理想流体中多孔球形粒子的声辐射力的研究.pdf

CNATURASCIENCEMar.,20232023年3 月JOURNALJNIVERSITYVol.59,No.2第2 期第5 9 卷南京大学学报（自然科学）DOI:10.13232/ki.jnju.2023.02.004理想流体中多孔球形粒子的声辐射力的研究刘腾,赵越1,刘杰惠1,刘晓宙1.2*（1.近代声学教育部重点实验室，南京大学声学研究所，南京，2 10 0 93；2.声场声信息国家重点实验室，中国科学院声学研究所，北京，10 0 190）摘要：主要根据Biot-Stoll多孔介质理论，推导了平面波人射到理想流体中多孔球形粒子的声散射系数以及所受声辐射力表达式，通过数值模拟分析了开孔和闭孔情况下多孔球形粒子在不同体孔隙率、不同面孔隙率以及不同药物材料下所受的声辐射力大小，并利用有限元仿真对理论结果进行了验证从结果可以看出体孔隙率越大，多孔粒子所受的声辐射力越大，对于不同的药物粒子，由于各类性质不同，所以相对而言所受的声辐射力的波动较大.研究为流体中粒子的声操控提供了理论基础，有助于从药物材料、孔隙率等方面改善和发展用于医学相关领域的药物操控.关键词：声散射，声辐射力，多孔粒子，平面波，药物材料中图分类号：0 42 6.2文献标志码：AAcoustic radiation force of porous spherical particle in an ideal fluidLiu Teng,Zhao Yuel,Liu Jiehui,Liu Xiaozhoul.*(1.Key Laboratory of Modern Acoustics,Institute of Acoustics and School of Physics,Nanjing University,Nanjing,210093,China;2.State Key Laboratory of Acoustics,Institute of Acoustics,Chinese Academy of Sciences,Beijing,100190,China)Abstract:Based on the Biot-Stoll porous media theory,the expressions of acoustic scattering coefficient and acoustic radiationforce of a porous spherical particle in ideal fluid induced by incident plane wave are deduced theoretically.Furthermore,theamplitudes of the acoustic radiation forces of the porous spherical particles in both open-pore and closed-pore situations areanalyzed through numerical simulation with various bulk porosity,surface porosity and drug materials.The theoretical resultsare verified via finite element simulation.Results show that the increasing of the bulk porosity generates the growth of theacoustic radiation force.Moreover,acoustic radiation forces for porous spheres with different drug materials exhibit significantfluctuations.This work provides a theoretical basis for the acoustic manipulation of the porous spherical particle in fluids andcontributes to the improvement of drug manipulation in medical domain.Key words:acoustic scattering,acoustic radiation force,porous particle,plane wave,drug material声波在流体中传播遇到障碍物时，其携带的动量和能量会被吸收、散射和折射，导致障碍物和声波之间会发生能量以及动量的交换，使得物体受到声辐射力的作用，利用物体所受的声辐射力，可以实现对物体的定向移动、区域捕获以及切割分离等非接触性、无损伤的声操控 1-3 声操控技术的工作装置简单、成本低廉，同时其具有高度集成和微型化的特点，在材料、生物、医疗、工业等方向有着重要的应用.学者们对声辐射力的研究已有久远的历史，基金项目：国家重点研发计划（2 0 2 0 YFA0211400），国家自然科学重点基金（118 3 40 0 8），国家自然科学基金（12 17 4192），声场声信息国家重点实验室（SKLA202210），中国科学院水声环境特性重点实验室（SSHJ-KFKT-1701）收稿日期：2 0 2 2 一110 2*通讯联系人,E-mail:223刘第2 期腾等：理想流体中的多孔球形粒子的声辐射力的研究最早于190 2 年，Rayleigh4率先提出了“声波振动造成压力的概念.193 5 年，King5以刚性球为模型，计算出了其所受的声辐射力，并给出表达式.2 0 世纪中叶,Biotl6-7,Bearl8和Cheidegger etal9-101提出多孔介质理论模型，为计算多孔材料的声辐射力打下基础.198 1年，Hasegawaetal1测出了球面波声场中固体弹性球所受的声辐射力.1997 年，Doinikov12测量了不同情况下，在粘滞导热流体中刚性球所受的声辐射力.进人2 1世纪以来，已经有许多的研究工作从研究方法、粒子材料和形状以及声场类型等 13-2 3 方面对声辐射力在理论和实验上进行了研究.这些研究工作构建了声辐射力的理论基础，且丰富了声辐射力的应用场景.不同形状的微小粒子的声场设计研究也有了极大的发展，尤其是在病理检测、医疗成像、远程触诊方面 2 4-2 9.不仅如此，由于利用声辐射力操控粒子的无损伤、非接触性等特点使其在靶向给药等方面也有着极大的便利.2 0 12 年，Az-arpeyvand andMahdi30研究了贝塞尔波作用在多孔球上的声辐射力，利用Biot模型描述多孔介质中的波动.2 0 15 年，Kokhuisetal31利用声辐射力对干细胞和气泡的结合体进行局部递送.2 0 19年，Mitri32对导电椭圆圆柱上的辐射力进行了测量研究.史菁尧和张小凤 3 3 对柱腔内胶囊球的声辐射力进行了分析.2 0 19年,PierreandLouis34研究了在聚焦声场施加的声辐射力作用下，在胶囊中微粒球的运动.目前，有关粒子的声辐射力研究一般需要将粒子进行简化，对于常见的多孔球形粒子，往往利用Biot模型多孔介质模型进行研究，这主要是由于相比于其他模型,Biot理论模型可以较为准确地反映多孔黏弹性材料参数随频率变化的动力学特性，并且发现多孔材料参数和等效介质密度和体积弹性模量之间存在函数关系，以往的研究主要集中于多孔球受声波的散射系数，缺少对于多孔球所受声辐射力的仿真验证.本文基于多孔介质以及声散射理论对球形多孔粒子所受的声辐射力进行了理论推导，通过数值仿真直观地分析了理想流体中多孔球形粒子在开闭孔、不同孔隙率、不同药物材料等条件下受到的声辐射力的变化情况，为药物粒子的定向操纵提供了理论基础.1理论推导如图1所示，假设有一束角频率为的平面波在流体（其中，流体的密度为o,声速为co)中沿之轴方向人射到一个半径为的多孔药物球形粒子.如图2 所示，由于实际的药物粒子比较复杂，为简化问题不考虑多孔球表面的摩擦，将其简化为一个多孔球，声波在粒子外部产生散射声场，内部产生折射声场。理想流体平面波多孔球图1平面波入射多孔球示意图Fig.1Schematic diagram of plane wave incident onporous sphere5um图2粒径为10 m的多孔药物粒子示意图 3 5 Fig.2 Schematic diagram of porous elastic drug parti-cle with particle size of 10 m/3在球坐标(r,)中，人射声波的位移势可表示为 3 6 ;i=。2 艺(-j)*(2n+1)j.(kr)Y(0.g)emn=0/=(1)由于问题关于轴对称，声场与9 无关，故/=0.p1=。Z(-i)*(2 n +1)j.(k r)P,(c o s 0)e r(2)n=0224南京大学学报（自然科学）第5 9 卷其中,k=,j,为第n阶球Bessel函数，。为位移Co势振幅，P,(cos)为第n阶勒让德多项式.散射声波的位移势可表示为 3 7 ：p2=Z(-i)*(2n+1)D,H(2)(kr)P,(cos 0)emrn=0(3)其中,H(2)为第二类n阶球Hankel函数,D,为多孔球声散射系数.根据Biot模型，处于流体的多孔球中，存在快纵波、慢纵波和横波三种形式的波，设快纵波和慢纵波的位移势为。和6,横波的位移势为,将其代人波动方程：129a=0(4)at196=0(5)at212=0(6)at其中，Ca，Cb,Ca 分别为球体中的快纵波、慢纵波和横波的波速，与多孔介质的黏弹性参数P,Q,R，切变模量N,结构参数以及多孔球的体孔隙率有关，详细公式见附录1 3 8 由此可以得到多孔球中这三类声波的位移势为 3 8 9.=2(-i)*(2n+1)A,j(k.r)P,(cos 0)e(7)n=09=Z(-i)*(2n+1)B,P(cos 0)eor(8)n=0=Z(-j)*(2n+1)C,j.(kur)P,(cos 0)ejo(9)n=0在Biot多孔介质理论中，饱和多孔介质被视作由多孔骨架和孔隙流体两个相在相互作用下的构成.声波在多孔球表面r=a处满足边界条件：（1)考虑多孔球表面开孔分布均匀，且声波波长远大于孔隙之间的间距的情况下，由径向位移连续得：Ui,+(1-)ui,=Uzr(10)其中，为多孔球的面孔隙率，与体孔隙率不同.U1,为孔隙流体上的平均位移且U,=aa+yab,为与多孔媒质的力学性有关的量 3.3 3-3 41，u 1为多孔球固体骨架上产生的平均位移且uir=。十十，U2为总位移。（2）流体和多孔球界面上径向总应力连续：tm=-Pm(11)其中，P为总应力，而应力t包括两个部分。骨架应力：au1rtm=(P-2N)Vuir+QV.U,+2Nar流体应力：t,-QVu,+RV.U,K,其中,P,Q,R为黏弹性参数,N为切变模量,K,为骨架体积模量，（3）流体和多孔球界面上切向应力为零：tro=0(12)（4)界面上流体与骨架间的压力与流体相对于固体骨架的速度平衡：p,-(p9)+p)=Tp(Ui,-ur)(13)其中，P,=QVur+RVU,/为孔隙间流体压力，p和p为人射和散射声压.T为速度阻抗，对于闭孔时T=8，则流体与固体骨架之间的速度相等，无相对流动，即U1,=u1r.开孔时T一O,流体可以自由流动，那么外部流体和孔隙中流体之间声压连续，即p,=p9+p将式（7 9)代人式（10 13)可解得声散射系数D，满足矩阵：M,/An,B.,Cu,D,I=|N.l(14)其中，i,j=1,2,3,4,M,和N,的详细表达式见附录2.在流体中，当一束声波人射到半径为的球形粒子上，多孔球所受到的声辐射力表达式可以写为 3 9，F=ods(15)其中，表示时间平均，S表示小球的表面积，为应力张量。由于声场的对称性，沿之轴方向的分力可以看作粒子所受的合力，式(15)在轴方向的分量可表示为：2元a2(omrcos-rosin0)sinode(16)F0在理想流体中，可忽略oro，表达式为：第2 期刘225腾等：理想流体中的多孔球形粒子的声辐射力的研究2Po(17)at2c0at2其中，总速度势为：(di+2)=at2(-i)0(2n+1)0j.(kr)+D,H(br)n=0P,(cos 0)ejot为了计算可将式（18）改写为：p,=Z(S,+jR,)P,(cos 0)e/m(19)n=0S,=Re(2n+1)(-i)poj.(kr)+D,H(kr)(20)R,=Im(2n+1)(-j)j.(kr)+D,H2(kr)(21)将式（19)和式（17)代人式（16），结合球贝塞尔的递推公式和勒让德函数的递推公式等，经过计算可得理想流体中多孔小球所受的之轴方向声辐射力的表达式为：F=wa(n+1)(S,S+1+R,Ru+1)+(2n+1)(2n+3)CO(n+1)(n+2)元0S,Sn+1+1+R,Ru+1)(2n+1)(2n+3)(22)2有限元仿真为了进一步验证理论的正确性,在本节中利用有限元方法（COMSOL）进行了数值仿真.为了便于与理论结果对比，仿真中使用的参数为表1体孔隙率为0.5 8，面孔隙率为0.3 8 的闭孔小球的参数.首先利用有限元模拟出沿轴方向传播的中心频率为1MHz的平面波声场，经过多孔小球散射后的声场情况如图3 所示.从图3 可以看出，平面波向前传播时，遇到多孔小球发生散射、透射等现象，从而使小球受到声辐射力的作用利用式（15），不同频率下有限元和理论计算得到的声辐射力结果在图4给出.图4为小球半径a为0.0 0 2 5 m时，在理想流体中闭孔小球所受之方向的声辐射力随k的变化情况.对比两种方表1多孔小球以及流体的相关参数 3 8 Table1Related parameters of porous sphere and fluid38变量名称值液体密度po(kgm-3)1000液体的体积模量K,(GPa）2.25切变模量N(GPa)2.80液体中的声速co（ms-1)1500面孔隙率0.280.48体孔隙率0.380.78结构因子1.79固体密度p.(kg.m=3)2480固体体积模量K，（G Pa）49.9骨架体积模量K,（G Pa）5.17p(Pa)7.760E-50.004-6.800E-55.840E-50.002+4.880E-50.0003.920E-5N2.960E-5-0.002-2.000E-51.040E-5-0.0048.000E-7-0.004-0.0020.0000.0020.004x(m)图3平面波入射到多孔球时的声场分布Fig.3Sound field distribution of plane wave incidentona porous sphere法，总体趋势和峰值出现情况大体一致，证明理论结果的正确性。3数值模拟为了研究开孔闭孔、不同孔隙率等对粒子所受声辐射力的影响，对半径a=0.0025m的多孔小球进行了数值计算，多孔粒子和理想流体的基本参数见表1,取迭代次数n=30.首先对面孔隙率为0.3 8，体孔隙率分别为0.3 8,0.5 8 和0.7 8 的开孔球受到的声辐射力进行了仿真，结果如图5 所示.对比发现，在k较小时，不同体孔隙率的多孔球的声辐射力全部保持较低水平，几乎看不出226第5 9 卷南京大学学报（自然科学）+-Theory4.010-6一FEM2.010%0.0-(N)-2.010-6-4.0106-6.010-612345ka图4通过理论计算和有限元仿真得到的轴向声辐射力F对比Fig.4Comparison of axial acoustic radiation force ob-tained by theoretical calculation and finite element simu-lation10-6-0.38-0.582-0.78024-6-800.511.522.533.544.55ka图5开孔条件下不同体孔隙率的多孔球声辐射力Fig.5Acoustic radiation force of porous sphere withdifferent porosity under open pore condition变化，这是由于ka较小时，声波波长大于多孔球尺寸，多孔球对声场的影响较小，在ka较大时，不同体孔隙率所受声辐射力都有所增大，孔隙率越小，所受的声辐射力越大，且在共振处出现尖峰与尖谷。这是因为随着体孔隙率的增大，声波能量更多地流向快纵波部分，散射功率越小，所以所受声辐射力越小.同一粒子，与ka较小时的声辐射力相比，ka较大时，粒子相对于波长较大，声辐射力的振荡现象更明显.波峰与波谷的出现是由粒子的共振以及负向声辐射力引起的，且由于理想流体无黏的特点，对比一些高黏流体中在粒子表面形成较厚的黏性边界层从而增加声波的耗散的情况，理想流体情况下的波峰与波谷更尖锐。同样条件的闭孔小球，在体孔隙率分别为0.38，0.5 8 和0.7 8 的声辐射力如图6 所示.105-0.38-0.583-0.782(N)0-1200.511.522.533.544.55ka图6闭孔条件下不同体孔隙率的多孔球声辐射力Fig.6Acoustic radiation force of porous sphere withdifferent porosity under closed pore condition由图6 可知ka较小时，其声辐射力随ka变化比较小，随着ka的增大，声辐射力波动较大.由图7可知，与开孔条件相比，闭孔条件下的声辐射力较大，因为闭孔条件下慢压缩波的能量低于快压缩波的能量，导致相应的散射功率也明显高于开孔条件下的散射功率，且开孔条件能量损耗大，因此相比于开孔条件，闭孔条件下声辐射力较大X105T=03.5-T=inf32.52(N)1.510.50-0.5-100.511.522.533.544.55ka图7闭孔和开孔条件下体孔隙率为0.3 8 的多孔球声辐射力Fig.7Acoustic radiation force of porous sphere withvolume porosity of o.38 under closed and open pore con-ditions227第2 期刘腾等：理想流体中的多孔球形粒子的声辐射力的研究进一步探究不同表面孔隙率下，多孔小球所受声辐射力的变化情况.其他参数不变，体孔隙率为0.3 8，面孔隙率分别为0.2 8,0.3 8,0.48的多孔小球受声辐射力的情况见图8 和图9.106=0.28=0.38=0.480-2(N)24-6-8-1000.511.522.533.544.55ka图：开孔条件下不同面孔隙率的多孔球声辐射力Fig.8Acoustic radiation force of porous sphere withdifferent surface porosity under open pore condition105=0.283.5=0.38=0.4832.52(N)1.510.50-0.5100.511.522.533.544.55ka图9闭孔条件下不同面孔隙率的多孔球声辐射力Fig.9Acoustic radiation force of porous sphere withdifferent surface porosity under closed pore condition由图8 和图9发现，在开孔和闭孔条件下，取不同的面孔隙率,声辐射力几乎不发生变化.这是因为在数值模拟时小球的所取半径很小，其表面情况对于声辐射力的影响不大，为了更直观分析开闭孔条件下药物材料受声辐射力的影响，表2 所示为本文中实验仿真所用到的不同药物粒子的参数.由于我们研究的是多孔药物，其实际密度与表2不同药物的相关参数 3 8 40-411Table2Related parametes o different drugs.o-4变量名称值结晶类药物密度ps（k g m-3）4890结晶类药物弹性模量E（G Pa）53.05结晶类药物泊松比0.343结晶类药物切变模量N,（G Pa）25.4草本类药物密度ps（k g m-3)438草本类药物弹性模量E（G Pa）9.8草本类药物泊松比0.38草本类药物切变模量N,（G Pa）0.49聚合物类药物密度p.（k g m-3）1400聚合物类药物弹性模量E（G Pa）1.71聚合物类药物泊松比0.4聚合物类药物切变模量N，（G Pa）0.69体孔隙率0.38面孔隙率0.28结构因子1.79多孔药物的孔隙率有关，上表中的药物密度皆为不考虑孔隙率情况下的自然密度，药物颗粒的实际密度=.(1一).其中,.为药物颗粒的自然密度，上表中的弹性模量与泊松比可用来计算材E料的体积模量，计算式为K，=,其中E3(1 2)为弹性模量，为泊松比 3 9,图10 和图11反映了结晶类（crystallization）、草本类（herbs）与聚合物类（polymer）三类多孔球X1065crystalization-herbspolymer0(N)-5-1000.511.522.533.544.55ka图10开孔情况下不同球形药物粒子声辐射力Fig.10Acoustic radiation force of drug particle underopenporecondition228第5 9 卷南京大学学报（自然科学）10-5crystalizalion0.5-herbswpolymer0-0.5-1-1.5-2-2.5-300.511.522.533.544.55ka图11闭孔情况下不同球形药物粒子声辐射力Fig.11.Acoustic radiation force of drug particle underclosed porecondition形药物所受的声辐射力.观察到在ka较小时，三类药物的声辐射力都很小；当ka处于3 4时，草本类与聚合物类药物颗粒所受的声辐射力急剧变化并出现峰值；当ka继续增大时，结晶类药物会出现一个较大的峰值由此可以得出不同的药物颗粒出现声辐射力的峰值位置不同，再针对不同的药物颗粒，就可以恰当地选择人射声波，达到声辐射力最大，从而实现对粒子的操纵。4结论本文着重研究了流体中多孔药物粒子在平面波作用下受到的声辐射力，推导出了声散射系数、声辐射力函数以及轴方向的声辐射力表达式，进一步数值模拟出开闭孔、体孔隙率和面孔隙率以及药物材料对声辐射力的影响，并且利用有限元仿真验证理论的正确性.结果表明，表面孔隙率对多孔球形粒子的声辐射力影响较小，体孔隙率和药物材料对声辐射力的影响较大.因此，可以根据药物特点，选取恰当的人射声波，实现对多孔药物粒子的精确操纵.研究为流体中粒子的声操控提供了理论基础，有助于用于医学领域的药物颗粒操控技术的发展，例如靶向药物给药等，参考文献1Shi J J,Ahmed D,Mao X L,et al.Acoustictweezers:Patterning cells and microparticles usingstanding surface acoustic waves(SSAW).Lab on aChip,2009,9(20):28902895.2Marzo 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