考虑相关采购提前期的成本服务均衡模型及订货批量决策.pdf

doi:10.3969/j.issn.1007-7375.2023.03.001考虑相关采购提前期的成本服务均衡模型及订货批量决策汪建，张竞之，朱婷婷(上海大学 管理学院，上海 200444)摘要:异常事件可能导致供应链中断或订单延迟，由此形成的异常采购提前期(procurementleadtime，PLT)往往比正常的PLT要长。为了应对异常状态，企业需要权衡成本和服务水平以制定最优的订货策略。较高水平的订货批量会降低订货次数，形成稳健的订货策略；较低水平的订货批量可以形成灵活的订货策略。本研究将PLTs相关性定义为异常与正常PLTs差异乘数项的均值，基于两个相关PLTs构建零售商库存决策的成本服务均衡模型，研究订货批量决策。研究结果表明，当周期服务水平较高时，PLTs相关性变化并不会影响企业的订货策略；当周期服务水平小于某一值时，PLTs相关性增大，企业倾向于较高的订货批量，从而形成稳健的订货策略。同时，PLT波动对订货批量影响存在多个服务水平阈值，在不同的服务水平范围内，企业可采取的最佳订货策略不同。这个发现与独立PLTs假设中，PLT波动对订货批量影响只有一个服务水平阈值有明显区别。随着PLT波动增大，企业会采取与独立PLTs条件下不同的对策。关键词:相关采购提前期（PLTs）；成本；服务水平；订货批量中图分类号:F274文献标志码:A文章编号:1007-7375(2023)03-0001-07A Cost Service Equilibrium Model and Order Quantity Decision ConsideringCorrelated Procurement Lead TimeWANGJian,ZHANGJingzhi,ZHUTingting(ManagementSchool,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China)Abstract:Abnormal events may cause supply chain disruptions or order delays,with the result that an abnormal,procurementleadtime(PLT)isusuallylongerthananormalone.Enterprisesneedtobalancethecostandserviceleveltodeveloptheoptimalorderingstrategytodealwithabnormalevents.Ahigherleveloforderquantitycanreducethenumberofordersandformarobustorderingstrategy;alowerleveloforderquantitycanformaflexibleorderingstrategy.ThecorrelationofPLTsisdefinedasthemeanofthedifferentialmultipliertermsbetweenabnormalandnormalPLTs.Basedonthe two correlated PLTs,a cost service equilibrium model is established for retailer inventory decisions to study thedecision-makingoforderbatches.Resultsshowthatwhenthecycleservicelevelishigh,PLTscorrelationdoesnotaffecttheorderingstrategyofanenterprise;whenthecycleservicelevelislowerthanacertainvalue,enterprisestendtoorderhigherquantity,asPLTscorrelationincreases,soastoformarobustorderingstrategy.Simultaneously,therearemultipleservice level thresholds for the impact of PLT fluctuations on order batch quantity.In different service level ranges,enterprisescanadoptdifferentoptimalorderingstrategies.ThisfindingissignificantlydifferentfromthatonlyoneservicelevelthresholdfortheimpactofPLTfluctuationsonorderquantityintheindependentPLThypotheses.AsPLTfluctuationsincrease,enterprisesmayadoptdifferentstrategiesfromthosewithindependentPLThypotheses.Key words:correlatedprocurementleadtime(PLTs);cost;servicelevel;orderquantity第26卷第3期工 业 工 程Vol.26No.32023年6月Industrial Engineering JournalJune2023收稿日期：2022-01-26基金项目：教育部人文社会科学规划资助项目(22YJA630082)作者简介：汪建(1974)，男，湖北省人，教授，博士，主要研究方向为质量管理、生产管理、研发管理。通讯作者：朱婷婷(1995)，女，河南省人，硕士，主要研究方向为供应链与生产质量。Email:新冠疫情在全球广泛传播，导致国际航运情况不容乐观，部分地区的货物出现多日延迟运输，海运运价飙升1。企业需要权衡成本和服务水平，制定最优的订货策略以应对供应链异常事件。采购提前期(procurementleadtime，PLT)是发出订单到满足订单之间的时间间隔。异常事件导致的异常PLT往往比正常的PLT要长2。较高水平的订货批量会降低订货次数，形成稳健的订货策略；较低水平的订货批量会提高订货次数，形成灵活的订货策略。在传统的库存决策中，面对多个PLTs，通常采用正态近似分布方法3或混合正态分布方法(compoundnormaldistributionmethod，CNDM)将多个独立PLTs整合成一个PLT，进而采用传统库存决策方法进行研究。当库存水平与预期缺货率不一致时，正态近似方法可能会导致库存误差4。该方式容易错误地鼓励管理人员把重点放在降低采购的波动性上，从而忽略减少PLTs均值的策略5。CNDM考虑不同PLTs发生的概率，形成整合的PLT，为解决多PLTs库存决策提供了基础。不同顾客在PLTs内需求不相同，可以使用CNDM代替单一分布描述PLTs内需求以决定最优再订货点和订货批量。混合正态分布模型进一步考虑到不同PLTs发生概率，存在多个随机且相关的PLTs问题，同时优化订货批量、不同批次的再订货点、订货成本、发出订单时间、运输时间、生产时间和交货次数，可使期望成本最小化。Eppen等4的研究模型如式(1)所示，假设周期性需求服从正态分布，PLTs服从离散均匀分布。C=p(R11)+(1 p)(R22)。(1)(1,1)、(2,2)pR()为C其中，分别为正常和异常PLTs需求的均值和标准差；为正常情况概率；为再订货点；标准正态分布函数；为周期服务水平。Chopra等5借鉴Epeen等4的CNDM，并假设PLT服从均匀分布，探究PLT对再订货点和安全库存的影响，证明正态近似是有缺陷的，特别是在大多数企业运营的服务水平范围内。在定量订货策略中，面对不确定的PLTs和需求时，通常采用两种类型的定量订货策略。一是设定更高的再订货点，较低的订货批量，采用更高的采购频率，本研究称为灵活订货策略6；二是设定较低的再订货点，较高的订货批量，采用较低的采购频率，本研究称为稳健订货策略。两种订货策略的差异不仅要考虑成本，还要考虑服务水平。从成本的角度来说，稳健订货可获得价格上的优势，降低采购成本，提高仓库利用率，从而实现规模经济7。而当订货成本较小，灵活订货策略可以减少库存成本而订货成本不至于太高；从风险角度而言，由于市场需求不确定，企业倾向于灵活订货策略以规避风险，而且需求波动越大，灵活订货策略协调效果越好8。在现有的研究中，订货批量模型的研究角度可以划分为3类：成本角度9、服务水平(风险)角度10、成本角度结合服务水平约束11。从风险角度研究，建模目标在于保证服务水平最大和缺货量最少。从成本角度研究，建模目标在于获得最优订货批量以保证总成本最小。本研究从成本角度和成本结合服务水平两个角度探究存在两个相关PLTs对订货批量和相应成本的影响。成本角度结合风险约束的订货批量计算模型又称成本服务均衡模型11。是指利用服务水平约束取代全成本模型中缺货成本，使用服务水平约束可以有效避免精确估计缺货成本的困难。服务水平标准通常很容易解释和建立12。服务水平约束模型一般是以相应的服务水平作为约束条件，以最小化联合库存成本为目标函数，将订货批量、PLTs、再订货点以及生产批量等作为决策变量13。由于在求解多级库存优化问题时未考虑订货成本和柔性成本的局限性，使用成本目标函数及服务水平的约束条件可得到最优的订货批量14。在库存决策和订货决策中，可采用CNDM对多个PLTs进行整合。但是忽略异常PLT和正常PLT之间存在独立关系可能会产生决策偏差。灾害或事故产生的PLT通常比正常PLT长。较少有学者研究不确定风险对PLTs和需求的影响，以及对服务水平的影响。由于传统的订货决策大部分仅以成本最小和利润最大为目标，通常考虑异常和正常相互独立的情况下的订货决策，较少考虑多个PLTs之间的相关性，在应对供应链异常决策中可能形成不恰当策略。本文借鉴Eppen等4的研究模型，以两个相关PLTs为对象，假设异常PLT是正常PLT与异常事故带来的额外提前期的叠加，分析其对于企业订货批量决策的影响，探究如何制定订货策略以满足零售商服务水平最优和成本最小的双重目标。2工业工程第26卷 1 模型建立 1.1 参数定义和变量推导Q使用CNDM计算再订货点和最优订货批量。企业使用(R,Q)的库存策略，当库存水平降低到再订货点R时，企业会按照批量 发出订单。LTNLTDLTNNNdd考虑两种情景的PLTs：正常情景下正常PLT()和异常情景下(例如：新冠疫情、重大活动、地震等不可抗力事件以及其他不可预料的事件)的异常PLT()。假设服从均值为，标准差为的随机分布。异常情景发生的概率为1p，DP为异常PLT与正常PLT之间的差异乘数项，该随机变量为已知项，可以通过企业的历史数据获取，DP假定服从均值为，标准为 的随机分布。由于混合正态分布产生双峰的峰顶和峰距受PLTs相关性系数的均值影响较大，所以PLTs相关性定义为该乘数项的均值 表示而非标准差。消费者需求(d)为随机变量，均值为，方差为。LTDLTN在实际情景中，异常PLT很可能依赖于正常PLT。异常PLT()经常比正常PLT()要长1。本文中，异常PLT和正常PLT的关系通过式(2)表示。此时，企业需要一个再订货点和一个安全库存来应对两种情境。供应链的绩效可以通过顾客周期服务水平衡量，建模参数见表1。LTD=LTND。(2)DDNNDDE()V()异常PLT均值()和标准差()的推导见式(3)、(4)。可以使用和来表示和，代表均值，代表方差。E(LTD)=D=N；(3)V(LTNDP)=E(LTNDP)2E(LTNDP)2=E(LT2NDP2)E(LT2N)E(DP)2；2D=2N2+22N+22N。(4)LTDNLTDD121222N2ND2D正常情况下PLTs内需求()和异常情况下PLTs内需求()的均值和方差见式(7)(10)。其中，(,)、(,)分别表示正常PTL与异常PLT下需求的均值和方差，(,)、(,)分别表示正常PLT与异常PLT的均值和方差。LTDN=LTNd；(5)LTDD=LTDd；(6)1=dN；(7)21=2d2N+N2d；(8)2=dN；(9)22=2d2D+D2d=N2d+(2N2+22N+22N)2d。(10)Z1Z2u本文建立的CNDM公式如式(11)所示。假设两个随机且相关的PLTs和已知的需求分布，模型使用参数推导得到PLT需求均值和标准差。其中，、分别表示正常和异常情况下标准化的再订货点；是推导过程的等量代换参数；为常数。C=pRNd2d2N+N2d+(1 p)RDd2d2D+D2d；(11)Z1=R11；(12)表 1 再订货点模型相关参数Table 1 Parameters of a reorder point model参数含义d单位时间单位产品的需求率(dd),需求的均值，标准差1 p异常情景发生的概率(),乘数项均值/PLT相关性，标准差(N(LTN)N(LTN)/E,/SD正常PLT均值，标准差(D(LTD)D(LTD)/E,/SD异常PLT均值，标准差S订货周期内安全库存KF1(C)安全因子，K=FR订货周期内填充率()标准正态概率密度函数()标准正态分布函数1R=Nd时周期服务水平2R=Dd时周期服务水平G()订货周期内缺货量Q订货批量D单位产品年需求率A单次订货成本h单位存储成本PC部分成本(无缺货成本)QFR满足服务水平约束的最优订货批量QPC满足部分成本模型的订货批量QPF满足成本服务均衡模型的订货批量fN()fD()/正常/异常情况下概率密度函数FN()FD()/正常/异常情况下分布函数第3期汪建，张竞之，朱婷婷：考虑相关采购提前期的成本服务均衡模型及订货批量决策3Z2=R22；(13)w+R(xR)fN(x)dxK1=x11=w+R11(xR)(K1)dK1Z1=R11=w+Z11(K1Z1)(K1)dK1=1w+Z1K1(K1)dK1w+Z1Z1(K1)dK1u=K122=1wZ122K112euduK1w+Z1Z1(K1)dK1=1wZ12212euduw+Z1Z1(K1)dK1=112eZ122w+Z1Z1(K1)dK1=1(Z1)Z11(Z1)。(14)通过推导缺货量可进一步表示为式(15)，安全库存S如式(16)所示，缺货量模型简化为G=pwR(xR)fN(x)dx+(1 p)wR(xR)fD(x)dx=p1(Z1)Z11(Z1)+(1p)2(Z2)Z21(Z2)；(15)S=pwR0(Rx)fN(x)dx+(1 p)wR0(Rx)fD(x)dx。(16)1.2 成本服务均衡模型构建针对企业的成本服务均衡模型。在决策条件中增加满足一定的订货周期内填充率的约束条件以防止缺货，在决策目标中追求订货成本及库存成本之和最小。目标函数的决策变量是订货批量。考虑到缺货成本不易测算，该模型在目标函数中没有包括缺货成本，而是在约束条件中考虑缺货概率。目标函数为PC=ADQPC+h(QPC2+S)。(17)部分学者假设企业设定一个目标服务水平，该目标服务水平代表着需求可通过现有库存满足的比例13。服务水平对库存未满足需求的比例设置一定限制，该系数满足企业在PLTs内需求超过再订货点的概率，库存未满足需求的实际比例不应超过期望值，使用服务水平约束保证需求满足，减少缺货风险。服务水平约束可表示为GQ1FR。(18)建立带有约束的非线性规划模型，在不考虑服QPC务水平约束条件下，求订货批量的最优解。先固定PLT参数和PLTs相关性，对成本服务均衡模型目标函数基于求一阶和二阶偏导，一阶偏导等于0有解，由二阶偏导大于0，可知部分成本函数为凹函数。PCQPC=ADQ2PC+h2；(19)2PCQ2PC=2ADQ3PC0。(20)QPC令一阶偏导等于0，可得最优订货批量为QPC=2ADh。(21)当式(18)两侧相等，可得满足服务水平约束的最大订货批量。QFR=G1FR。(22)QPCQPCQFRQPF=QFRQPCQFRQPF=QPC当忽略服务水平约束时，为最优订货批量。考虑服务水平的约束，当，若，可满足服务水平约束，但是并非为成本最小的最优解；当，若，为最小成本最小的最优解，但是不能满足服务水平约束。成本均衡模型的最优订货批量应该同时满足服务水平最大，成本最小，最优订货批量为QPF=maxQFR,QPC。(23)PCaPCb不考虑约束与考虑约束两种情况下的成本分别为和。PCa=AD2ADh+h122ADh+S；(24)PCb=AD(G1FR)1+h(21G1FR+S)。(25)在成本服务均衡目标函数中，缺货量受到PLTs相关性的影响，从该目标函数入手可探究PLTs相关性对成本和订货批量的影响。通过模型推导可获得使订货成本和库存成本最小，同时满足服务水平的最优订货批量。问题是获得最优订货批量并探究PLTs相关性对最优的订货批量和相应成本的影响，以实现成本最小并满足相应服务水平。4工业工程第26卷 2 采购提前期的相关性对订货批量的影响QFRQPCQPF=QPCQPF=QPC22当，此时成本目标函数取最小值为式(24)，同时满足服务水平约束，最优订货批量为一固定值，PLTs相关性并不会影响最优订货批量。当时，R约为，由式(27)可知，此时服务水平为。R=1当时，p(R11)+(1 p)(R22)=0.5p+(1 p)(122)=0.5p+(1 p)2(1)2=1。(26)R=2当时，p(R11)+(1 p)(R22)=p(R11)+0.5(1 p)=p(1)11+0.5(1 p)=2。(27)再订货点对于PLTs相关性求导，如式(28)所示。p(Z1)(Z1)+(1 p)(Z2)(Z2)=0;R=12(R2)(N2d+22N2d)+Nd=12(R2)(N2d+22N2d)+12121(N2d+222N2d)+120。(28)PCa式(24)基于PLTs相关性 求偏导，如式(29)所示。已知式(30)始终成立。所以成本对PLTs相关性 的偏导大于0，意味着随着PLTs相关性增加，所需库存成本和订货成本之和增大。PCa=(ADQ2PC+h2)QPC+hS=h(1 p)RFD(R)FD(0)；(29)FD(R)FD(0)0。(30)QFRQPCQPF=QFRGG当，此时成本目标函数取最小值为式(25)，同时满足服务水平约束。最优订货批量为式(22)，受到缺货量的影响，对PLTs相关性 求偏导，如式(31)所示，该公式始终大于0。所以 对PLTs相关性 的偏导大于0。因此，随着PLTs相关性增大，最优订货批量增大。G=(1p)N2d+22N2d22(Z2)(RNd)1(Z2)。(31)2ADhADQ2PC+h2QFRADQ2PC+h2FD(R)FD(0)PCb式(25)基于PLTs相关性 求偏导，如式(32)所示。当订货批量取时，为0，所以当订货批量取时，0，且0。所以成本对PLTs相关性 的偏导大于0，意味着随着PLTs相关性增加，所需库存成本和订货成本之和增大。QPF=QFR时，最优订货批量和相应的成本对PLTs相关性的偏导数为PCb=(ADQ2FR+h2)QFR+hS=(ADQ2FR+h2)G(R)11FR+h(1 p)RFD(R)FD(0)。(32)通过分析可以发现，由于最优订货批量取值的特殊性，不同服务水平范围内，PLTs相关性对最优订货批量影响的方向是不同的。为了对比独立PLTs分析的结论，本文分析PLT长度和波动对订货策略的影响，结果如表2所示。本文假设相关的PLTs、PLT波动对订货批量影响存在多个服务水平阈值，在不同的服务水平范围内，企业可采取的最佳订货策略不同。该结论与Chopra等5不同，由于他们假设了独立的PLTs，因此得出一个服务水平阈值。表 2 PLTs相关性、PLT均值和标准差对最优订货批量影响Table 2 Impact of the PLTs correlation,PLT mean and standarddeviation on the optimal order quantityC 取值范围N减小 减小N减小(2,1)QPF不变QPF不变(0.5,2)QPF减小QPF减小(1,0.5)QPF减小QPF增大(0,1)QPF减小QPF减小 3 数值实验本文使用Matlab进行数值实验，数值实验假设异常事件发生的概率为0.5，服务水平为0.9，单次订货成本为25元/次，单位存储成本和单位缺货成本均为5元/d，单位时间需求为1000单位/a。表3为数值实验相关参数。第3期汪建，张竞之，朱婷婷：考虑相关采购提前期的成本服务均衡模型及订货批量决策5在成本服务均衡模型的推导过程中发现，随着PLTs相关性增大，最优订货批量增大，对应成本也增大。图1和图2为不同PLTs相关性条件下(E(DP)=1,2,3,4,5)，最优订货批量和相应最小成本的变化情况。图1中，K=0.67，0.84，1.04，1.27及1.65条件下的订货批量曲线重合。0510152025303512345QP&F/102E/DPK=0K=0.13K=0.25K=0.4K=0.52K=0.67K=0.84K=1.04K=1.27K=1.65图 1 不同PLTs相关性和安全因子条件下最优订货批量Figure 1 Optimal order quantity under different PLT correlations andsafety factors012345678912345PC/103E(DP)K=0K=0.13K=0.25K=0.4K=0.52K=0.67K=0.84K=1.04K=1.27K=1.65图 2 不同PLTs相关性和安全因子条件下相应的成本Figure 2 Cost under different PLT correlations and safety factorsQPFQPFQFRQPFQPFQPCQPCQPCQFR1)取值的特征。当服务水平为0.90，安全因子较低，如0.25时，由约束条件产生，为，随着安全因子增大，降低；当安全因子较高，例如大于等于1.27时，由成本目标函数产生，为，由于成本函数未考虑缺货成本，所以这种情况下产生的为经济订货批量，为一定值；而当安全因子取中间值，订货批量的取值需要结合实际情况取和两者最大值。QPFQPFQFRQPF2)当最优订货批量由约束条件产生，PLTs相关性对和总成本的影响具有一定的规律性。在保持一定的服务水平的情况下，随着PLTs相关性增大，将使得最优的订货批量值和相应的总成本增大。此时，企业更愿意大批量订货实现规模经济；当企业安全因子达到极大值，最优订货批量为一定值，PLTs相关性变动对无影响，此时总成本增加较慢。随着安全因子增大，成本先减少再增加，即安全因子对成本的影响存在极小值点。(2,1)(0,2)根据上文分析的结果，随PLTs相关性的变化，在不同周期服务水平范围内，企业订货批量会发生相应的变化，进而形成不同的订货策略。当周期服务水平在范围内，PLTs的相关性增大，最优订货批量不变，并不会影响订货策略；当周期服务水平在范围内，PLTs的相关性增大，会导致最优订货批量增大，这意味着更加稳健的订货策略。同理可得PLT长度和波动变化时，相应的订货策略变化情况，总结如表4所示。表 4 相关PLTs变化对应的订货策略Table 4 Ordering strategies corresponding to correlated PLTsCN增大 增大N增大(2,1)无影响无影响(0.5,2)稳健订货策略稳健订货策略(1,0.5)稳健订货策略灵活订货策略(0,1)稳健订货策略稳健订货策略3Chopra等5分析独立的PLTs对再订货点和安全库存的影响，研究发现，存在一个大于0.5的服务水平阈值(本文定义为)，低于这个阈值时，PLT波动增加将使订货点降低，从而导致更加稳健的订货策略；高于这个阈值时，PLT波动增加将使订货点增加，从而导致更加灵活的订货策略，具体结论如表5所示。但是本文的模型分析和数值实验结果表明，当服务水平较大时，PLTs变化，订货策略不变。而表 3 参数假设(PLTs相关性)Table 3 Parameter hypothesis(PLTs correlation)参数均值(E)标准差(SD)d205LTN103LTDN20062DP1，2，3，4，5，1.2LTD10，20，30，40，5013，14，15，17，20LTDD200，400，600，800，1000258，279，310，348，3926工业工程第26卷(1,0.5)且由于假设了相关的PLTs，PLT波动对订货批量影响存在多个服务水平阈值，在不同的服务水平范围内，企业可采取的最佳订货策略不同。例如，当服务水平在范围内，随着PLT波动增大，企业应该采取灵活的订货策略，但是若假设了独立的PLTs可能导致采取相反的订货策略。表 5 独立PLTs变化对应的订货策略Table 5 Ordering strategies corresponding to independent PLTsCN增大N增大3(,1)稳健订货策略灵活订货策略3(0,)稳健订货策略稳健订货策略 4 结论与展望本研究假设正常PLT和异常PLT相关，基于服务水平和成本角度，构建了带有服务水平约束的成本服务均衡模型，分析了两个相关的PLTs对企业的订货批量决策的影响，进而形成不同订货策略的过程。研究结果表明，当周期服务水平较高时，PLTs相关性变化并不会影响企业的订货策略；当周期服务水平小于某一值时，PLTs相关性增大，企业倾向于较高的订货批量，从而形成稳健的订货策略。本文假设相关的PLTs、PLT波动对订货批量影响存在多个服务水平阈值，在不同的服务水平范围内，企业可采取的最佳订货策略不同，与Chopra等5独立假设PLTs的相关结论有所不同。本研究的意义在于建立了存在相关PLTs条件下订货批量计算方法，分析了相关PLTs对企业订货批量决策的影响，丰富了相关PLTs对库存决策和订货决策影响的内容，为企业权衡成本和服务水平作出最佳的订货决策提供一些建议。本研究仍然存在一些不足，有待未来进一步研究，例如考虑时间因素的PLTs分布，例如时间序列的PLTs，或者一系列不同的相关PLTs分析而不仅局限于两个PLTs。参考文献：马士基.重磅发布!马士基亚太区最新市场资讯(2021年11月)EB/OL.(2021-11-25)2021-11-25).https:/ lead times and non-linear ordering 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