含空间自相关误差项的非参数回归模型的调整经验似然估计.pdf

第 35 卷第 3 期湖南文理学院学报(自然科学版)Vol.35 No.32023 年 9 月Journal of Hunan University of Arts and Science(Science and Technology)Sep.2023doi:10.3969/j.issn.16726146.2023.03.004含空间自相关误差项的非参数回归模型的调整经验似然估计邹云龙(广西师范大学 数学与统计学院,广西 桂林,541004)摘要:利用调整经验似然的方法,研究了含空间自相关误差项的非参数回归模型的调整经验似然估计问题。通过鞅差序列处理该模型估计方程中出现的线性二次型形式,构造出该模型的经验似然比统计量。针对经验似然估计方程可能不存在解的情况构造调整经验似然比统计量,证明了该调整经验似然比统计量是渐近卡方分布的,并且对该调整经验似然比统计量的渐进功效进行了研究。关键词:非参数回归函数;调整经验似然;鞅差序列中图分类号:O 212.7文献标志码:A文章编号:16726146(2023)03002006Adjusted empirical likelihood for nonparametric regression model with spatialautoregressive errorZou Yunlong(Department of Mathematics and Statistics,Guangxi Normal University,Guilin 541006,China)Abstract:This paper investigates the problem of adjusting the empirical likelihood estimation of a nonparametricregression model with a spatially autocorrelated error term by using the adjusted empirical likelihood method.Theempirical likelihood ratio statistic of the model is constructed by processing the linear-quadratic forms in theestimating equation of the model through the martingale difference sequence.The adjusted empirical likelihood ratiostatistic is constructed for the case that the empirical likelihood estimating equations may not have a solution.In thispaper,we prove that the adjusted empirical likelihood ratio statistics are chi-squared distributions,and investigate theasymptotic efficacy of the adjusted empirical likelihood ratio statistics.Key words:nonparametric regression;adjusted empirical likelihood;martingale difference sequence随着现今数据越来越复杂,数据中不同事物的关系不能完全确定,而非参数回归模型无需事先假定模型的具体形式,完全凭借数据驱动,使得非参数回归模型被更广泛的应用。除此之外,非参数回归模型还具有很强的适应性和稳健性,该模型也被许多学者进行了研究。如:Ding 等1研究了不确定非参数回归模型的最小二乘估计;李英华等2在()混合的随机误差下,研究了固定设计及响应变量有缺失的非参数回归函数的经验似然推断;田亚爱等3研究了误差项为一阶非参数自回归时非参数回归模型的核估计,并证明了估计量在给定条件下的渐近正态性质;李晋云等4基于样条方法对固定设计非参数回归模型进行了区间预测;屈聪等5对误差为鞅差序列的非参数回归模型的完全相合性进行了研究。而本文需要研究的含空间自回归误差的非参数回归模型也是非参数回归模型中的一种延伸拓展,该研究结果也会进一步补充和完善非参数回归模型领域中的相关研究结果。经验似然方法是由 Owen 在文献6中提出的一种非参数估计方法。由于经验似然方法具有变换不通信作者:邹云龙,。收稿日期:20221025基金项目:广西研究生教育创新计划项目(YJSCXP202104)。第 3 期邹云龙:含空间自相关误差项的非参数回归模型的调整经验似然估计21变性、无需构造枢轴统计量等优点,从该方法被提出开始,就被大量学者关注并研究,并被应用于许多领域。Li7等人研究了含空间自相关误差项的非参数回归模型的经验似然方法的统计性质。但是,经验似然方法在具体求解时,只有当 0 在估计函数集合的凸包内部时才有解。为了解决该问题,许多学者对其进行了研究,并提出了各种解决方法,其中比较典型的方法是文献8中提出的一种调整经验似然方法,该方法可以很好地解决这个问题,并且该方法的思想和计算比较简单,也拥有同样的大样本性质。本文基于文献8的结果通过调整经验似然方法来研究含空间自相关误差项的非参数回归模型。1主要结论本文考虑如下的具有空间自回归误差的非参数回归模型:=()+,1,iiymUin ix(1)(),nnU=W U+(2)其中:n表示空间单元的数目;()m 是未知的光滑函数;iy是响应变量;0,1(1)rrix是固定设计点;T1()nU,UU是n维误差向量,其中符号 T 表示向量或矩阵的转置;|1是自回归参数;Wn是对角线元素全部为 0 的nn维空间权重矩阵;()n是n维向量且满足()()()0,Var()2nnnE=I,其中In表示nn维的单位矩阵。对于给定的(0,1)rx,模型(1)中()m x常用的估计量类型为1()(),nnniiimWyxx其中权重函数(),=1,niWix2,n是非负的加权函数。取00nh=h 和非负核函数(),rKRu u。令()hK=u()Kuh。在本文中,权重函数()niWx使用 NadarayaWatson 权重:=1()()()hininhjjKWKxxx=xx。由公式(1)知,()iiiUymx。因此iU的估计量是()iiniUymx。令T1(,)nUUU,()()nnnUW UAU,其中()nnnAIW是非退化矩阵。根据式(2),可得和2拟极大似然估计的对数似然函数22T()()21(,)log(2)loglog|()|,222nnnnnL A(3)其中()()nn AU。令2(,),()mx,分别对 和进行调整经验似然估计。1.1 的调整经验似然估计为了得到 的调整经验似然估计,使用公式(3)分别对和2求导22T121T2()()()()2224(,)11(,)1()tr()tr(),2nnnnnnnnnnLL W AW AGGT2()()(),nnn(4)其中1T1(),()2nnnnnnGW AGGG,tr()表示矩阵的迹。令式(4)中两个偏导式的值都为0,可以得到估计方程:T2()()tr()0,nnnnGG(5)T2()()0nnn。(6)用ijg 表示矩阵nG中位置(,)i j的元素。为了处理式(5)中的二次型,需要引入文献9介绍的鞅差序列。定义-域:0,F,1(,.,),1iiin F。令1221()2,iiniiiiijjjYgg(7)其中i是()()nn AU 的第i个元素,且1iiFF。如果使用 i代替 i,那么,1iniYin F将会22湖南文理学院学报(自然科学版)2023 年构成一个鞅差序列,且T2()()1tr()nnnnniniY G G。(8)根据式(5)(8),令122122()2()iiiiiijjjiigg 。因此,可以构造2(,)的经验似然统计量1,1111()sup,innipiniLnp 其中1ip满足条件:111110,1,1,()nniiiiiipinpp0 。由拉格朗日乘数法,可得T1111T1111,()2log()2log1()(),1()()ninniiiplLn 其中,21()R 是下面方程的解:T11()01()()niii 。(9)但当样本量较少,0不在经验似然估计函数集合1(),()n 的凸包内时,方程(9)不一定有解,此时1()nl 不一定可以得到。为了解决这个问题,可参考文献8构造2(,)的调整经验似然统计量:1,1*11111()sup,innipiniLnp 其 中*ip满 足 条 件:11*111110,11,1,(),nniiiiiipinpp0 其 中1,nnna 11()(),nnniin 0na 是一个调整参数。由拉格朗日乘数法,可得1*T1111*T1111,()2log()2log1()(),1()()ninniiiplLn (10)其中,*21()R 是下面方程的解:1*T11()01()()niii 。(11)显然,当 0 时,*11()()0nnll。因集合11(),.,(),()nn 的凸包内部包含 0,则方程(11)一定有解,所以*1()nl 一定可以得到。1.2给定(0,1)rx时()mx的调整经验似然估计根据式(1)和(2),可得1(),niiijjijymw Ux其中ijw是矩阵nW在位置(,)i j的元素,通常假定对角线元素0iiw。根据文献10可以令()()(),ihiiQKyxx其中1niinijjjyyw U。定义的经验似然比统计量为2,2211()sup innipiniLnp 其中2ip满足条件:222110,1,1,()0nniiiiiipinpp Q。由拉格朗 日 乘 数 法,可 得2211,1()()iipnQ 2221()2log()2log1()(),nnniilLQ 其 中,2()R是下面方程的解:12()01()()niiiQQ。(12)同样,当样本量较少时,方程(12)不一定有解。需要构造()m x的调整经验似然比统计量为*2()nL:第 3 期邹云龙:含空间自相关误差项的非参数回归模型的调整经验似然估计232,1*2111supinipininp 其中*2ip满足条件:11*222110,1,1,()0nniiiiiipinpp Q;1()()nnnQb Q,11()()nniiQnQ,0nb 是一个调整参数。由拉格朗日乘数法,可得*22*211,()1()()iniplnQ 1*2212log()2log1()(),nniiLQ 其中,*2()R是下面方程的解:1*12()0,1()()niiiQQ(13)且该方程的解一定存在。在本文中,记符号()V A为矩阵 A 的对角线元素组成的列向量,为了获得调整经验似然比统计量*1()nl和*2()nl的渐进分布,需要如下假设条件:(A1)()m 在0,1rx上满足 Lipschitz 条件,即对任意的12,0,1,rx x存在常数0C使得1()mx2012()mCxxx。(A2),1iin 是均值为 0,方差为20的独立同分布的随机变量序列,并且存在10,使得141|E。(A3)非负核函数()K u有界,且1()()nrhiiKO nhxx。权重函数(),1niWin x非负,且当n 时,存在常数10,01/Mr,使得1(i)()1;nniiWx11(ii)()()0nniiiWIMnxxx,其中()I 是符号函数;1(1)1(iii)max()()rniinWO n x。(A4)nW,1()nA和 ix满足条件:(i)nW和1()nA行元素绝对值之和与列元素绝对值之和都一致有界;(ii)1()nA的行和与列和关于是一致有界的,其中是紧集,且真值0是的内点;(iii)ix一致有界。(A5)(i)对任意的,i j元素1()ijnwO,其中n序列是发散的,并且存在0使得10nn,并且 当0时,211T*211T00lim(ln|()()|ln|()()()|)0,nnnnnnnnnnAAAA其 中*2()n21TT100tr()()()()nnnnnAAAA;(ii)当n 时,11 20rnh,10rrnh且/0rnnh,其中101/r。(A6)存在常数0(1,2),jcj使得111minmax20()(),cnnc 其中min()A和max()A分别表示矩阵 A 的最小和最大特征值,1112T12122(),niiD 其中()D表示向量的协方差矩 阵,2424441141242tr()(3)V(),2tr()(3)tr(),nnnnGGGG442242(3),nn44()iE。条件(A1)(A3)是非参数回归模型的常用条件,例见文献10。条件(A4)(A6)为空间自回归误差模型常用的条件。定理 1在假设(A1)(A6)都满足的条件下,基于式(1)和(2),当0,n 且2 3()npaon时,有*212(),dnl 其中22表示自由度为 2 的卡方分布,0 表示参数 的真值。定理 2在假设(A1)(A6)都满足的条件下,当0,n 且()0nE 时,有1 3*1()pnnl 1 31,()pnnl，其中11()()nniin 。24湖南文理学院学报(自然科学版)2023 年定理 3在假设(A1)(A6)都满足的条件下,基于式(1)和(2),当n 且2 3()npaon时,有*221,dnl其中21表示自由度为 1 的卡方分布。定理 4在假设(A1)(A6)都满足的条件下,当0,n 且()0nE Q时,有 1 3*2pnnl 1 32,pnnl,其中11()()nniiQnQ。2定理的证明下面只证明定理 1 和定理 2,因为定理 3 的证明与定理 1 类似,定理 4 的证明与定理 2 类似。引理 1在满足假设(A1)(A6)的条件下,当n 时,有1241max|()|(),ipi non 1 21()ndii 1T13211(0,),()()(1),|()|(),nndiipipiiNnnoOnI 其中 在条件(A6)中给定。详细的证明过程见文献7的引理 2。该引理主要用于定理 1 的证明。引理 2在假设(A1)(A6)都满足的条件下,当n 时,有114111max|()|(),()ndipnii niQonQ 111 31 3(1)22233 211(0,1),()1(1),|()|(),nndrrnipipiiNQoQOnhnnn 其 中22T,nnnnV V VT1(),()hhnKKxxxx。详细的证明见文献7的引理 4。该引理主要用于定理 3 的证明。定理1的证明记*11T110111(),()(),()(),max|()|,nnnniiiiiiniinn S (),i 其中*1 是式(11)的解,令由引理 1 可知1 21 2(),(),nppOnon 记()ii ,根据式(11),有*T*T2211*T*T*T*T111111111111*T*T*T*11111111111110(1)|111iinnnniinniiiiiiiannnnn *3*T*T*T112*211121*111111(1)/(1)()(1)nnnninipniianOnann。因此当()npaon时有*T*T1211*11111(1)1ninpion。由条件(A6)可知*T21*111niin *T*T*T*TT1/21/21/21/21111min0max*111111(),()niinnninS 。因此*1min0*1()1S 1/21/2max()(1)npo。由引理 1 知1 21()pOn,在结合条件(A6)可知*11/2*1(),1pOn 再根据引理 1 可知*1/21(),pOn 则*T*T*T*11111111maxmax(1),(1),iipnnnnnpininoaao (14)再根据式(11)可得*T*T2111111T*111*T*T*T111111111()1111110111nnnnnniiiiiiiiiiiiiiiiiinnnnnn *T2*T2*T1111101111*T*T1111()()111111niinnnnnniinnnnnS 。又根据引理 1 和假设(A6),可得第 3 期邹云龙:含空间自相关误差项的非参数回归模型的调整经验似然估计25*T2*111100*T11()1,1niiniinSS 其中321*T2111/2111()()()nniiippiinnOnon 。根据式(14)可得式(10)的泰勒展式1111*T*T*T2*T3*T*T*T211111111111111()2log12()22nnnnnniiipinniiiiiilOn 11*T2*T3*T*T*T311/2T11111011011()()2()(1)2()nnnpinpipnpniiOnnOononSS 111/2T11/2*T3T11/2T000101()()()(1)22()nnpnppipnnnpninononOonnonnSS SS 11T11/21/211/2*T3T10001012()()()()(1)nnnppppipnninonn ononOonSSSS 11*T31/2T1/211/211/2*T310111()(1)()(1)nnpipnnpipiiOonnnOoS 。(15)根据引理 1 及假设(A6),可知式(15)中11/2T1/211/211/22*T30211 ,()ndnnpiinnnOCS 133*11(1)nipio。因此*212()dnl,定理 1 得证。定理 2 的证明当0,n 时,由大数定律可得T2|0,pnn 设2/31nnM,其中0M 是 任 意 常 数,则7 61|()pon。因 此TT1111111maxmax(1),iipninino 1(1)npo。则可以得到式(10)的泰勒展式1111TTT2T3T11111111111log1()2nnnnniiipiiiiiiiO 11T2T3TT21 32T2T3111111111111111()()(1)222nnnnipinnipipiiiiOnMOo 。又 由 于133T2TT4 3T31101max01111111()()(1),()nnnipppiiiiinnOnoOCSS 335 2211()()(1)npppCOnOno。因此1T1 3211log1(1)nipinMo 。由式(10)可知*1()nl 11*TT1 3211112log12log1(1),nniipiinMo 由于M是一个任意大的正数,因此1 3*1()nnl。类似可以证明1 31()nnl 。定理 2 证毕。参考文献:1DING Jianhua,ZHANG Zhiqiang.Statistical inference on uncertain nonparametric regression model J.FuzzyOptimization and Decision Making,2021,20(4):119.2李英华,秦永松.缺失数据下混合样本情形非参数回归函数的经验似然推断J.应用概率统计,2016,32(4):331340.3田亚爱,田铮.一类非参数回归模型核估计的渐近性质J.数学的实践与认识,2017,47(1):206212.4李晋云,武新乾.基于样条方法的固定设计非参数回归模型的区间预测J.统计与决策,2021,37(4):4650.5屈聪,张水利.误差为鞅差序列的非参数回归模型的完全相合性J.数学的实践与认识,2021,51(2):200205.6OWENAB.Empirical likelihood ratio confidence intervals for a single functional J.Biomertika,1988,75(2):237249.(下转第 31 页)第 3 期奉勇辉,等:de Sitter-Schwarzschild 正则黑洞的质量标量场扰动3110 AKIRA OHASHI,MASA-AKI SAKAGAMI.Massive quasi-normal mode J.Classical and Quantum Gravity,2004,21:3 9733 984.11 KONOPLYA R A,ZHIDENKO A V.Decay of massive scalar field in a Schwarzschild background J.Physics Letters B,2005,609(34):377384.12 KONOPLYA R A.Quasinormal Behavior of the D-dimensional Schwarzschild Black Hole and the Higher Order WKBApproach J,Phys Rev D,2003,68(2):024018.13 KONOPLYA R A.Gravitational quasinormal radiation of higher-dimensional black holes J,Phys Rev D,2003,68:124017.14 FRMAN N,OFRMAN P,ANDERSSON N,et al.Black-hole normal modes:Phase integral treatment J.Phys Rev D,1992,45(8):2 6092 616.15 POISSON E,ISRAEL W.Structure of the Black Hole Nucleus J.Class Quantum Grav,1988,5:L201L205.16 NOVIKOV I.Physics of Black Holes M.Dortrecht:Kluwer Acad Pub,1998.17 JERZY MATYJASEK,MICHA OPALA.Quasinormal modes of black holes:The improved semianalytic approach J.Phys Rev D,2017,96(2):024011.(责任编校:张红)7LI Yinghua,QIN Yongsong,LI Yuan.Empirical likelihood for nonparametric regression models with spatialautoregressive errors J.J Korean Stat Soc,2021,50:447478.8CHEN Jiahua,ASOKAN Mulayath Variyath,BOVAS Abraham.Adjusted empirical likelihood and its properties J.Journal of Computational and Craphical Statistics,2008,17(2):426443.9KELEJIAN H,PRUCHAI R.On the asymptotic distribution of the Moran I test statistic with applications J.Journal ofEconometrics,2001,104(2):219257.10 LEI Qingzhu,QIN Yongsong.Empirical likelihood for non-parametric regression models with missing responses:multipledesign case J.Acta MathematicaeApplicatae Sinica,English Series,2011,27:112.(责任编校:张红)(上接第 25 页)