一种3K-H行星轮系自锁与效率最大化设计_黄君鹏.pdf

行星轮系主要用于动力传递，研究其自锁及效率具有重大意义。针对一种3K-H型行星轮系进行了自锁分析与效率最大化设计。首先，运用传动比法对该轮系正反机构效率进行了计算；然后，对该行星轮系效率总结出了一个统一公式，并且通过Matlab软件绘制了效率曲线；接着，分析了该行星轮系效率变化的趋势以及能够实现自锁的条件；最后，研究了在保证自锁条件下如何实现其相反机构效率最大化的设计。关键词 3K-H 行星轮系 传动比法 效率 自锁Self-locking and Efficiency Maximization Design of a 3K-H Planetary Gear TrainHuang Junpeng Kong Jianyi Sun Wei Xing Xingao Li Baoyi（College of Mechanical Automation,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430081,China）Abstract Planetary gear train is mainly used for power transmission,so it is of great significance to study its self-locking and efficiency.In this study,the self-locking analysis and efficiency maximization design of a 3K-H planetary gear train are carried out.Firstly,the efficiency of the positive and negative mechanism of the gear train is calculated using the transmission ratio method.Then,a unified formula for the efficiency of the planetary gear train is summarized.Furthermore,the efficiency curve is drawn by Matlab.Next,the trend of efficiency change of the planetary gear train and the conditions for realizing self-locking are analyzed.Finally,how to maximize the efficiency of the opposite mechanism under the condition of self-locking is studied.Key words 3K-H Planetary gear train Transmission ratio method Efficiency Self-locking0 引言行星轮系是一种先进的齿轮传动机构，是周转轮系中的一种。近年来，行星轮系在国防、冶金、起重运输、矿山、化工、轻纺、建筑工业等部门的机械设备中被越来越广泛地应用。行星轮系的自锁在工程应用中起到非常重要的作用，研究行星轮系的自锁以及效率最大化是非常必要的。目前，针对行星轮系效率及自锁，国内外有一些学者对其进行了研究。李爱军等1提出了一种行星轮系，它的浮动行星轮随主动件的选择不同而具有不同的作用，分析了主动力对该轮系的传动与自锁的影响因素，研究了轮系中影响自锁的几何条件。卢存光等2应用离散方法，发现2K-H型行星轮系属于封闭式周转轮系，其中正号机构存在循环功率流，这是导致其效率低并且在某种情况下还会发生自锁的原因，同时给出了一种新的分析方法。王述彦3介绍了行星轮系效率的计算方法及不发生自锁的条件。段钦华4采用离散化方法，深入分析了4种2K-H型行星轮系内部的功率流向，发现这4种轮系属封闭式差动轮系。其中，正号机构存在循环功率流，这不仅使效率降低，还会使轮系在某种条件下发生自锁；同时，根据功率平衡方程解出了轮系的自锁区间。林建德等5应用轮系的复铰图画表示法与基本回路方法，讨论了2K-H轮系传动效率与自锁的关系。杨实如等6应用离散方法，分析了3K型行星轮系的内力矩、功率流和自锁问题。邱霞7提出了一种新型的周转轮系，该轮系可以实现浮动行星轮随着主动件的不同而达到不同的功能，分析了这种周转轮系的传动特性和自锁主动力的影响原因。吴昌林等8从效率的角度分析，推导出转化机构效率的计算方法，从而得到行星机构的损失系数；根据损失系数求出行星机构的效率，即可判断其自锁性能。卢存光等9将文章编号：1004-2539（2023）05-0032-06DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.00632第5期黄君鹏，等：一种3K-H行星轮系自锁与效率最大化设计3K型行星轮系分解为3个简单的 K-H型轮系单元，发现轮系中存在的循环功率流就是这类轮系效率较低，甚至发生自锁的原因。辛家祥等10利用转化机构法探讨了3K行星轮系转化机构功率流向特性，分析了轮系传动不发生自锁的条件，对轮系设计具有一定的指导意义。Salgado等11分析了4、5、6构件行星轮系自锁的条件。高立君等12用能量法推导出了蜗轮副的自锁条件，并给出了自锁蜗轮副在蜗轮受驱动力的情况下，驱动蜗轮副所需要转矩的计算公式。韩继光等13研究了差动轮系中功率比与传动比的关系，推导了各种不同输入输出条件下差动轮系的传动比取值范围，建立了差动轮系的自锁条件。李爱军14提出了一种浮动行星轮随主动件选择不同而功能不同的周转轮系，该轮系具有单向传动与反向自锁的特性。Chen15基于虚拟功率的方法，导出了具有分裂功率的复合行星轮系的解析效率表达式，引入了功率比和虚拟功率比这两个新概念来处理复合轮系，在特定条件下，验证了效率公式的正确性，揭示了这种复合轮系的自锁现象。本文针对一种3K-H型行星轮系，得出了其正反机构效率的统一公式，研究了该轮系能够实现自锁的条件；对该轮系在能够实现自锁的情况下其相反机构的效率如何最大化进行了研究。最后，通过案例对该轮系自锁及效率最大化如何实现进行了演示。相较于一些学科教材，其大部分只对2K-H型简单行星轮系效率进行分析，对自锁的分析甚少，本文在针对一种复杂3K-H型行星轮系效率公式统一化的同时，还对其自锁的条件进行了研究，并且对自锁应用中如何实现效率最大化进行了有意义的探索。1 3K-H行星轮系效率计算1.1运动状态分析一种3K-H行星轮系如图1所示，绿色构件代表传动系杆，其余颜色构件代表传动齿轮，包括内、外齿轮。图13K-H型行星轮系3D示意图Fig.13D schematic diagram of the 3K-H planetary gear train该3K-H行星轮系简图如图2所示。该3K-H型行星轮系由1对共用太阳轮、2个行星轮、1个固定齿圈、1个活动齿圈以及1个系杆构成。图23K-H型行星轮系简图Fig.2Schematic diagram of the 3K-H planetary gear train由输入端1和1知，可将该行星轮系分解为左右两轮系，相应的功率流向分别为 1 2 H 3 1 4 H 5当输入端为1和1，输出端为5时，该轮系被看作正向机构；当输入端为5，输出端为1和1时，被看作反向机构。1.2正反机构效率计算因为该 3K-H 轮系为周转轮系，基于转化机构法，将所有的构件角速度都减去wH之后，能够得到一定轴轮系。根据功率流向可以列出式子，并且令其为-i0，即iH13=w1-wHw3-wH=-z3z1=-i0（1）根据功率流向可以列出式子，并且令其为-i1，即iH15=w1-wHw5-wH=-z5z1=-i1（2）由w3=0代入式（1）中可得1-w1wH=-i0 w1=wH(1+i0)（3）将w1=w1和式（3）代入式（2）中可得i15=w1w5=i1+i0i1i1-i0=i（4）在传动比法中，i?是力传动比，i是运动传动比，i?a=iaxaa，xa的大小由iaiiia的正负决定，若其为正，则xa为+1，若为负，则xa为-1，并且效率计算公式为=i?i。设1 2 H 3对应轮系的转化机构效率为0，1 4 H 5对应轮系的转化机构效率为1，此时有33第47卷i0iii0=i0(1+i1)(i0+1)(i1-i0)（5）当i1 i0时，i0iii0 i0时，i0iii0 0，x0=+1。i1iii1=-i0i1-i0（6）当i1 0，x1=+1。当i1 i0时，i1iii1 0，x1=-1。正向机构中指数x0、x1正负号的判定结果如表1所示。当i1 i0时，由x0=+1，x1=-1，可得出i?0=i00，i?1=i1-11，i与i?与式（7）、式（8）相同。故此时该机构效率为15=i?i=(i1-i0)(i11+i0i101)(i11-i00)(i1+i0i1)（10）当为反向机构时，此时的传动比为i51=1i15=i1-i0i1+i0i1=i（11）此时有i0iii0=-i0i1(1+i1)(i0+i1)(i1-i0)（12）当i1 0，x0=+1。当i1 i0时，i0iii0 0，x0=-1。i1iii1=i0i1i1(i1-i0)（13）当i1 i0时，i1iii1 i0时，i1iii1 0，x1=+1。反向机构中指数x0、x1正负号的判定结果如表2所示。表2反向机构x0、x1正负号判定Tab.2Determination of the sign of negative mechanisms indexes情况i1 i0 x0+1-1x1-1+1当i1 i0时，由x0=-1，x1=+1，可得出i?0=i0-10，i?1=i11，i与i?与式（14）、式（15）相同。故此时该机构效率为51=i?i=(i11-i00)(i1+i0i1)(i1-i0)(i11+i0i110)（17）正、反向机构的效率可以总结为=i?i=(i1-i0)(i1mn1+i0i1mn1mn0)(i1mn1-i0mn0)(i1+i0i1)n（18）其中，i1 i0时，正向机构n=1、m=-1，反向机构n=-1、m=1。2 效率曲线的绘制设1 2 H 3对应轮系的转化机构效率为0=0.95，1 4 H 5对应轮系的转化机构效率为1=0.9。通过Matlab软件绘制正反机构的效率曲线，如图 3所示。其中，反向机构的效率曲线为图 3中的表1正向机构x0、x1正负号判定Tab.1Determination of the sign of positive mechanisms indexes情况i1 i0 x0-1+1x1+1-134第5期黄君鹏，等：一种3K-H行星轮系自锁与效率最大化设计51，正向机构的效率曲线为图3中的15；正、反向机构效率分别由两段函数组成。图3正、反向机构效率曲线Fig.3Efficiency curve of positive and negative mechanisms通过观察效率曲线图，发现正、反向机构的效率变化趋势大致相同，但能够明显地看到：反向机构有一部分效率小于0，存在自锁的现象；正向机构的效率始终大于0，不存在自锁的现象。为了让该行星轮系自锁的区间更加容易观察，固定i0=3，通过Matlab软件绘制效率随i1变化的曲线图，如图4所示。图4i0=3时的效率曲线Fig.4Efficiency curve when i0=3由图4可知，当i1 i0时，51始终比15低且二者均随i1的增大而增大；当i1 i0时，51也始终比15小且均随i1的减小而增大。15在i1=i0时效率为0。由此可以清楚地观察到，反向机构存在自锁的现象，而正向机构不存在自锁的现象。接着，固定i1=3，通过Matlab软件绘制效率随i0变化的曲线图，如图5所示。由图5可知，当i1 i0时，51也始终比15小且均随i0的减小而增大，在i0趋近于0的时候效率趋近于1。15在i1=i0时效率为0。同样，由此可以清楚地观察到，反向机构存在自锁的现象，而正向机构不存在自锁的现象。图5i1=3时的效率曲线Fig.5Efficiency curve when i1=33 自锁分析与效率最大化设计3.1自锁分析通过绘制该3K-H型行星轮系正、反向机构的效率曲线图发现，该行星轮系正向机构不存在自锁的现象，而反向机构存在自锁的现象。对此，对反向机构自锁条件进行分析。当i1 i0时，反向机构的效率为51=i?i=(i11-i00)(i1+i0i1)(i1-i0)(i11+i0i101)（19）自锁条件为51 0，由于i10，i1-i0 0，要想实现自锁，则需要满足i11-i00 0（20）即自锁范围为01i1i0 i0时，反向机构效率为51=i?i=(i11-i00)(i1+i0i1)(i1-i0)(i11+i0i110)（22）自锁条件为51 i0，故有i1+i0i10，i1-i0 0，i11+i0i110 0，要想实现自锁，则需要满足i11-i00 0（23）即自锁范围为1 i1i0101（24）35第47卷图6正向机构效率最大化点示意图Fig.6Schematic diagram of efficiency maximization point of the positive mechanism3.2效率最大化分析设计分析可知，该3K-H行星轮系反向机构能够实现自锁。在恰好能够自锁的条件下，如何调整构件之间的关系，实现正向机构效率最大化是十分重要的。对于正向机构的效率最大化点，用i1=3时的效率曲线图进行示意。当i1 i0，已知自锁条件01i1i0 z1。在满足i1 01i0的条件下，也即z5z1 01z3z1，可以得到z5 01z3z1z1，由于z3 z1能够推断出此时z5 z1，故在尽可能满足z3 z1的同时满足z5 01z3z1z1，就能够实现传动与自锁的双重功能，且效率也能够实现最大化。当i1 i0，已知自锁条件1 i1i0101，其临界条件为101=i1i0，即i1=i001。将其代入正向机构效率公式可以得到15=(101-1)(1021+i021)(1021-0)(101+i001)（26）绘制其效率曲线如图8所示。图81点效率曲线Fig.8Efficiency curve of point 1通过观察曲线，此时的效率曲线为减函数，随着i0的增大而减小。由此，在设计该 3K-H 型行星轮系各构件齿数时，应尽可能满足i0=z3z1越小，即z3 z1。在满足i1i001的条件下，也即z5z1z301z1，可以得到z5z301z1z1，由此可以推断出z5 z1，故在尽可能满足z3 z1的同时满足z5z301z1z1，就能够实现传动与自锁的双重功能，且效率也能够实现最大化。4 案例分析假设该 3K-H 型行星轮系如图 2 所示，z1=30，z1=40，z2=40，z3=60，z4=30，z5=70，1 2 H 3对应轮系的转化机构效率为0=0.95，1 4 H 5对应轮系的转化机构效率为36第5期黄君鹏，等：一种3K-H行星轮系自锁与效率最大化设计1=0.9。试求出该轮系正、反向机构效率，并且分析其是否存在自锁的现象？在保证自锁的前提下，如何使正向机构效率最大化？最大化效率为多少？根据式（1）、式（2）可以得出i0=z3z1=2，i1=z5z1=1.75（27）因为i1 01=0.855以及正、反向机构效率，可以判断其存在自锁的现象，并且此时正向机构的效率为0.439。当i1 i0时，已知自锁条件01i1i0 1，即0.855 i1i0 1，此时最大化效率点函数为15=(01-1)(021+i021)(021-10)(01+i001)=0.769 5+0.81i00.855+0.855i0 0.513 2（30）由上述已知结论，当i1 i0，已知自锁条件1 i1i0101。即1 i1i0 i0时，最大化效率点函数是i0的减函数，故当i0趋近于0的时候，效率最大化值为0.509 7。综上，效率最大化可调整为0.513 2。5 结语通过对3K-H型行星轮系效率进行计算，总结出了一个正反机构效率的统一公式。保持i0不变，当i1 i0时，效率随i1的增大而减小；当i1 i0时，效率随i0的增大而减小；当i1 i0时，效率随i0的增大而增大。当i1 i0时，能够实现自锁的条件为01i1i0 z1的同时满足z5 01z3z1z1，通过调整行星轮系间各齿数的关系，能够实现效率最大化。当i1 i0时，能够实现自锁的条件为1 i1i0101，在尽可能满足i0=z3z1越小，即z3 z1的同时满足z5z301z1z1，通过调整行星轮系间各齿数的关系，能够实现效率的最大化设计。并且通过案例分析可以清晰地观察到原效率 0.439可最大化调整为 0.5132，其在保证自锁的条件下提升的效率对工程应用中效率以及能耗方面都有重大意义。参考文献1李爱军，秦敬超.一种自锁的行星轮系传动原理与自锁条件研究J.中国矿业大学学报，2004，33（4）：473-475.LI Aijun，QIN Jingchao.Study on transmission principle and self-locking conditions of a self-locking planetary gear train J.Journal of China University of Mining and Technology，2004，33（4）：473-475.2卢存光，段钦华.2K-H型行星轮系的功率流、效率与自锁 J.机械设计与研究，2007，23（4）：39-40.LU Cunguang，DUAN Qinhua.Power flow，efficiency and self-locking of 2K-H planetary gear trainJ.Mechanical Design and Research，2007，23（4）：39-40.3王述彦.行星轮系效率及自锁分析 J.机械科学与技术，2001，20（1）：60-61.WANG Shuyan.Efficiency and self-locking analysis of planetary gear train J.Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2001，20（1）：60-61.4段钦华.2K-H型行星轮系内部的功率流与自锁 J.机械传动，2001，25（3）：30-33.DUAN Qinhua.Power flow and self-locking in 2K-H planetary gear train J.Journal of 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