指向拔尖创新人才培养的A-.课程设计——课程整合的视角_巩翔.pdf

党的二十大报告提出，“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才”1。高中阶段是人生的“拔节孕穗期”，是创新素养培养、创新人才成长的黄金期。在高中阶段，通过课程改革为拔尖创新人才的成长和发展提供有利条件，是许多学校都在深入思考和实践的课题。R 学校高中部根据部分数理基础扎实、有较大发展潜力学生的实际需求，开设了数学、物理、化学、生物等拔尖创新实验小组（以下简称“实验小组”），并结合学生的学习特点，将现有的A-level国际课程进行整合，在拔尖创新人才培养方面探索了一条新的路径。本文介绍R学校高中部数学实验小组课程设计的理念、思路、步骤以及相关思考，并提出未来发展的方向。一、课程整合的理论与原则课程整合是一种课程设计方式。从广义上讲，课程整合不仅是一种课程内容的方法，还是一种课程设计的理论以及与其相关的学校教育理念。广义的课程整合包括四个层面，即经验的整合、知识的整合、社会的整合和课程的整合。狭义的课程整合是指一种特定的课程设计方法2。本文中的课程整合是指以现有的 A-level数学学科课程为基础，根据学生的学习需求，通过对课程目标的重新设置、对课程内容的重组以及课程实施的多样化、课程资源的丰富和信息化等途径，建构一体化的综合校本课程3。根据课程类型进行分类，课程整合包括学科内整合、学科间整合、跨学科整合等。本文讨论的是学科内整合，即对数学学科不同教材内容之间、教材内不同单元之间进行的整合，主要方法是梳理 A-level 数学学科各门课程中的主要主题、概念，研究这些主题所要表达的共同的目的、挖掘其相互之间的逻辑关系和进阶性过程等，从而将在高中阶段通过课程改革培养拔尖创新人才，是当前许多学校都在深入思考和实践的课题。R 学校高中部通过开设拔尖创新实验小组，将现有的 A-level 国际课程进行整合，更好地实现拔尖创新人才培养目标。对于课程设计的未来发展，学校还需要关注以下几点：一是进一步挖掘课程的育人价值；二是加强对多种形式课程整合的研究；三是加强和升学与发展指导中心的协作；四是研究拔尖创新人才培养机制。创新人才培养；课程设计；A-level 数学巩翔，普林斯顿国际数理学校副校长，创新人才教育研究会副会长（美国新泽西州普林斯顿 08540）；许定源，北京市朝阳区人朝分实验学校教师（北京 100029）；王敏，人朝分东坝学校党支部书记（北京 100018）。【摘 要】【关 键 词】【作者简介】指向拔尖创新人才培养的 A-level 数学课程设计课程整合的视角巩翔许定源王敏课程内容结合成具有组织结构和意义的学习模块与单元，更好地满足拔尖创新人才培养目标。具体而言，课程整合遵循以下三个原则。（一）体现课程的核心价值A-level 课程是英国剑桥国际课程的一部分，其教育目的是“为在校学生的终身学习做好准备，培养他们见多识广的好奇心和持久的学习热情”，“对学生而言，最好的动机就是对所学科目的真正热情”4。剑桥国际课程致力于培养学习者的必备品质，包括自信、责任感、反思、创新、热爱等五个方面。就 A-level 数学学科而言，学习者的必备品质表现如下（见表 1）。表 1 剑桥国际课程培养学习者必备品质及其在 A-level 数学学科的具体表现在 A-level 数学学科的具体表现能够运用数学技能解决问题，使用并分享信息和观点。这些技能将帮助学生建立信心，很好地完成数学领域和其他学科领域的工作通过学习和应用数学技能，为未来学术研究做好准备，成为对社会有用的人才通过在不同的数学分支之间建立联系，考虑数学问题和建模的结果面对同一个熟悉或不熟悉的问题，能够运用多种数学方法解决问题理解数学的结构、模式和数学在现实生活中的应用，感受到数学的美，热爱数学自信责任感反思创新热爱必备品质在对数学课程进行整合过程中，我们特别重视数学课程体现剑桥国际课程的核心价值，努力培养剑桥国际课程学习者的必备品质。参加数学实验小组的学生都对数学抱有浓厚兴趣，且在这方面有所专长。与 A-level 常规数学课程相比，整合后的课程更加重视对学习者内心深处精神动力的触发，珍视学生对数学的热情，强调以数学课程为载体，培养学生适应终身发展和社会发展所需要的正确价值观、必备品格和关键能力。（二）满足拔尖创新人才的学习要求研究表明，高智商、高创造力的超常儿童是客观存在的。超常儿童的比例为 1%3%，是一个普遍性的比例5。他们具有较高的智商、较强的理解力、旺盛的求知欲和强烈的好奇心，对事物的运行机理有深究的动机，喜欢接受挑战。如果学习不具有挑战性，他们就会觉得很无聊，其潜能也得不到发展6。此次对 A-level 数学课程的整合，充分体现了以学习者为中心的价值追求，一方面给学生机会以更快的速度完成课程学习，另一方面根据学生的特点，拓展和深化课程内容。拓展指的是横向丰富知识的连接，深化指的是纵向加深知识的内涵，从而在内容的广度、思考的深度以及学习的挑战性上对学生提出更高要求，让学生有持续的学习兴趣和动力。（三）体现基于学习科学的教学策略近年来，学习科学和认知科学的发展极大地促进了课程的变革。为了更全面地了解学生、分析课堂情境、提高教师效能，我们借助学习科学理论，不断思考什么是学习、什么引起了学生的学习、优尖生如何学习、数学实验小组的学生各自有哪些学习偏好、什么样的教学方法可以发挥更大的作用、怎样发挥作用等。我们希望通过教学实践和反思，准确地识别每个优尖生的最近发展区并帮助他们向这个区域的上限发展，同时设计具有挑战性的学习单元，使得他们都能达到更高的课程目标，创造适合每个学生发展的教育。二、课程整合的步骤（一）确立课程整合目标课程整合的第一步是确立目标，即明确通过这门课程的学习，学生应该知道什么、需要学会什么、在哪些方面应该具有怎样的表现。确立目标的依据有两个。一是 A-level 数学课程的分科目标。A-level 数学课程分为基础数学（Mathematics）和进阶数学（Further Mathematics）。其中，基础数学包括三门课，即纯数学（分为纯数学 1、2、3 三个层次），机械，统计（分为统计 1、2 两个层次）。进阶数学也有三门课，分别是进阶纯数学（分为进阶纯数学 1、2两个层次），进阶机械，进阶统计。对这些具体课程的目标进行梳理，可以帮助我们了解课程标准的要求，确立整合课程的目标。二是大学入学考试和考查的相关要求，如牛津大学和剑桥大学数学入学考试大纲。通常，这类考试大纲只包含若干概要信息和考试要求的基本知识点。这就要求教师在制订目标时，对这些考试建立整体性把创新人才教育-第45期（初稿）000.indd 36-372023-6-19 16:36:423637【学科教学】创新人才教育The Education of Innovative Talents2023年6月Jun,2023 No.3第3期党的二十大报告提出，“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才”1。高中阶段是人生的“拔节孕穗期”，是创新素养培养、创新人才成长的黄金期。在高中阶段，通过课程改革为拔尖创新人才的成长和发展提供有利条件，是许多学校都在深入思考和实践的课题。R 学校高中部根据部分数理基础扎实、有较大发展潜力学生的实际需求，开设了数学、物理、化学、生物等拔尖创新实验小组（以下简称“实验小组”），并结合学生的学习特点，将现有的A-level国际课程进行整合，在拔尖创新人才培养方面探索了一条新的路径。本文介绍R学校高中部数学实验小组课程设计的理念、思路、步骤以及相关思考，并提出未来发展的方向。一、课程整合的理论与原则课程整合是一种课程设计方式。从广义上讲，课程整合不仅是一种课程内容的方法，还是一种课程设计的理论以及与其相关的学校教育理念。广义的课程整合包括四个层面，即经验的整合、知识的整合、社会的整合和课程的整合。狭义的课程整合是指一种特定的课程设计方法2。本文中的课程整合是指以现有的 A-level数学学科课程为基础，根据学生的学习需求，通过对课程目标的重新设置、对课程内容的重组以及课程实施的多样化、课程资源的丰富和信息化等途径，建构一体化的综合校本课程3。根据课程类型进行分类，课程整合包括学科内整合、学科间整合、跨学科整合等。本文讨论的是学科内整合，即对数学学科不同教材内容之间、教材内不同单元之间进行的整合，主要方法是梳理 A-level 数学学科各门课程中的主要主题、概念，研究这些主题所要表达的共同的目的、挖掘其相互之间的逻辑关系和进阶性过程等，从而将在高中阶段通过课程改革培养拔尖创新人才，是当前许多学校都在深入思考和实践的课题。R 学校高中部通过开设拔尖创新实验小组，将现有的 A-level 国际课程进行整合，更好地实现拔尖创新人才培养目标。对于课程设计的未来发展，学校还需要关注以下几点：一是进一步挖掘课程的育人价值；二是加强对多种形式课程整合的研究；三是加强和升学与发展指导中心的协作；四是研究拔尖创新人才培养机制。创新人才培养；课程设计；A-level 数学巩翔，普林斯顿国际数理学校副校长，创新人才教育研究会副会长（美国新泽西州普林斯顿 08540）；许定源，北京市朝阳区人朝分实验学校教师（北京 100029）；王敏，人朝分东坝学校党支部书记（北京 100018）。【摘 要】【关 键 词】【作者简介】指向拔尖创新人才培养的 A-level 数学课程设计课程整合的视角巩翔许定源王敏课程内容结合成具有组织结构和意义的学习模块与单元，更好地满足拔尖创新人才培养目标。具体而言，课程整合遵循以下三个原则。（一）体现课程的核心价值A-level 课程是英国剑桥国际课程的一部分，其教育目的是“为在校学生的终身学习做好准备，培养他们见多识广的好奇心和持久的学习热情”，“对学生而言，最好的动机就是对所学科目的真正热情”4。剑桥国际课程致力于培养学习者的必备品质，包括自信、责任感、反思、创新、热爱等五个方面。就 A-level 数学学科而言，学习者的必备品质表现如下（见表 1）。表 1 剑桥国际课程培养学习者必备品质及其在 A-level 数学学科的具体表现在 A-level 数学学科的具体表现能够运用数学技能解决问题，使用并分享信息和观点。这些技能将帮助学生建立信心，很好地完成数学领域和其他学科领域的工作通过学习和应用数学技能，为未来学术研究做好准备，成为对社会有用的人才通过在不同的数学分支之间建立联系，考虑数学问题和建模的结果面对同一个熟悉或不熟悉的问题，能够运用多种数学方法解决问题理解数学的结构、模式和数学在现实生活中的应用，感受到数学的美，热爱数学自信责任感反思创新热爱必备品质在对数学课程进行整合过程中，我们特别重视数学课程体现剑桥国际课程的核心价值，努力培养剑桥国际课程学习者的必备品质。参加数学实验小组的学生都对数学抱有浓厚兴趣，且在这方面有所专长。与 A-level 常规数学课程相比，整合后的课程更加重视对学习者内心深处精神动力的触发，珍视学生对数学的热情，强调以数学课程为载体，培养学生适应终身发展和社会发展所需要的正确价值观、必备品格和关键能力。（二）满足拔尖创新人才的学习要求研究表明，高智商、高创造力的超常儿童是客观存在的。超常儿童的比例为 1%3%，是一个普遍性的比例5。他们具有较高的智商、较强的理解力、旺盛的求知欲和强烈的好奇心，对事物的运行机理有深究的动机，喜欢接受挑战。如果学习不具有挑战性，他们就会觉得很无聊，其潜能也得不到发展6。此次对 A-level 数学课程的整合，充分体现了以学习者为中心的价值追求，一方面给学生机会以更快的速度完成课程学习，另一方面根据学生的特点，拓展和深化课程内容。拓展指的是横向丰富知识的连接，深化指的是纵向加深知识的内涵，从而在内容的广度、思考的深度以及学习的挑战性上对学生提出更高要求，让学生有持续的学习兴趣和动力。（三）体现基于学习科学的教学策略近年来，学习科学和认知科学的发展极大地促进了课程的变革。为了更全面地了解学生、分析课堂情境、提高教师效能，我们借助学习科学理论，不断思考什么是学习、什么引起了学生的学习、优尖生如何学习、数学实验小组的学生各自有哪些学习偏好、什么样的教学方法可以发挥更大的作用、怎样发挥作用等。我们希望通过教学实践和反思，准确地识别每个优尖生的最近发展区并帮助他们向这个区域的上限发展，同时设计具有挑战性的学习单元，使得他们都能达到更高的课程目标，创造适合每个学生发展的教育。二、课程整合的步骤（一）确立课程整合目标课程整合的第一步是确立目标，即明确通过这门课程的学习，学生应该知道什么、需要学会什么、在哪些方面应该具有怎样的表现。确立目标的依据有两个。一是 A-level 数学课程的分科目标。A-level 数学课程分为基础数学（Mathematics）和进阶数学（Further Mathematics）。其中，基础数学包括三门课，即纯数学（分为纯数学 1、2、3 三个层次），机械，统计（分为统计 1、2 两个层次）。进阶数学也有三门课，分别是进阶纯数学（分为进阶纯数学 1、2两个层次），进阶机械，进阶统计。对这些具体课程的目标进行梳理，可以帮助我们了解课程标准的要求，确立整合课程的目标。二是大学入学考试和考查的相关要求，如牛津大学和剑桥大学数学入学考试大纲。通常，这类考试大纲只包含若干概要信息和考试要求的基本知识点。这就要求教师在制订目标时，对这些考试建立整体性把创新人才教育-第45期（初稿）000.indd 36-372023-6-19 16:36:423839握，挖掘考试范围与课程内容的契合点，确立教学的深度与广度以及重点与难点。（二）了解学情对学情的了解主要包括四个方面。首先，了解学生学习的特质，如学生擅长数学抽象思维还是形象思维，是视觉学习者还是听觉口头学习者，喜欢独立思考还是听教师讲授等。这将决定教师的主要授课方式。其次，了解学生的准备状态，如学生学习课程时已经具备的知识、技能，学生对哪些数学知识比较自信、对哪部分感觉不太有把握，学生的学习能力如何等。通过调查发现，学生对统计、机械的掌握程度不如纯数学。在纯数学部分，学生仍需加强对三角学和复数的掌握。再次，了解学生的个体差异。数学实验小组的学生大多来自高二年级，也有个别学生来自高一年级。学生年龄和学习阶段的差异以及每个优尖生的特质，都需要教师格外注意。最后，了解学生在学习过程中可能遇到的困难。教师要对教学中可能出现的状况，特别是学生容易犯错的部分有预判，并提前做好相应的预案。（三）安排课程内容为了合理安排课程内容，我们对现有的A-level 数学课程内容进行梳理，形成了纯数学、机械和统计三条主线，共包含 62 个主题（见表 2）。在删除若干重复内容后，我们逐一完成各条主线与主题之间、课程内容与考试内容之间的关联和衔接，对同一主题的内容也做了重组和整合，从而在整体上优化了课程内容的呈现方式和学生的学习路径。我们发现，若干重要主题是考试评价的重点，但却较少在教材中呈现，或者课程要求低于考试要求。例如，圆锥曲线（Conic Sections）在牛津大学和剑桥大学的数学入学考试中多次出现，但在 A-level 教材中并没有要求。又如，多项式函数（Polynomial functions）在考试中涉及的范围也大于教材讲授的范围，且难度更大。另外，由于学校A-level 常规课程的安排，学生没有机会学到统计 2，但这是进阶数学统计部分的基础，也是大学考试的重点，此次课程在整合过程中加强了这部分知识。在授课顺序上，教师充分考虑到知识的内在逻辑和相互关联，先安排三角函数部分，再讲向量和复数。此外，教师对微积分部分也做了相应增减，把之前纯数学 1、纯数学 2、纯数学 3和进阶数学中的微积分内容进行统整，让学生对高等数学有更加全面系统的理解，也有更多机会了解微积分的本质与核心思想。其次，教师要基于课程内容，帮助学生建立知识点之间的内在联系，优化和更新学生的知识组织结构。作为专家和课程设计者，教师清楚地了解课程内容的脉络，能够轻松地对事实性知识进行组织和分类，但是学生可能很难做到这一点。例如，在 20222023 学年的第一讲中，我们曾在“破冰活动”中邀请学生共同完成已学知识点的分类和组织，但是学生在这方面做得并不理想。即便这些优尖生能够以自己的知识组织方式解决某些数学问题，但不足以灵活地应对他们所面临的综合任务。研究证明，新手和专家的知识组织方式在两个关键方面存在显著差异。一是知识关联程度，是相对孤立还是紧密联系；二是联系的深度，是表面联系还是有意义的关联7。为了展示课程内容的组织形式，我们在课堂上采用概念图的形式向学生呈现每个主题中内容的整体结构和相互关系。首先，教师画概念图，用可视化的方式表征自己的知识组织，然后向学生讲解概念图，帮助他们了解相关的知识结构，向他们阐释知识间的内在联系。随着学习的深入，学生自主画概念图并讲解，教师则借此深入了解学生的知识基础和知识组织形式。无论是合格的概念图还是不合格的概念图，都有利于教师诊断学生在知识组织中存在的问题。实践证明，这种方法能够很好地帮助优尖生理解知识间的重要联系，使他们受益。2.帮助学生学好两类数学概念数学是一门概念驱动的学科8。这些重要的概念为每个主题确定学习的方向、目的和探究框架。一般而言，中学课本中的数学概念，都具备原生、衍生这两种属性中的一种。衍生概念是在学生所知的数学概念基础上推进和完善而形成的。例如,学生学过任意角的三角函数，采用适当的方法就可以推出和角、差角公式和二倍角公式，在逻辑上也非常直接。而原生概念，如复数、极限以及 A-level 进阶数学中的矩阵、特征向量、抽样分布等，则是因为现有的数学体系无法解释某些数学现象，或无法解决某些数学问题。这就需要创造一个新的数学概念，构建新的知识体系。对于衍生概念，我们鼓励学生一步步归纳出新概念的关键属性，然后再用数学方法加以验证。例如，笔者经常在课堂上向学生提问：在这一步，起作用的数学原理是什么？如何证明？为什么要这么做？在教师的帮助下，学生自己推导公式，写证明过程，总结规律，获得最直接的感受，而不依赖教材中现有的结论。在课堂上，只要学生用到之前学过的定理，笔者就立刻让学生思考这些定理的来源和证明过程。当学生习惯了这种思维方式后，对于在后续主题中出现的新的定理，也会自发地思考其证明过程以及新旧知识点之间的关联。例如，学生在学习对数简化导数计算时，会想到如何求解对数函数的导数，进而想到使用隐函数的导数，需要链式法则基础等。可以说，每一次这样的思考过程，都是学生自觉运用已有概念，主动连接新概念，加速概念内化的过程。经过训练，实验小组的每一位学生都具备了这样的能力，并能将其自动化。这种方法远比让学生机械地记忆公式，或者做大量重复性习题有效率得多。相比衍生概念，我们发现学生理解原生概念会更吃力。A-level 数学课程中有很多的原生概念。在课堂上，我们会把新概念、新定理的内容分解成几个必备的要素或步骤，找出学生在理解某个要素或步骤时遇到的问题，然后通过讲解和必要的练习加以解决；或者通过变更数学命题的条件、特征或结论，转换问题的形式或内容，给学生提出一些变式问题：假如两个事件不独立，还能用这种统计方法吗？如果改变中值定理的一个条件，定理还成立吗？可否举一个反例？学生通过变式了解哪些是知识的本质属性、哪些是非本质属性，从而更好地掌握知识的本质和规律。此外，我们经常在课程中增加一些需要高级思维、调查、探索和发现的活动内容。这些内容在学生已有知识的基础上，提出一些更复杂、更深入的属性，能够很好地促使学生对已有知识进行再认识或者产生新的认识。3.选择适当的方法，实现深度学习优尖生通常具有较强的理解能力和学习能力。对于教师而言，在课堂上持续调动优尖生的学习积极性是不容易的。教师不仅要对知识进行合理取舍，更要安排好学生的自主学习、课堂表 2 A-level 数学的 3 条主线、10 门科目和 62 个主题主线科目主题二次方程、函数、坐标几何、三角学、级数、微分、积分代数、对数与指数函数、三角学、微分、积分、方程的数值解法代数、对数与指数函数、三角学、微分、积分、方程的数值解法、向量、微分方程、复数多项式方程的根、有理函数及其图像、级数和、矩阵、极坐标、向量、数学归纳法双曲函数、矩阵、微分、积分、复数、微分方程力和平衡、直线运动、动量、牛顿运动定律、能量、功和功率抛射体运动、刚体平衡、圆周运动、胡克定律、变力作用下的线性运动、动量数据的表示、排列组合、概率、离散型随机变量、正态分布泊松分布、随机变量的线性组合、连续型随机变量、抽样与估计、假设检验连续型随机变量、正态分布和 t 分布与推断统计、卡方检验、非参数检验、概率生成函数纯数学 1纯数学 2纯数学 3进阶纯数 1进阶纯数 2机械进阶机械统计 1统计 2进阶统计纯数学机械统计实践证明，学科内的课程整合并不需要花大力气自编教材，也不必刻意选择过于特殊的内容或资源，而是在现有课程的基础上，由教研组成员，特别是对课程内容和学情非常了解的授课教师进行讨论，选择若干重要主线，然后以主线上的重要主题为“锚点”，逐个讨论每个主题的教学内容与形式，再以“锚点”为基础进行内容重组和整合，突出重点，构建完整的学科知识体系。（四）组织教学活动1.展示课程内容的组织形式在安排课程内容后，教师的一项主要工作就是在课堂上向学生展示课程内容的组织形式。首先，教师要给出学生“路线图”，让学生从全局上了解这门课程所要学习的数学知识及内容安排，整合后的课程共有哪些关键概念和哪几个主题、课程的时间进度、可能遇到的难点等。创新人才教育-第45期（初稿）000.indd 38-392023-6-19 16:36:423839握，挖掘考试范围与课程内容的契合点，确立教学的深度与广度以及重点与难点。（二）了解学情对学情的了解主要包括四个方面。首先，了解学生学习的特质，如学生擅长数学抽象思维还是形象思维，是视觉学习者还是听觉口头学习者，喜欢独立思考还是听教师讲授等。这将决定教师的主要授课方式。其次，了解学生的准备状态，如学生学习课程时已经具备的知识、技能，学生对哪些数学知识比较自信、对哪部分感觉不太有把握，学生的学习能力如何等。通过调查发现，学生对统计、机械的掌握程度不如纯数学。在纯数学部分，学生仍需加强对三角学和复数的掌握。再次，了解学生的个体差异。数学实验小组的学生大多来自高二年级，也有个别学生来自高一年级。学生年龄和学习阶段的差异以及每个优尖生的特质，都需要教师格外注意。最后，了解学生在学习过程中可能遇到的困难。教师要对教学中可能出现的状况，特别是学生容易犯错的部分有预判，并提前做好相应的预案。（三）安排课程内容为了合理安排课程内容，我们对现有的A-level 数学课程内容进行梳理，形成了纯数学、机械和统计三条主线，共包含 62 个主题（见表 2）。在删除若干重复内容后，我们逐一完成各条主线与主题之间、课程内容与考试内容之间的关联和衔接，对同一主题的内容也做了重组和整合，从而在整体上优化了课程内容的呈现方式和学生的学习路径。我们发现，若干重要主题是考试评价的重点，但却较少在教材中呈现，或者课程要求低于考试要求。例如，圆锥曲线（Conic Sections）在牛津大学和剑桥大学的数学入学考试中多次出现，但在 A-level 教材中并没有要求。又如，多项式函数（Polynomial functions）在考试中涉及的范围也大于教材讲授的范围，且难度更大。另外，由于学校A-level 常规课程的安排，学生没有机会学到统计 2，但这是进阶数学统计部分的基础，也是大学考试的重点，此次课程在整合过程中加强了这部分知识。在授课顺序上，教师充分考虑到知识的内在逻辑和相互关联，先安排三角函数部分，再讲向量和复数。此外，教师对微积分部分也做了相应增减，把之前纯数学 1、纯数学 2、纯数学 3和进阶数学中的微积分内容进行统整，让学生对高等数学有更加全面系统的理解，也有更多机会了解微积分的本质与核心思想。其次，教师要基于课程内容，帮助学生建立知识点之间的内在联系，优化和更新学生的知识组织结构。作为专家和课程设计者，教师清楚地了解课程内容的脉络，能够轻松地对事实性知识进行组织和分类，但是学生可能很难做到这一点。例如，在 20222023 学年的第一讲中，我们曾在“破冰活动”中邀请学生共同完成已学知识点的分类和组织，但是学生在这方面做得并不理想。即便这些优尖生能够以自己的知识组织方式解决某些数学问题，但不足以灵活地应对他们所面临的综合任务。研究证明，新手和专家的知识组织方式在两个关键方面存在显著差异。一是知识关联程度，是相对孤立还是紧密联系；二是联系的深度，是表面联系还是有意义的关联7。为了展示课程内容的组织形式，我们在课堂上采用概念图的形式向学生呈现每个主题中内容的整体结构和相互关系。首先，教师画概念图，用可视化的方式表征自己的知识组织，然后向学生讲解概念图，帮助他们了解相关的知识结构，向他们阐释知识间的内在联系。随着学习的深入，学生自主画概念图并讲解，教师则借此深入了解学生的知识基础和知识组织形式。无论是合格的概念图还是不合格的概念图，都有利于教师诊断学生在知识组织中存在的问题。实践证明，这种方法能够很好地帮助优尖生理解知识间的重要联系，使他们受益。2.帮助学生学好两类数学概念数学是一门概念驱动的学科8。这些重要的概念为每个主题确定学习的方向、目的和探究框架。一般而言，中学课本中的数学概念，都具备原生、衍生这两种属性中的一种。衍生概念是在学生所知的数学概念基础上推进和完善而形成的。例如,学生学过任意角的三角函数，采用适当的方法就可以推出和角、差角公式和二倍角公式，在逻辑上也非常直接。而原生概念，如复数、极限以及 A-level 进阶数学中的矩阵、特征向量、抽样分布等，则是因为现有的数学体系无法解释某些数学现象，或无法解决某些数学问题。这就需要创造一个新的数学概念，构建新的知识体系。对于衍生概念，我们鼓励学生一步步归纳出新概念的关键属性，然后再用数学方法加以验证。例如，笔者经常在课堂上向学生提问：在这一步，起作用的数学原理是什么？如何证明？为什么要这么做？在教师的帮助下，学生自己推导公式，写证明过程，总结规律，获得最直接的感受，而不依赖教材中现有的结论。在课堂上，只要学生用到之前学过的定理，笔者就立刻让学生思考这些定理的来源和证明过程。当学生习惯了这种思维方式后，对于在后续主题中出现的新的定理，也会自发地思考其证明过程以及新旧知识点之间的关联。例如，学生在学习对数简化导数计算时，会想到如何求解对数函数的导数，进而想到使用隐函数的导数，需要链式法则基础等。可以说，每一次这样的思考过程，都是学生自觉运用已有概念，主动连接新概念，加速概念内化的过程。经过训练，实验小组的每一位学生都具备了这样的能力，并能将其自动化。这种方法远比让学生机械地记忆公式，或者做大量重复性习题有效率得多。相比衍生概念，我们发现学生理解原生概念会更吃力。A-level 数学课程中有很多的原生概念。在课堂上，我们会把新概念、新定理的内容分解成几个必备的要素或步骤，找出学生在理解某个要素或步骤时遇到的问题，然后通过讲解和必要的练习加以解决；或者通过变更数学命题的条件、特征或结论，转换问题的形式或内容，给学生提出一些变式问题：假如两个事件不独立，还能用这种统计方法吗？如果改变中值定理的一个条件，定理还成立吗？可否举一个反例？学生通过变式了解哪些是知识的本质属性、哪些是非本质属性，从而更好地掌握知识的本质和规律。此外，我们经常在课程中增加一些需要高级思维、调查、探索和发现的活动内容。这些内容在学生已有知识的基础上，提出一些更复杂、更深入的属性，能够很好地促使学生对已有知识进行再认识或者产生新的认识。3.选择适当的方法，实现深度学习优尖生通常具有较强的理解能力和学习能力。对于教师而言，在课堂上持续调动优尖生的学习积极性是不容易的。教师不仅要对知识进行合理取舍，更要安排好学生的自主学习、课堂表 2 A-level 数学的 3 条主线、10 门科目和 62 个主题主线科目主题二次方程、函数、坐标几何、三角学、级数、微分、积分代数、对数与指数函数、三角学、微分、积分、方程的数值解法代数、对数与指数函数、三角学、微分、积分、方程的数值解法、向量、微分方程、复数多项式方程的根、有理函数及其图像、级数和、矩阵、极坐标、向量、数学归纳法双曲函数、矩阵、微分、积分、复数、微分方程力和平衡、直线运动、动量、牛顿运动定律、能量、功和功率抛射体运动、刚体平衡、圆周运动、胡克定律、变力作用下的线性运动、动量数据的表示、排列组合、概率、离散型随机变量、正态分布泊松分布、随机变量的线性组合、连续型随机变量、抽样与估计、假设检验连续型随机变量、正态分布和 t 分布与推断统计、卡方检验、非参数检验、概率生成函数纯数学 1纯数学 2纯数学 3进阶纯数 1进阶纯数 2机械进阶机械统计 1统计 2进阶统计纯数学机械统计实践证明，学科内的课程整合并不需要花大力气自编教材，也不必刻意选择过于特殊的内容或资源，而是在现有课程的基础上，由教研组成员，特别是对课程内容和学情非常了解的授课教师进行讨论，选择若干重要主线，然后以主线上的重要主题为“锚点”，逐个讨论每个主题的教学内容与形式，再以“锚点”为基础进行内容重组和整合，突出重点，构建完整的学科知识体系。（四）组织教学活动1.展示课程内容的组织形式在安排课程内容后，教师的一项主要工作就是在课堂上向学生展示课程内容的组织形式。首先，教师要给出学生“路线图”，让学生从全局上了解这门课程所要学习的数学知识及内容安排，整合后的课程共有哪些关键概念和哪几个主题、课程的时间进度、可能遇到的难点等。创新人才教育-第45期（初稿）000.indd 38-392023-6-19 16:36:424041讨论、合作学习以及教师点拨所需要的时间。根据 A-level 的课程特点，结合整合后的课程内容，我们在教学中广泛采用讨论、合作学习等方式，激活学生的学习能动性。但是，并不是所有的问题都拿来进行小组讨论。相关研究表明，合作学习并不总适用于优尖生，因为如果问题对优尖生而言比较容易解决的话，他们可能独自就把学习任务都完成了，使得自己和小组成员都不能从合作学习中受益9。因此，教师要充分发挥引导作用，带领学生重点讨论和反思与学习内容有关的、有深度和挑战性的关键问题。作为课堂的领导者，教师要确保讨论顺利进行，鼓励学生参与，并详细记录讨论过程。在一节课当中，什么时候该讲，什么时候该讨论，讨论到什么程度，这些都要由教师实时把控，并根据教学主题、问题的难度、学生的认知水平和反馈情况灵活调整。此外，教师要留给学生充足的思考问题、自主学习的时间和空间，而不是用事无巨细的讲解或漫无边际的讨论占据学生的时间。优尖生具有高阶思维能力和超强的专注能力，要让学生在积极的深层次思维过程中加强对知识的理解，从而抓住本质并熟练运用，实现深度学习。三、思考与讨论一学年以来，整合后的数学课程稳步推进，实验小组的教学工作有序开展，成效初显。在课程设计和实施过程中，我们有如下思考。首先，以学科课程整合为基础的 A-level 数学课程设计能够得以实现并顺利运行，得益于学校和部门层面的统一认识、部署与安排。正因为学校对拔尖人才培养工作高度重视，在科研年会提出并在学期初加速推进课程建设，才能够形成合力并发挥各学科的组团优势，使这一项目顺利落地。学校将此课程纳入课程整体计划中，充分体现了学校“创造适合每个学生发展的教育”理念。实验小组单独分组、授课，既不影响学校现有的课程体系和教学计划，也获得了各种优质资源和各方面的支持。数学教研组精心安排，认真设计，形成一套行之有效的工作模式，并在实践中不断打磨课程内容，逐步打造出指向拔尖创新人才培养的精品课雏形，丰富了学校的课程资源建设，带动了学校的课程创新。其次，课程设计的过程也是教师专业成长的过程。为了设计好这门课程，实验小组各位教师以高度的课程自觉主动参与到课程整合的各项工作中，认真研读课标和考纲，梳理课程内容，审视教材教法，学习教育理论，做好调研和学情分析，重新认识知识、经验与学生的关系，以符合学生认知规律、适合学生发展的方式对课程进行重组与优化。在此过程中，教师不仅增强了自己的专业素养和教学效能，更提升了课程规划、安排、执行、评价等能力，发展了课程领导力。再次，课程整合充分体现了师生共同参与的特点，构建了学习共同体。教育的着眼点是学生，着力点是教师10。实验小组的课程由教师自主设计，然后由设计者讲授，在真实课堂上以学习者的视角切入并接受检验。在此过程中，教师最大限度地尊重每个学生的学习需要,满足学生的个性化需求，精心设计、细致安排每一节课，学生也认真听课，积极反馈。教师则从学生的视角来了解学生，读懂学生的学习过程，分析学生的学习路径，从而不断地优化课程。很多具体问题都以一种民主的、师生交流与协作共建的方式加以解决，如讲什么，不讲什么；学生的独立思考和小组讨论，教师应该何时干预，怎样干预；哪种练习能够更好地帮助学生等。教师和学生以 A-level 数学课程为媒介，形成了共同交流、相互对话、相互影响的良好氛围，构建了多元、开放的学习共同体。四、未来发展方向课程设计并不是一劳永逸的，它需要在实践中不断调整和完善。面向未来，我们认为可以从以下几个方向入手，进一步优化和发展指向拔尖创新人才培养的课程。首先，进一步挖掘课程的育人价值，基于学生的核心素养开展课程整合。在国际化发展的今天，以育人为根本任务，构建以核心素养为导向的课程体系已成为国际教育界的共识。无论是剑桥国际的“学习者的必备品质”还是我国的“学生发展核心素养”，都是在反思和研究本国、本地区课程改革发展实际情况的基础上提出的“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。在此基础上，二者都将培养目标和课程目标相关联。其中，剑桥国际课程凝练了数学学科核心能力，并给出核心能力在 A-level 数学学科的具体表现，而我国则在中国学生发展核心素养的基础上凝练出学科核心素养。基于核心素养的课程整合要求我们坚持“以人为本”的课程价值取向，构建以培育学生核心素养为中心的课程体系。未来，我们将继续遵循因材施教、有教无类的教学理念，关注学生的需求；最大限度地优化课程结构和内容，实现课程育人目标；尽一切可能尊重个性、挖掘潜力，创造适合每个学生发展的教育。其次，开展多种形式的课程整合，加强对学科课程之间、课程与科研项目之间整合的研究。课程整合有多种形式，除了学科内整合以外，还包括学科间整合、跨学科整合等。在现阶段，A-level 开设的全球视野与研究课程，美国大学理事会开发的 AP 与 WE 项目，国际文凭课程中的创新、行动、服务课程以及风靡全球的 STEAM 课程等，都已成为国际教育领域公认的学科间和跨学科课程整合的范例。我们要以此次课程设计为契机，加强对上述几类国际课程整合目的、方式、资源建设、评价等方面的研究，结合我们的实践经验，以国际课程的维度为我国基础教育课程改革提供实践参照和理论研究视角。同时，也要加强学科课程与科研项目整合的研究，理清学科教学与研究性学习之间的关系，梳理和总结近年来学生参加学术会议、科研类竞赛的成果和经验，研究获奖作品的选题、内容、方法、特色等，为学校培养拔尖创新人才开辟新的赛道，培育新的增长点。再次，加强同学生升学与发展指导中心的协作，精准、全面地了解和帮助每一个学生。指向拔尖创新人才培养的课程设计要求我们发现、挖掘和发展学生的各种潜能,既要了解学生的智力因素，更要了解学生的非智力因素，如学生的成长环境、性格特征、家庭背景、理想信念、兴趣爱好、优点缺点等。因此，我们要进一步加强与学校升学顾问、年级组长、班主任的协作，在课程设计和实施的各个阶段，在学生学业发展、升学规划、沟通交流、心理发展等方面获得更为全面和准确的专业支撑。最后，研究拔尖创新人才培养机制，培养更多优秀人才。拔尖创新人才是人才梯队的“火车头”，对国家的自主创新、可持续发展起着关键性的引领作用。以开发 A-level 课程的英国为例，早在 1983 年就成立了全国资优儿童教育协会（National Asso