具有随机扰动的捕食被捕食系统正解的存在唯一性及持久性.pdf

第 卷第期东 北 师 大 学 报(自 然 科 学 版)V o l N o 年月J o u r n a l o fN o r t h e a s tN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u n e 文章编号 ()D O I /j c n k i d s l k x b 收稿日期 基金项目国家自然科学基金资助项目();吉林省教育厅“十三五”科研规划项目(J J KH K J)作者简介李海红(),女,博士,主要从事微分方程研究;通信作者:李海霞(),女,硕士,主要从事数据分析研究具有随机扰动的捕食被捕食系统正解的存在唯一性及持久性李海红,李海霞(吉林建筑大学基础科学部,吉林 长春 ;长春光华学院商学院,吉林 长春 )摘要研究了具有随机扰动的捕食被捕食系统,运用比较原理,构造L y a p u n o v函数得到系统在一定条件下存在唯一正解,且当白噪声较小时,系统具有随机持久性 关键词L y a p u n o v函数;伊藤公式;存在唯一性;持久性 中图分类号O 文献标志码A引言捕食与被捕食系统 之间的动态关系因其是数学和生态学上典型的代表而一直成为人们研究的热点捕食与被捕食模型可以描述为dx(t)r x(t)x(t)Kc x(t)y(t)dt,dy(t)y(t)m c x(t)dt()在模型()中引入随机扰动,则相应随机模型为dx(t)r x(t)x(t)Kc x(t)y(t)dtKx(t)(Kx(t)dB(t),dy(t)y(t)m c x(t)dty(t)dB(t),()其中Bi(t)i,()是相互独立的标准布朗运动系统()正解的存在唯一性引理 令x(t),y(t)()是带有初始条件x(),y()()的系统()的解,则x(t)X(t)y(t)Y(t)a s ()其中X(t),Y(t)()是如下随机微分方程的解:dX(t)r X(t)X(t)KdtKX(t)(KX(t)dB(t),X()x();dY(t)Y(t)m c X(t)dtY(t)dB(t),Y()y()()由引理 和文献 的结果,容易得到如下结论:引理 若x(t),y(t)()是系统带有初值x()K的解,则x(t)K,a s 东 北 师 大 学 报(自 然 科 学 版)第 卷定理 对 任 意 初 值 (x(),y(),x()(,K),系 统()存 在 唯 一 的 解x(t),y(t)()(t),且此解以概率位于中证明显然,系统()的系数是局部L i p s c h i t z连续的,则对初值(x(),y(),x()(,K),系统存在唯一的局部解x(t),y(t)(),t(,e),其中e是爆破时间,故只需证明e,a s 适当选取k,使得x(),y()在区间/k,k 中定义停时k i n ft,e)|x(t),y(t)(/k,k),其中kk令i n f(表示空集)显然,当k时,k是单调递增的令 l i mkk,则ea s 若能证明,a s,则ea s,从而x(t),y(t)()故只需证明,a s 否则,存在常数T和(,)使得PT于是存在正整数kk,当kk时有PkT()定义C函数V:,V(x,y)xaal o gxam(y l o gy),a为待定正常数当u时,u l o gu,则函数V是非负的由伊藤公式可得dVL VdtK(xa)(Kx)dB(t)m(y)dB(t),其中L V(xa)rrKxc ya K(Kx)m(y)(m c x)ma ra mmra ra KcxrKa Kxma cy选取am c,使得ma c,再由引理 可得L Va ra mmra ra KcxrKa KxM,其中M为常数则kTdV(x(t),y(t)kTMdtkTKxm c(Kx)dB(s)m(y)dB(s),取期望可得E V(x(kT),y(kT)V(x(),y()MT()令kkT(kk),则()式可写成P(k)对每个k,x(k,)和y(k,)至少有一个等于k或/k,从而V(x(k),y(k)kaal o gka(ka l o g(a k)k(k l o gk)kk l o gk于是由()式可得V(x(),y()MTEk()V(x(k),y(k)kaal o gka(ka l o g(a k)k(k l o gk)kk l o gk,其中k表示k的特征函数令k得到矛盾因此a s,定理 证毕系统()的的持久性引理 令fC(,),(,),FC(,),)如果存在正常数,满足l o gf(t)ttf(s)dsF(t),t,a s,第期李海红,等:具有随机扰动的捕食被捕食系统正解的存在唯一性及持久性且l i mtF(t)t,a s,则l i m i n ftttf(s)ds,a s 假设rKm cr定理 如果假设成立,则带有初值(x(),y(),x()(,K)的系统()的解(x(t),y(t)满足l i m i n fttty(s)ds(r/)K m cr(/)K m c,a s 证明由伊藤公式可得d l o gx(t)rrKx(t)c y(t)K(Kx(t)dtK(Kx(t)dB(t),d l o gy(t)m c x(t)dtdB(t),则dl o gx(t)rKm cl o gy(t)rrKm cc y(t)K(Kx(t)dtK(Kx(t)dB(t)r Km cdB(t)rrKm cc y(t)dtK(Kx(t)d B(t)r Km cdB(t)进而l o gx(t)l o gx()trKm cl o gy(t)l o gy()trrKm ccty(s)dstK tt(Kx(s)dB(s)r K m c ttdB(s)另外,由引理,易得l i mtl o gx(t)t,其中M(t)t(Kx(s)dB(s),M(t)tdB(s)是鞅,满足Mi()(i,)由引理 可得l i m s u ptM,Mtl i m s u pttt(Kx(s)dsK,由强大数定律可得l i mtMit,(i,)因此l i mtrrKm ctKM(t)r Km cM(t)trrKm c结合引理 和假设可知l i m i n fttty(s)dsrrKm ccrK m crK m c东 北 师 大 学 报(自 然 科 学 版)第 卷 参考文献GA R DT I n t r o d u c e dt os t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nM N e wY o r k:M a r c e lD e k k e r,:高芳,王文爽,王静带有食饵避难的L e s l i e G o w e r捕食者食饵扩散系统的稳定性及最优税收J东北师大学报(自然科学版),():G OHBS G l o b a l s t a b i l i t y i nm a n ys p e c i e ss y s t e mJ Am e rN a t,:J I AN GDQ,Z HAN GBX E x i s t e n c e,u n i q u e n e s s,a n dg l o b a l a t t r a c t i v i t yo f p o s i t i v e s o l u t i o n s a n dML Eo f t h ep a r a m e t r e s t o t h el o g i s t i ce q u a t i o nw i t hr a n d o mp e r t u r b a t i o nJ S c i e n c e i nC h i n a,():X I APY P e r s i s t e n c ea n dn o n p e r s i s t e n c eo fan o n a u t o n o m o u ss t o c h a s t i cm u t u a l i s ms y s t e mJ/O L A b s t r a c tA p p lA n a l,D O I:/X I AL,S UNJJ D y n a m i c sa n dr e s p o n s er e s h a p i n go fn o n l i n e a rp r e d a t o r p r e ys y s t e mu n d e r g o i n gr a n d o ma b r u p td i s t u r b a n c e sJ A p p lM a t hM e c h E n g lE d,():Q I USY B o u n d e d n e s sa n da s y m p t o t i cs t a b i l i t yi nap r e d a t o r p r e yc h e m o t a x i ss y s t e m w i t hi n d i r e c tp u r s u i t e v a s i o nd y n a m i c sJ A c t aM a t h e m a t i c aS c i e n t i a,B():付静,魏丽莉,陈岩随机种群模型的平稳分布和数值模拟J东北师大学报(自然科学版),():E x i s t e n c e,u n i q u e n e s so fp o s i t i v e s o l u t i o n sa n dp e r s i s t e n c e f o rp r e d a t o r p r e ys y s t e m sw i t hr a n d o md i s t u r b a n c e sL IH a i h o n g,L IH a i x i a(D e p a r t m e n to fB a s i cS c i e n c e,J i l i nJ i a n z h uU n i v e r s i t y,C h a n g c h u n ;C h i n a;S c h o o l o fB u s i n e s s,C h a n g c h u nG u a n g h u aU n i v e r s i t y,C h a n g c h u n ,C h i n a)A b s t r a c t:A p r e d a t o r p r e ys y s t e ms y s t e m w i t hs t o c h a s t i cd i s t u r b a t i o ni sp r o p o s e da n da n a l y z e d B yu s i n gp r i n c i p l eo f c o m p a r i s o na n dt h em e t h o do fc o n s t r u c t i n gL y a p u n o vf u n c t i o n,t h eu n i q u ep o s i t i v es o l u t i o no ft h es y s t e mi sp r o v e d A n d w h e nt h e w h i t en o i s ei ss m a l l,t h es y s t e m h a ss t o c h a s t i cp e r s i s t e n c e K e y w o r d s:L y a p u n o vf u n c t i o n;I t of o r m u l a;e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s;p e r s i s t e n c e(责任编辑:李亚军)