=c(2)+c(3)c(2,3)=40v(N)=v(1,2,3)=c(1)+c(2)+c(3)c(1,2,3)=1008.4.3 Shapley8.4.3 Shapley值方法在n n人合作对策中的应用1/31/61/61/3(1)(1,2)(1,3)(1,2,3)05070100000400507060050/670/6120/6x1=40 x2=25,x3=351223例1 1 联合建厂费用的合理分担总费用450分担：c(1)x1=200 40=160，c(2)x2=150 25=125，c(3)x3=200 35=165例2 2 加权投票中权力的度量 记N=1,2,3,4,5,6,依次代表A1,A2,B,C,D,E如何计算Shapley值？子集合(联盟)共26=64个，直接枚举比较麻烦模型实际上，计算i(v)时只需找出满足v(S)=1且v(Si)=0的包含i的获胜联盟S即包含i时成员权重之和大于等于11、而i退出后成员权重之和小于11的那些S特征函数v：当N某一子集（联盟）S的成员全部投赞成票使投票通过时，定义v(S)=1，否则v(S)=0获胜联盟：使v(S)=1的联盟S例2 2 加权投票中权力的度量 6位代表的投票权重为6,6,4,2,1,1计算1(v)=2(v)=19/60，3(v)=16/60,4(v)=2/60,5(v)=6(v)=2/60i|S|S(v(S)=1且v(Si)=0)S数量 w(|S|)1 2(A1,A2)11/303(A1,A2,B),(A1,A2,C),(A1,A2,D),(A1,A2,E),(A1,B,C),(A1,B,D),(A1,B,E)71/604(A1,A2,C,D),(A1,A2,C,E),(A1,A2,D,E),(A1,B,C,D),(A1,B,C,E),(A1,B,D,E)61/605(A1,A2,C,D,E),(A1,B,C,D,E)21/30权力之比19:19:16:2:2:2权重之比6:6:4,2:1:1例2 2 加权投票中权力的度量 调整投票权重或者简单多数的选举规则改革例如：例2可表示成加权投票系统11;6,6,4,2,1,1加权投票系统投票人集合N=A,B,C,(n人)权重w1,w2,wn定额q投赞成票的投票人权重之和q时决议通过.w=w1+w2+wn，一般 w/2qw对简单多数规则且权重取整数，q为大于w/2的最小整数S=q;w1,w2,wn此时Shapley值称为加权投票系统的Shapley权力指标合作对策的小结与评注 定义特征函数时需要知道集合N的每一个子集S（2n个）获得的效益，在实际上常常做不到。当掌握的信息较少时分配问题的处理办法有均衡解、协商解等（略）。衡量权力的另一种常用标准是Banzhaf权力指标(略)。Shapley值方法是基于公理化的方法，但求解联合建厂费用的合理分担时，并没有要求得到的结果x1,x2,x3满足x2+x340等条件。实际上，如果把“镇2与镇3联合建厂的费用310”改为260，那么条件x2+x340将变成x2+x390，在这样的条件下原问题是无解的。