“四点”向量的数量积运算性质探究.pdf

-8-172023年第8 期数学教学“四点”向量的数量积运算性质探究江志杰（福建省惠安第三中学，福建泉州362100)我们知道，向量的数量积运算可以刻画两个向量的夹角、向量的长度（或两点间的距离），进而用来求解点、线、面等几何元素之间度量关系问题（如角和距离），其在平面或空间几何中发挥着独到的工具作用，是高中数学知识体系的关键节点，也是培养学生数学运算、逻辑推理和直观想象素养的重要载体，其功能与地位不言而喻！因此有关向量的数量积运算考查在高考、竞赛试题和数学应用中精彩纷呈、层出无穷！常见的向量数量积运算方法有定义法、坐标法、基底法、投影法等等，然而在某些动态几何变化问题中，常规方法有时难以奏效、甚至受阻！为此，我们拟就空间四点构成的向量，从长度或距离的角度探索向量数量积运算性质，旨在提升向量数量积运算的求解能力和运用技能，渗透转化化归、数形结合等数学思想，着力培养学生自主探究意识和创新例7证明(+b2+c)+4(R+R+R)=12R2.证明：12 R-4(R+R+R)=12(岁)a2(-2+b2+c2)2b2(2 62+c2)22(2+b2-c2)2)64.s264s264s2(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)(a+b2+c)16S2+b?+c2.利用软件测量研究几何问题，在中学已经成为常态.只不过平时更多的是去测量结论以及相关量，验证的成分多，发现成分少。而本文在不预知结论的情况下，按照一定顺序去测量几何量，但从中发现的并不多.本文探索前后花费半个月时长.单纯验证上述结论简单，但要发现这些结论却并不容易，中间应用意识引例（2 0 16 年全国数学联赛预赛）已知空间四边形ABCD中，AB=3，BC=7，CD=11,DA=9,则AC BD 的值为评析：本题虽说已知空间四边形的四条边长，然而该四边形并不具备稳定性，仍旧可以动态翻折、伸缩变化，因此我们直观猜测：这种向量数量积问题可能是一个定值问题，而且这种对角线所对应向量的数量积与四条边长可能存在着某种等量关系！1“四点”向量数量积性质的探究设A、B、C、D 是空间中任意四点,则AC.BDIAD|2+ICB|22IAB/2-/CD/2).证明：（如图1）不妨取AC的中点E，连结BE、D E.则有很多的弯路.就好比当初欧拉探索欧拉线的同时，还去研究内心一样.而关于内心1的相关计算，最后都没发挥作用.例5结论RA+R+Rc=R+r涉及多个量之间的关系，将RA、R B、R c 捆绑成RA+Rg+Rc，这样原来的5个量变为3个量，就简单不少，这充分利用了对称性.而例6、例7 涉及多个量的关系，而且不是简单加减，系数的配置需要观察和调试更多次数、花费更多时间.基于这次探索总结的方法，我还探索了其他一些几何问题，也有一些收获，充分表明这样的探索是有效的.这给我们启示：有时一些新的命题的发现，并不需要太多的灵感，只要找准目标，按部就班下笨功夫，也能有所斩获.这样的探索，对于一般的中学老师，甚至是中学生，都可以上手操作，有所发现.BEDE-(DC+DA).-(BC+BA)8-182023年第8 期数学教学DA/EB图1所以AC BD-AC.(BE-DE)=AC BE-AC.DE其中AC BE=(BC-BA)(BC+BA)AC DE=(DC-DA)(DC+DA)-(I CP D I).1两式相减得：ACBDIDA|2+2IBC2-|BA|2-|DC/2).那么，到底应如何来描述空间“四点”向量的数量积与相关线段长度的关系呢？在 ACBD的四点排列中，不妨称“A、D”为“外点”“C、B”为“内点”,称“A、B”，“C、D”为“交叉点”（或“间隔点”).所以“四点”向量的数量积等于“两外点”与“两内点”距离平方和减去两对“交叉点”距离平方和的差的一半！根据上述结论，我们可轻松解决引例问题：AC BD-(IAD|2+|CB|2-|AB2-|CDI)2(92+72-32-113)=0.意义：（1）将向量数量积运算转为相关向量之模的运算（即转为相关线段长度的运算），也是处理空间角和距离问题的重要模型；（2）“四点”向量数量积运算性质对于平面图形中的四点”、空间几何体中的“四点”均适用.2“四点”向量数量积性质的应用例1在ABC中,AB=2,AC=3,AB.AC=2,若点P满足BP=2PC,则AP.BC二解析：在ABC中，IBC|=AB|+AC2-2AB AC=2+3-2 2=9.从而IBC|=3,IBP|=2,IPC|=1.1所以 AP.BC=(IAC|2+PB|2-2AB|2-PC|2)=(32+22-22-13)=4.2变式在ABC中,AB=2,AC=3,若点P在线段BC的垂直平分线上，则AP.BC=（答案：2例2（2 0 12 年高考浙江卷试题）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=/2，将ABD沿矩形对角线BD所在直线进行翻折，在翻折过程中）.（A）存在某个位置，使得直线AC与BD垂直；（B）存在某个位置,使得直线AB与CD垂直；（C）存在某个位置,使得直线AD与BC垂直；（D）对任何位置，直线AC与BD、A B与CD、A D 与BC均不垂直.解析：选(B).如图2,理由如下：对于(A):AC BDAD2+|CB|2-|AB|2-|CD22+2-1-1=1#0,2(A)错；对于(B):AB.CDARCD8-192023年第8 期数学教学AADBC图2AD|2+|CB|2-AC|2-BD|21一ACI22(B)正确;对于(C):ADBCIACI2+|DB|2-|AB 2-|DCI?21ACi+1￥0,2(C)错.变式已知矩形ABCD中，AB=1，BC =/2，将ABD沿矩形对角线BD所在直线进行翻折（如图2），则在翻折过程中，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是IAB.CD解析:因为|cos|=IAB.ICD其中|AB|=1,ICD|=1.且AD|2+|BC|2-|AC|2-|BD21-IAC|2一2所以,要求直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围，即求|ACI的取值范围。显然当动点A落在面BCD（且A、C 位于直线BD的同侧时），IAC最小.如图3,IACIBDI-2|CDI:min13cos BDC=/3-2 1/33又AmaxDABC图3因此,lcos(AB,CD/=1-1ACE20,1.评析：虽说上述变式问题也可通过“垂直”“重合”两种特殊翻折得到所求角的余弦值范围，但只要将题目中“矩形”换成其他四边形,恐怕就难以直观猜测了！比如我们来回顾一下2 0 16 年高考浙江卷一道平面四边形的翻折问题：（2 0 16 年高考浙江卷试题）已知平面四边形ABCD中,AB=BC=3,CD=1,AD=/5,LADC=90，沿直线AC将ACD翻折成A C D ,则直线AC与BD所成角的余弦值的最大值是DDCB图4解析：如图4,因为Icos|=ACBD,其中|AC=/6,且4BDAC.BD1IAD|2+ICB|22IAB|2-|CD|2)1(5+9-9-1)=2,所以要求直线AC与BD所成角的余弦值的最大值即求BDmin8202023年第8 期数学教学又在RtA CD 和等腰ABC中，注意到cos L BCA=cos L DCA=VG,BCA=ZDCA,6故当点D落在边BC上时，BD=3-1=2,min因此Icos(AC,BDIm2/6626评析：本题并非常见的特殊四边形翻折，除|BD变化不定外，其余各边边长均是明确固定的，这无疑为运用“四点”向量数量积的运算性质提供了条件，也为转化化归问题找到切人点！还有本题发现ZBCA=ZDCA,又是解题关键的另一突破口！为进一步熟练自如地运用“四点”向量数量积运算性质处理空间角的问题，我们再看以下几道试题1）在三棱锥A-BCD中,AB=AC=DB=DC=3，A D=BC=2，点M、N 分别为AD、BC的中点,则异面直线AN、CM 所成角的余弦值是.（答案82）在菱形ABCD中，ZBAD=60，线段AD、BD 的中点分别为E、F,现将ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE、CF所成角的取值范围是().（答案:(C)(A)(B)(63)6”2TT1T2(C)(D)322333）已知ABC与ADC所在的平面互相垂直,AC=25,AB=AD=20,CB=CD=15,则异面直线AD、BC 所成角的余弦值为).（答案:(D)772412(A)(B)(C)(D)24252525评析：至此，我们不难发现：在三棱锥或空间四边形或平面四边形翻折问题中，尤其对不易直接建系或基底不明确的几何体，若几何图形中相关边长或距离的条件较为充分时，“四点”向量数量积运算性质就有很强的根植条件与应用空间，为我们解决空间角和距离问题增添了崭新的模型依据！下面我们仍回到上述例2 再继续进行变式探究：变式已知矩形ABCD中，AB=1，BC=/2，O 为对角线AC与BD的交点，将ABD沿对角线BD所在直线进行翻折，在翻折过程中，设二面角ABD-C的大小为.试证明：ZAOC.证明：如图5,过A、C 点分别作AEIBD于点E、C F1BD 于点F.AADFEBC图5则 EA,FC)表示二面角A-BD-C的大小故EA.FCcos =cos(EA,FC)=IEAI.IFC1/2/6其中|EA|=|FC|=IBE|=|DF=3V32/6/31233/3因此|EF|=/3-23且IEC|=3322AF|=V3+=1.于是，33EA.FC=ECP+/AFP-1EFI-IACl225-AC|2_ 5-3|AC=36265-3|ACV即，从而coS3365-3|AC122cos4OA|2+|0C/2-|AC|2又cosZAOC:二2|0A|10C|31AC1222AC/2.13322AB且由 BC2=AB?+AC2ACcos0,得mcossina.sin90又在ABC中,由ABBC得sinmcos4/5AD即8212023年第8 期数学教学2所以 cos-cos L AOC _ 3-IAC0,其12中AC/3.即cos cosLAOC(其中、LA O C E0,T,故有有LAOC.评析：一般地，用向量法求二面角的平面角问题大都转化为两半平面的法向量夹角问题，本题创造性地转化为两半平面的“方向向量”夹角问题来化解，充分展现了“四点”向量数量积运算性质的工具作用类似地，我们可以仿照上述方法解决以下这道高考题（2 0 15年高考浙江卷试题）已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成A CD,所成二面角A-CD-B的平面角为，则有（).(答案:(B)(A)LADB;(B)LADB;(C)LACBB;(D)LACB .例3在平面四边形ABCD中，AB=1，AC=/5，BD 1BC，BD=2 BC,则AD的最小值为DBA图6解析：如图6,设AC n BD=O，LD O C=,ZBAC=,BC=m,则LACB=-90,BD=2m,DC=/5m.由AC BD=(IAD +|CB-|ABI-2CD|2)得:1J5.2m cos(AD?+m-1-5m).2m=6-2/5cos 0.代人式得-4/5sin=AD-1-4(6-2/5cos0),即AD=25-4/5(sin +2cos 0)=25-2/5sin552/5故当sin(+)=1即cos0sing=555时,AD,Dmin=/5.评析：这道题一时着实难以下手，但终归还是平面“四点”问题！其解法关键是“四点”向量数量积性质和正、余弦定理的灵动结合，巧妙地实现了“整体替换、设而不求”！3“四点”向量数量积性质的变式3.1若四点A、B、C、D 中某两点重合,由AC BD=(IAD|+|CB|2-|AB|-2I CD/2)两向量起点相同-AB AC=(IACI2+2IAB2-|BC2).这其实是ABC中余弦定理的变式.并且由 ABAC=(IAC)2+AB)2-2IBC|)=2 AC|2+2|AB|2-2(AC-AB)4AB.AC=-(AC+AB)2-(AC-AB).这从另一角度推出“极化恒等式”一的结构形式。3.2当A、B、C、D 依次为平行四边形ABCD四个顶点时（如图7），由D4B图7AB DC=(IAC/2+|BD/2-AD|2-BCI2)=|AB|2=|DC/2,2AC.BD?CD2ADD2+ICB2AB2ACI.BDACBDcOsAC,BD)8-222023年第8 期数学教学得IACI2+|BD|2=|AB|2+|BC|2+|DC|2+AD2,这恰是平行四边形的性质：“平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和”.3.3当A、B、C、D 依次为圆内接四边形ABCD四个顶点时（如图8），由DBC图8AB.CD=IAD|2+|BC|2-AC|2-2IBDI2),AD.BC=IAC|2+|BD|2-|AB|2ICD2),3AC.BD=1(IAD|2+|BC|2-|AB|2ICD/2).得+.即AC.BD=AB.CD+AD.BC.这是托勒密定理：“圆内接四边形ABCD中,ACBD=ABCD+ADBC”的向量形式.3.4此外，当空间四点A、B、C、D 两两之间距离已知时，则可求得两两向量的夹角：如值得一提的是：对照以往cOSLBAC=LABIIACP=/BCI,?式整体结构然是2AB|AC三角形余弦定理在空间四边形中的推广,其可应用于求解空间中线线角的问题3.5对于(AC+BD)=|AC2+|BD|2+2ACBD，利用四点向量数量积的性质易得：(AC+BD)=|AC|2+|BD|2+|AD|2+|BC|2-IAB|2-ICD|2,这可将求“两向量之和”的模运算转为四点两两之间距离平方的和差运算！据此，(AC+BD)-(AC-BD)=2(|AD|2+|BC|?-|AB|2-|CD 2)=4AC.BD,再次从另一途径领略极化恒等式：ACBD=(AC+BD)-(AC-BD),其与 四点”向量数量积的性质之间彼此交融、相得益彰！所以，我们探究的“四点”向量数量积性质涵盖了很多三角形或四边形的常见性质定理，也与很多数学重要结论产生关联，这就丰富了向量知识体系的内涵与外延，也增添了运用向量工具解决问题的思维策略和应用空间！4结束语本文以“四点”向量数量积运算性质为探究主线，将其运算转化为相关线段长度或距离的度量运算，充分发挥向量在解决空间角和距离问题中的独特功能，让向量的数量积运算渠道和应用空间更为宽阔通畅，促使向量知识体系与三角形、四边形、立体几何、三角函数等相关数学知识的联系更具紧密性、结构性、系统性！史宁中教授在课程标准中为广大数学教师提出教学建议：要整体把握教学内容，促进数学学科素养的连续性和阶段性发展！落实核心素养目标一是整体把握知识本质、二是设计并且实施合理的教学活动，应当将一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计.因此，我们教师要立足于学科体系之上，选择本学科最为核心的知识内容，削枝强干进行结构化处理在结构化的知识基础上形成“引领性学习主题”，促进师生共同对核心知识进行有深度、有宽度的加工处理，让学生对学科核心知识的价值和意义有更深刻的理解，进而全面深人地体验学科知识本质，充分领悟学科知识的功能作用！