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针对带有周期性干扰的电力系统的混沌现象以及其控制问题，结合非线性扩张状态观测器理论和非奇异快速终端滑模控制，提出了一种基于扩张状态观测器的混沌控制方法。在系统部分状态不可测和存在未知项以及外部干扰的情况下，基于非线性扩张状态观测器估计系统的未知状态及不确定项，其中包括混沌电力系统的周期性干扰项。改进了双功率趋近律，可使系统在有限时间内实现信号跟踪，同时减小了控制器的抖震幅度。采用 Lyapunov稳定性理论证明了系统的稳定性和有限时间收敛。通过仿真验证了所设计的控制方法的有效性。关键词院 动力系统曰电力系统曰混沌控制曰非线性扩张观测器曰非奇异快速终端滑模控制中图分类号院 TM73文献标识码院 A文章编号院 2095 原 0926（圆园23）03 原 园园49 原 园6State observer-based chaotic control of power systemsYUAN Shuo袁 ZHAO Xiaoshan袁 LI Shuaiwei渊School of Science袁 Tianjin University of Technology and Education袁 Tianjin 300222袁 China冤Abstract院To address the chaotic phenomena and control problems in power systems with periodic disturbances袁 thispaper proposes a chaotic control method based on the extended state observer 渊ESO冤袁 utilizing the principles of nonlinearESO theory and non-singular fast terminal sliding mode control.In the presence of unmeasured states,unknown terms袁and external disturbances in the system袁 a nonlinear extended state observer was utilized to estimate the unknown statesand uncertainties of the system袁 including the periodic disturbances in chaotic power systems.The dual power reachinglaw was improved to achieve signal tracking within finite time while reducing the controller忆s vibration magnitude.Thestability and finite-time convergence of the system are proven using the Lyapunov stability theory.Simulation resultsvalidate the effectiveness of the proposed control method.Key words院 power systems曰 electric power system曰 chaotic control曰 nonlinear extended state observer曰 non-singular fastterminalslidingmodecontrol基于状态观测器的电力系统混沌控制袁硕，赵小山，李帅威（天津职业技术师范大学理学院，天津300222）收稿日期院 2023-04-25基金项目院 国家自然科学基金资助项目（12001404）.作者简介院袁硕（1999），女，硕士研究生，研究方向为非线性动力系统混沌控制.通信作者：赵小山（1967），男，教授，博士，硕士生导师，研究方向为非线性动力系统混沌控制及其同步，.电力能源是我国重要的能源之一，作为强非线性系统，它的内部关联较强、耦合度较高1。电力系统在实际运行过程中所表现的高度非线性特征在一定条件下发生混沌震荡的可能性较高，对电网的正常运行有一定的阻碍作用。同时，根据电力网络的实际运行状况，一些电力系统会经常受到周期性复合功率波动和符合扰动以及发电机组的输入功率干扰。为减少这些干扰带来的影响，近年来，国内外的学者对电力系统进行了广泛的研究。文献2将 PI 控制与固定时间终端滑模控制相结合，对电力系统的混沌现象进行控制。文献3提出一种自适应协同控制方案来抑制电力系统的混沌振荡。混沌系统控制的研究由于其在理论和实践方面的重要意义而受到广泛的关注。在航天、机械、信息处理、安全通信等领域经常存在混沌现象，可能会导致预测失败、机械耗损等情况，进而影响系统运行的稳第 33 卷第 3 期圆园23 年 9 月天 津 职 业 技 术师 范 大 学 学 报允韵哉砸晕粤蕴 韵云 栽陨粤晕允陨晕 UNIVERSITY OF TECHNOLOGY AND EDUCATIONVol.33No.3Sep.2023DOI：10.19573/j.issn2095-0926.202303009天 津 职 业 技 术 师范 大 学 学 报第 33 卷定性和安全性4。为抑制系统中的混沌行为，使混沌系统脱离混沌现象，提出了多种混沌控制的方法。如滑模控制、反步控制、模糊控制和有限时间控制等。文献5提出基于命令滤波反步法的有限时间自适应神经网络位置跟踪控制方法，保证了混沌系统跟踪误差的有限时间收敛。文献6采用新的模糊快速终端滑模控制算法生成了主动悬架系统中的控制信号，用非控制模型上的临界值描述了混沌区。文献7提出一种基于模糊状态反馈的控制策略，研究了具有不确定参数和分数阶特性的风电机组直驱永磁同步发电机的混沌运动问题.文献8为了消除三相感应电机 IFOC 中的混沌震荡，设计了两种自反馈延迟控制器：第一种是简单控制器，第二种是滑模控制器。滑模控制是控制理论的一个重要分支，滑模控制具有较强的鲁棒性，对系统的参数误差和外部扰动不敏感。传统的滑模面是线性滑模面，无法实现对系统的有限时间收敛。文献9提出了终端滑模曲面，终端滑模曲面可以让系统在有限时间内收敛到平衡状态。但终端滑模面在到达平衡点附近时存在奇异性问题。文献10提出了非奇异终端滑模面，解决了终端滑模面的非奇异问题。文献11在非奇异终端滑模面的基础上设计了非奇异快速终端滑模，加快了系统的收敛速度和精度。系统在由滑模面之外进入滑模面的动态品质由趋近律决定。文献12提出了指数趋近率和幂趋近律，指数趋近率可以让系统在校时间内到达滑模面但指数趋近率一般存在巨大的抖震。而幂趋近律虽然可以降低系统的抖震，但接近速度较慢。文献13设计了一种双功率趋近律，该趋近律抖震幅度较小且到达速度较快。扩张状态观测器是一种特殊的观测器，它可以仅使用受控系统的输出信号来同时估计未测量的状态和不确定性，包括外部扰动或周期性的扰动。文献14利用线性扩张观测器估计系统的不确定项和外部干扰，提出了一种利用分数阶滑模反步控制与线性扩展状态观测器相结合的方法来解决动力伞翼高度控制问题。文献15设计了扩张状态观测器，对液压伺服系统未建模的扰动进行了主动补偿。但上述文献只将系统的外部扰动视为不确定项，并对其进行观测估计，同时默认系统中的其他项为已知量，这对控制系统来说是一个很大的限制。基于以上研究，本文提出了一种基于非线性扩张观测器的非奇异快速终端滑模控制器，主要贡献为：使用非线性扩张状态观测器估计部分状态不可测的具有周期性外部扰动的电力系统的未知项和不确定项，取消了系统完全可测的限制。改进了双功率趋近律，加快了系统的趋近速度。用 fal 函数替换控制器中带有符号函数的项，削弱了系统的抖震幅度。1电力系统的数学模型本文采用带有周期性负荷功率波动和复合扰动以及发电组输入功率干扰的电力系统，基于此，含有扰动环节的电力系统数学模型为16啄觶（t）=棕（t）棕觶（t）=-1HPssin（啄（t）+D棕（t）-Pm+Pkcos（琢子）sin（啄（t）-Pecos（茁子）+u扇墒设设设设设设设缮设设设设设设设（1）式中：啄（t）和 棕 分别为系统发电机转子运行角度和相对角速度；H 和 D 分别为等值转动惯量和等值阻尼系数；Ps和 Pm分别为最大功率幅值和等值发电机的机械功率；Pk和 琢 分别为电磁扰动的功率频率和功率；Pe和 茁 分别为复合扰动的功率幅值和频率；u 为系统的控制输入。对该系统的时间尺度做相应的调整，令 t=1Ps姨子 可将式（1）简化为啄觶（t）=棕（t）棕觶（t）=-asin（啄（t）-姿棕+籽+滋cos（酌t）-滓cos（浊t）sin（啄（t）+u扇墒设设设设设设缮设设设设设设（2）令啄（0），棕（0）=0.1，0.5，当 a=1、姿=0.4、籽=0.2、滋=0.02、酌=0.8、滓=1.2、浊=0.8 时，系统出现了明显的混沌震荡，系统的混沌相图如图 1 所示。令啄，棕=x1，x2，系统（2）可以等效为x觶1=x2x觶2=-asinx1-姿x2+籽+滋cos（酌t）-滓cos（浊t）sinx1+u扇墒设设设设设设缮设设设设设设（3）图 1混沌相图2.01.51.00.50-0.5-1.0-1.5-2.0-1.52.52.01.51.00.50-0.5-1.0伊150第 3 期2滑模控制器的设计2.1滑模控制器本文的控制目标是使状态信号 x1快速跟踪参考信号 x1d，无静态误差。定义轨迹跟踪误差z1=x1-x1d（4）z2=z觶1=x觶1-x觶1d（5）式中：x1为发电机实际运行角度；x1d为期望运行角度。文献9提出了终端滑模面，传统终端滑模面由于引入的非线性项，改善了系统远离平衡点时的收敛速度，但在接近平衡点时收敛速度弱于线性滑模面，导致收敛时间延长。本文参考文献17引入如下非奇异快速终端滑模面s=z1+k1渣z1渣琢sign（z1）+k2渣z2渣茁sign（z2）（6）式中：k1、k2均为大于零的常数；0 茁 茁；sign（）为符号函数。对于任一初值 z1（0）屹0 条件下，系统都会在有限时间内渐进收敛到 z1（t）=0。子项 k1渣z1渣琢sign（z1）在当系统状态远离平衡状态时，加快了系统的收敛速度。子项 k2渣z2渣茁sign（z2）在当系统状态接近平衡状态时，保证了系统在有限时间内收敛。对（6）式求导得s觶=z2+k1琢渣z1渣琢-1z2+k2茁渣z2渣茁-1z觶2（7）滑模运动包括趋近运动和滑模运动 2 个过程，趋近运动为 s寅0 的过程，采用趋近律的方法可以改善趋近运动的动态品质。传统滑模面采用指数趋近律或幂次趋近律，指数趋近率可以使系统在有限时间内到达，但系统会产生较大的抖震。使用幂次趋近律系统的抖震较小，但收敛速度较慢。基于此，本文改进了文献13所设计的双功率趋近律，既能保证系统抖震较小，又能保证系统在有限时间内稳定。改进后的双功率趋近律为s觶=k2茁渣z2渣茁-1-ks-c1渣s渣bsign（s）-c2渣s渣csign（s）（8）式中：b 1；0 c 0；c2 0。与双功率趋近律相比，本文改进后的趋近律多了一项-ks，可以加快系统的收敛速度。根据滑模面（6）和趋近律（8），本文设计的控制器为u=-ks-c1渣s渣bsign（s）-c2渣s渣csign（s）-x3+x咬1d-1k2茁渣z2渣2-茁sign（z2）（1+k1琢渣z1渣琢-1）（9）构造 Lyapunov 函数V1=12s2（10）令 h=k2茁渣z2渣茁-1，代入控制器（8）并对式（10）求导V觶1=hs（z2+k1琢渣z1渣琢-1z2+k2茁渣z2渣茁-1z觶2）=hs（-ks-c1渣s渣bsign（s）-c2渣s渣csign（s）=-khs2-c1h渣s渣b+1-c2h渣s渣c+1臆 0（11）由上式可得，本文设计的滑模控制器可以使系统状态达到期望的目标。2.2非线性扩张状态观测器的设计x1、x2为系统的状态变量，当 x2不可测，a、姿、籽、滋、酌、滓、浊 为未知参数时，本文基于非线性扩张状态观测器设计控制器，u 为控制输入。由于系统中存在不确定项x3=-asin x1-姿x2+籽+滋cos（酌子）-滓cos（浊子）sin x1（12）导致无法直接设计该系统的控制器，所以要利用扩张状态观测器去估计系统的未知量。x3为本文定义的该系统的扩展状态，h 为 x3的导数，则系统（3）可以改写为如下等效形式x觶1=x2x觶2=x3x觶3=h扇墒设设设设设设缮设设设设设设（13）令 孜i=1，2，3，分别为系统（13）3 个状态变量的观测值。ei=孜i-xi为观测误差，那么定义的非线性扩张观测器为孜觶1=孜2-茁1琢z1孜觶2=孜3+u-茁2fal（e1，琢1，啄）孜觶3=-茁3fal（e1，琢2，啄）扇墒设设设设设设设缮设设设设设设设（14）fal（e，琢i，啄）为原点附近具有线性段的连续幂次函数19，表达式为fal（e，琢i，啄）=e渍1-琢i渣e渣臆渍渣e渣琢isign（e）渣e渣 跃 渍扇墒设设设设设缮设设设设设由（14）式可知，通过选择合适的参数 茁i，可以使观测状态 孜i寅 xi，观测误差满足条件渣孜i-xi渣臆di，di逸0 为一个很小的正数。基于非线性扩张状态观测器设计非奇异快速终端滑模控制器u=-ks-c1渣s渣bsign（s）-c2渣s渣csign（s）-孜3+x咬1d-1k2茁渣z2渣2-茁sign（z2）（1+k1琢渣z1渣琢-1）（15）由于符号函数的存在可能会引起系统的抖震，本文用 fal 替换掉控制器中所有带有符号函数的项。袁硕袁等院 基于状态观测器的电力系统混沌控制51天 津 职 业 技 术 师范 大 学 学 报第 33 卷3系统稳定性证明定理对于含有周期性扰动的混沌电力系统，在本文设计的控制器公式（15）、滑模面公式（6）和趋近律公式（8）下，系统可以在有限时间内实现位置跟踪。引理14对于一个连续的正定函数 H（t），如果下列不等式成立H觶（t）臆-籽1H（t）-籽2H籽3（t）（16）则 H（t）会收收敛于平衡点，收敛时间为T臆1籽1（1-籽3）ln（籽2V（1-籽3）（0）+籽2籽2（1-籽3）式中：籽1、籽2均为大于零的常数；0 籽3 h（k+e3s），浊2-浊1e32+渣e3e觶3渣，使得V觶臆浊1s2+渣e3e觶3渣=2浊1V-浊1e32+渣e3e觶3渣 臆2浊1V+浊2（21）由上式可知，在扩张观测器误差收敛到有界常数时，滑模面 s 仍是收敛的，故式（20）可写为V觶=-hs2k-c1h渣s渣b+1-c2h渣s渣c+1+se3h+z3z觶3=-hs2（k+e3s）-c1h渣s渣b+1-c2h渣s渣c+1（22）由式（22）得V觶臆-hs2k-c1h渣s渣b+1（23）V觶臆-hs2k-c1h渣s渣c+1（24）根据引理，式（23）可写为V觶臆-2hkV-2b+12c1hVb+12，此条件下系统的收敛时间为T1臆1hk（1-b+12）ln（2hkV（1-b+12）（0）2b+12c1h+1）（25）式（24）可写为V觶臆-2hkV-2b+12c1hVb+12，此条件下系统的收敛时间为T2臆12hk（1-c+12）ln（2hkV（1-c+12）（0）2c+12c2h+1）（26）由上述内容可知，系统可以在有限时间内达到稳定状态，收敛时间为T 臆 min（12hk（1-b+12）ln（2hkV（1-b+12）（0）2b+12c1h+1），12hk（1-c+12）ln（2hkV（1-c+12）（0）2c+12c2h+1）（27）4数值仿真仿真结果表明了所构建的非奇异快速终端滑模控制器对含有周期性外部干扰的电力混沌系统的有效性。设参考信号为 x1d=sin t，在啄（0），棕（0）=0.1，0.5外加周期性的干扰条件下进行仿真。为了证明本文提出的控制方案的有效性和优越性，本文对基于指数趋近率、双功率趋近律和本文所设计的趋近律的控制效果进行了仿真对比。为了便于比较，初值与部分参数的赋值保持一致，k1=20，k2=20，琢=1.1，茁=1，c1=c2=5，b=0.5，c=0.5。观测器参数 茁1=100，茁2=250，茁3=100，琢1=0.5，琢2=0.25，啄=0.01。跟踪效果对比图如图 2 所示。由图 2 可知，本文设计的趋近律信号跟踪效果最好，指数趋近率次之，而双功率趋近律信号跟踪效果最差。图 3 为收敛时间对比图，由图 3 可知，本文设计的控制器到达期望值的用时最短。控制器对比图如图4 所示。由图 4 可知，基于指数趋近率的控制器引起的抖震较大，基于双功率趋近律的控制器抖震幅度很小，本文采用 fal 函数替换符号函数减弱了系统的抖振现象，设计的控制器抖震幅度最小。抖震会导致系统不稳定，故设计控制器时一定要避免控制器大幅度的抖震。52第 3 期图 2跟踪效果对比图1.51.00.50-0.5-1.0-1.50201816128642t/s1014-0.6-0.8-1.0364581.00.80.6期望值改进的双幂趋近律指数趋近率双功率趋近律101.51.00.50-0.5-1.0-1.50201816128642t/s1014-0.6-0.8-1.081081.00.80.6期望值改进的双幂趋近律指数趋近率双功率趋近律6706050403020100-100201816128642t/s1014期望值改进的双幂趋近律指数趋近率双功率趋近律65432100201816128642t/s1014期望值改进的双幂趋近律指数趋近率双功率趋近律图 4控制器对比120100806040200-200201816128642t/s1014改进的双幂趋近律指数趋近率双功率趋近律图 3收敛时间对比图 5观测器观测效果543210-1-2-30109864321t/s57实际运行速度角度的估计值141210864200109864321t/s57实际运行角度运行角度的估计值20151050-5-10-15-200109864321t/s57伊3 实际值伊3 估计值（a）x1的观测效果（b）x2的观测效果（c）x3的观测效果袁硕袁等院 基于状态观测器的电力系统混沌控制图 5 为观测器的观测效果图，由图5 可知，该观测器可以快速且准确地估计系统的状态变化。说明所本文所设计的控制器对混沌电力系统的跟踪控制是有效的。本文采用非线性扩展观测器估计系统未知项和不确定项，其中就包括混沌电力系统的周期性干扰项。53天 津 职 业 技 术 师范 大 学 学 报第 33 卷5结语为解决电力系统受到周期性干扰时控制精度低的问题，本文设计了一种基于非线性扩张观测器的非奇异终端滑模控制方案。该方案改进了双功率趋近律，提高了系统信号跟踪的效果，减小了系统的抖震幅度。引入非线性扩张观测器来处理系统的未知项和不确定项，从而对电力的控制系统进行补偿。用李亚普诺夫理论验证了系统的稳定性。仿真实验将本文设计的趋近律与其他趋近律进行了比较，证明了本文设计的趋近律的优越性。参考文献：1 王聪，张宏立，马萍.基于有限时间函数投影的电力系统混沌控制 J.振动与冲击，2021，40（14）：125-1312 徐敏，康哲，刘早富.基于观测器的混沌电力系统 PI 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