大学物理课件7机械波.pdf

机械波本课时教学基本要求1、理解机械波产生的条件及波传播的物理图象。2、正确理解描述波动的几个基本物理量的物理 意义及其相互联系。3、熟练掌握由已知质点的振动方程建立波动方程的方法以及波动方程的物理意义。4、理解波的叠加原理，掌握波的相干条件及相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。2018/4/11机械波 振动在空间的传播过程称为波动 机械振动在弹性介质中的传播称为机械波 如声波、水波、地震波等 交变电磁场在空间的传播称为电磁波 如无线电波、光波等二、波动的特征.具有一定的传播速度；伴随着能量的传播；能产生反射、折射、干涉和衍射等现象;有相似的波动方程。2018/4/112 7.1机械波的几个概念1、波动的产生小球点击水 面，会形成水波介质中一个质点的振动会引起邻近质 点的振动，而邻近质点的振动又会引 起较远质点的振动。这样，振动就以 一定的速度在弹性介质中由近及远地 2传播出去，形成波动。转钱等乐器振 勃时，在空气 中形成声波音叉振动 时，形成 声波机械波oyX2018/4/114机械波Wave2、产生机械波的条件=-A(o c o st y t I u)4、沿X轴负方向传播的平面简谐波的表达式(x y=Acosa)z+I u)y=Acos(a)t+kx)(t xj=Ac o s In+It 27波源在+8处演示2018/4/11(Xj=Ac o s 27V 历+一 4716.二、波函数的物理意义 _1、%一定，则位移仅是时间的函数，对于%中1/y=Ac o s cot-2加质点的振动方程2、，一定，则位移仅是坐标的函数，对于U4/(2衣、y=Ac o s a)tx-)对于不同的点 A 2 Aa A*12=-A%212方i 40=(0 t-L 人“1 2%2=。1 一。2演示2018/4/2=t 2ttx222衣1 2衣。27r=（/，-）=下（芍-巧）/v/v/v_3、和，都变化一Yl 时刻的波形q+&时刻的波形波函数表示波 线上所有质点 在不同时刻的 位移。Ar（政）与（+AxJ+A。处的相位相同-(ut x)=丸 _2万T结论：波的传播是 相位的传播（行波）u(t+Ar)-(x+Ax)金一Ax=ut三、波动的微分方程将平面简谐波的波函数分别对时间和空间求二阶偏微商d2y Ac o2(x T=cos t d x u y u Jd2y 2 1-=-A(o c osc o t d t2 I u)d2y=1 d2ydx2.-书 波速二_ _2018/4/11【例】平面简谐波的传播速度为，沿 X轴正方向传播。已知距原点与处的尸0 点处的质点的振动规律为y=Ac o sc o，求波动表达式。解：在X轴上任取一点P,其坐标为”,振动由P。点传到P点所 需的时间为T=（X-XO）/W因而P处质点振动的相位比P。处质点振动的相位要落后所以波动的表达式为y=A cos cou)2018/4/1119机械波四、波动表达式的确定先写出标准表达式y=Acosa)(t+)+(p u代入已知点，比较确定标准表达式中的c p即可或先求出原点的振动方程，再将t换成仕X/U即可；或直接从已知点的振动相位传播求出传播方向任一点的振 动方程.波动方程。2018/4/1120机械波例7已知一平面简谐波的波函数为y=0.02c o s（5%-200t）m 求：（1）波的振幅、波长、波速、频率及周期；（2）质点振动 的最大速度。解（1）y=0.02 c o s 200（t ）解得：A=0.02m,w=40m/so 又c o=2007r,求得y二100Hz,T=l/v=0.01s,及Z=仔=0.4m。(2)d=2=-0.02 x 200%sin 200(t-2)rmax=0.02x200=12.6m/s lUclX2018/4/1121机械波例7.2已知一平面简谐波，向工轴的负方向传播，它的振幅 A=0.10m,周期T=0.5 s,波长&LOm。(1)试写出此平面简谐 波的表达式；(2)%i=0.5 0m处质元的振动方程；(3)%i=0.5 0m和%2=0.25 m两处振动的相位差A。解：(1)g=2%/T=24/0.5=4(s/)u=A/T=1.0/0.5 0=2.0m/sy=Acosa)(t+)=O.lOc o s 4(t+)u 20.5(2)j=010c o s4 万(+)=0.10c o s(4R+%)m 2(3)A*=2万 ilo7T(0.5 0-0.25)=-2018/4/1122机械波例7.2已知一平面简谐波，向轴的负方向传播，它的振幅 A=0.10m,周期T=0.5 s,波长2=L0m。(4)写出Z=l/8s时的波形 表达式；(5)求x=0.5 0m处，Ul/8s时质元的速度。y=Ac o s t(f+)=O.lOc o s 4(t+)u 2I x(4)y=0.10 c o s 4-(+)=-0.10 sin 2衣(m)(5)o=软=-0.10 x4乃 sin 4%(+,)v=-0.10 x 4 sin 4-(+)=0.4%=1.26(m/s)2018/4/1123机械波 6.4惠更斯原理波的衍射、反射和折射惠更斯：(Christ ia n Ha y g ens,16291695)荷兰物理学家、数学家、天文学家。1629年出生于海牙。1655年获得法学博士学位。1663年成为伦敦皇家学会的第一位外国会员。他的重要贡献有:建立了光的波动学说，打破了当时流行的光的微粒学说，提 出了光波面在媒体中传播的惠更斯原理。1673年他解决了物理摆的摆动中心问题，测定了重力加速度 之值，改进了摆钟，得出了离心力公式，还发明了测微计。他发现了双折射光束的偏振性，并用波动观点作了解释。在天文学方面，他供助自己设计和制造的望远镜于1665年，2018/发现了土星卫星土卫六，且观察到了土星环。机喳一、惠更斯原理1、前提条件A2、惠更斯原理介质中波动传播到的各点都 可看作是发射球面子波的波 源；而在其后的任意时刻，这些子波的包络面就是新的 波面。2018/4/1125机械波U At2018/4/1126二、波的衍射1、波的衍射现象几械波波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边 缘继续前进的现象叫做波的衍射现象。2、用惠更斯原理解释波的衍射现象靠近狭缝的 边缘处，波 面弯曲，波 线改变了原 来的方向，即绕过了障 碍物继续前 进。2018/4/1127三、波的反射与折射遨空1、波的反射现象和折射现象当波传播到两种介质分界面 时，一部分波从分界面上返 回，形成反射波，另一部分 进入另一介质，形成折射波,这就是波的反射现象和折射 现象。2、反射定律反射线、入射 线和法线在同 一平面内；反射角等于入 射角。2018/4/113、波的折射定律折射线、入射线和法线在同一平面内;入射角的正弦与折射角的正弦之比等 于波在第一种介质中传播的速度与波 在在第一种介质中传播的速度之比sin i _ q sin r v228机械波4、用惠更斯原来解释波的反射和折射反射波与入射波在同一介质中，传播 的速度是相同的，因而在同一时间内 行进的距离是相等的；而折射波与入 射波在不同的介质中传播，波速是不 同的，因而在同一时间内行进的距离 是不等的。据此可以解释波的反射与折射现象。惠更斯原理的缺陷没有说明子波的强度分布问题；没有说明波为什么只能向前传播而不向后传播的问题。2018/4/1129 6.5波的干涉机械波、波的叠加原理几列波在同一介质中传播时，无论是否相遇，它们将各自保持 其原有的特性（频率、波长、振 动方向等）不变，并按照它们原 来的方向继续传播下去，好象其 它波不存在一样；在相遇区域内，任一点的振动均为各列波单独存在时在该 点所引起的振动的合成。说明：此原理包含了波的独立传播性与可叠加性两方面的性质；只有在波的强度不太大时，描述波动过程的微分方程是线 性的，此原理才是正确的2018/4/1130.二、波的干涉机械波1、相干波振动方向相同、频率相同、相 位相同或相位差恒定的两列波,在空间相遇时，叠加的结果是 使空间某些点的振动始终加强,另外某些点的振动始终减弱，形成一种稳定的强弱分布，这 种现象称为波的干涉现象。2018/，相干波：能够产生干涉的两列波；相干波源：相干波的波源；相干条件：满足相干波的三个条件振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定的两列波最强,最弱-最强最弱最强2018/4/1132机械波2、相干波源的获得分波振面：S为波源前的一 个障碍物上的一个小孔，耕 和S2是在波前进路程中的另 外一个障碍物上的两个小孔,且SS产SS2。根据惠更斯原 理，S、Si、S2都是独立的 波源，S1和S2发出的波为相 干波。2018/4/1133机械波3、干涉图样的形成考虑两相干波源，振动表达式为:%=&c o s(t y +夕1)y2=42c o s(。，+夕2)传播到P点引起的振动为：.2万、必=Axc o s(6y r+-j2=A2c o s(dr+2-在P点的振动为同方向同频率振动的合成。2018/4/1134在正点的合成振动为：机械波7=%+%=Ac o s(o,+9)S 2万其中：A=(2-)-(r2-)婕=A：+A；+2A1A1 cosrxP对空间不同的位置，都有恒定的相位差，因而合强度 在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。干涉相长的条件:=土2立万，k=0,1,2,.A=4+4 干涉相消的条件A夕=(2A+1)跖 k=Q2XA=IA-A21当两相干波源为同相波源时，相干条件写为:8 二八一2=4尢 k=0,1,2,.相长干涉3=r1-r2=(2A:+1),4=0,1,2,3,相消干涉35Xi-t r.rt、上例题：波源位于同一介质中的A、B两点，其振幅相等，频率皆 为100Hz,B的相位比A超前几，若A、B相距30m,波速为 400m-s4o求AB连线因干涉而静止的各点的位置。解：取A点为坐标原点，AB连线的方 向为工轴正方向。(1)AB中的点P,令AP=jg 贝J)BP=30 x。AB0|_-1 I由题意知,(Pb-9a=冗。v 4002=-=一加甲-(Pa-=4m2亦 丁VL 100=7T(X-14)根据干涉相消条件，可知N(p=%(x-14)=(2Zr+1)%x=15+2k,0 x30所以AB上因干涉而静止的点为k=-7 厂 6,5,4,一3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7x=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29%2018/4/1136机械波(2)在A点左侧A B。卜 xA,（30-x）kp=%2 九 4干涉相长。在B点右侧=14%2亦+-42p=%2 冗 G 43）一 夕从 一=16万2亦干涉相长。所以在AB两点之外没有因干涉而静止的点2018/4/1137机械波1、波动的基本概念横波和纵波波长、波的周期和频率、波速=Av2、平面简谐波的波函 数j=Ac o s a)t+9 L v u)2T3、波函数的物理意义2018/4/1138机械波*4、波动能眼=些=42g2加21_ dV xU)I=c5 u=pA2(o2u5、惠更斯原理惠更斯原理解释波的衍射、反射和折射波的叠加原理6、波的干涉&9=2k九,k=0,1,2,.N(p=(2 左+1)肛 k=2018/4/1139机械波*驻波的产生波节和波腹相位 能量XV=2A c o s 2%c o s Ijvvt 2半波损失*声波、超声波、次声波 L/=101gr*多普勒效应 心 士%笠UVv32018/4/1140机械波2018/4/1141机械波*6.3波的能量一、波动能量的传播A1、波的能量 动能(%、y=A c o s t o t-uAxx=-Ad;sin(dtU JdEk=-my=-(pdV)A22 2%。sm g t-I u)2018/4/1142见+2=黑2 Tdy2r qdy Ao.=-smco t-Ydx uu)PdEn=(pdV)A2a)2 sin22018/4/11 P 7 M JXt-u43体积元的总能量 机械波dE=dEk+dE=pdV)A2a)2 sin2 t-I u J济质吊任一体积元的动能和势能同相地随时间变化作周期性 变化。沿着波动传播的方向，每一体积元都在不断地从后方质点获 得能量，又不断把能量传递给前方的介质，能量就随着波动过2、波的能量密度机械波定义：单位体积介质中的能量就是能量密度w=-=p A202 sin2 t-dV I=p A2cdu J平均能量密度一一个周期内的能量密度的平均值1 f T 4 2 2.2yJo A sint-I U)dt22018/4/1145.二、能流与能流密度彼1、能流定义：单位时间内通过介质中某一面积 的能量称为通过该面积的能流(xP=w uS=uSp A d)sin t u平均能流 p=w uS=uSp A2a)22、平均能流密度一描述能流的空间分布和方向定义：通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流,称为平均能流密度，又称为波的强度。真位：W m,广了=WU=pA2(D2U20U4/H-)2 46*6.6骈波 机械波_一、驻波的产生1、演示实验：弦线上的驻波演示分别沿x轴正、负方向传播的同频率、同初相位的两列相干波，其合成波某些点振幅特一一、大，某些点几乎不动，称为驻波y（普露）加驻波的形成驻波是一种特殊的干涉现象。七波节一一静止不动，振幅为零波腹一振动最强，振幅最大J/J2018/4/11波腹47x=0产”0，八/丫x=Q入驻波方程 机械波 A%八1、驻波方程*设沿X轴正方向和负方向传播的 两列相干波的表达式为(x%=Ac o s In vt-k(%、y2=Ac o s2万 vt-其合成波为：(y=yry2=A c o s 2 vt-+Ac o s In vt+-I 4 J y=2A c o s 2万:c o s Zjrvt-演示 该式由两项组成：一项只与位置有关，称为 振幅因子，一项只与 时间有关，称为简谐 振动因子。48它表示各点都在作简谐振动，各点振动 的频率相同，是原来波的频率。但各点2振幅随位置的不同而不同。2、波节和波腹机械波概念满足c o s(2m1)的点，振幅为零，这些点始终静止 不动，称为波节；满足|c o s(2m/入)|=1的点，振幅最大，这些点的振 动最强，称为波腹。波节的位置8s2若=。2尸 3+呜0 x=（2A:+1）,k=0,1,2,相邻两波节间的距离为-xt=-波腹的位置 x X 2c o s 2%一=1 2万一=4乃x=+k,k=0,1,2,2 22018/4/11相邻两波腹间的距离为493、驻波的峥%空y=2使c o s（2m/九）为正的点，相位为2?rvt;使c o s（2九%/九）为负的点，相位为2元vt+元。*在波节两侧点的振动相位相反。两个波节之间的点其振 动相位相同。2018/4/1150机械波三、相位跃变 17实验现象有半波损失在支点处反射，形成波节；在自由端反射，形成波腹。2、波疏介质与波密介质波阻：介质的密度和波速的乘积称为波阻。波阻较大的介质称为波密介质；波阻较小的介质称为波疏介质。3、相位跃变与半波损失无半波损失在两种介质的分界面处形成波节，则反射波在分界 面上相位较之入射波跃变了冗。相对于出现了半个波 长的波程差。把这种现象称为相位跃变或半波损 失。2018/4/1151机械波.四、驻波的能量各质点位移达到最大时，动能为零，势能不为零。在波 节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小,势能最小。势能集中在波节。当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环,能量不被传播。2018/4/1152.五、振动的简正模式I械波在绳长为I的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件:1=性,2n nu 匕二一，n 2147TI 说明一弦线上形成的驻波波长、频率均不连 续。这些频率称为弦振动的本征频率，对应的振动方式称为简正模式。最低的频率称为基频，2捻宓整倍数频率为谐频。系统究竟按那种模式振动,取决于初始条件。两端定的弦，当距一端某点受击而振动时，该点为 波节的那些模式就不出现，使演奏的音色更优美。53回例子*6.8多普勒效应当高速行驶的火车鸣笛而来时，人们听到的汽笛音调变高,即频率变大；反之，当火车鸣笛而去时，人们听到的音调 一、变低，即频率变小。定义观察者接受到的频率依赖于波源或观察者运动的现象,称为多普勒效应。问题假定波源与观察者在同一条直线上，%观察者相对于介质的运动速度%波源相对于介质的运动速度U声波在介质中的传播速度V波源的频率2018/4/11问观察者接收到的频率为多少?54、波源不动，观察者相对介质运动 若观察者以速度叫向着波源运动9 _ u+v0 _ u+v0 _ u+v0 Ab/vb u/=s%v频率升高u若观察者以速度/离开波源运 动，同理可得观察者接受到的 频率：Vf=lt-V频率降低 U演示2018/4/1155.二、观察者不动，波源相对介质运动若波源静止时媒质中的波长为九4=uT波源运动，在介质中的波长：2=2-vsT=(u-vs)T=-v此时波的频率为：vb=丁=v 4 U-Vs由于观察者静止，所以他接 受到的频率就是波的频率：UV=V频率升高56当波源以速度匕远离观察者运动时，可得观察者接受到的频率：-,U V=-V+九3频率降低 演示三、波源和观察者同时相对于介质运动V土也3%:观察者向着波源运动时为正，观察 者背着波源运动时为负；波源与观察者相互接 近时，频率升高；波 源与观察者彼此分离 时，频率降低。vs：波源向着观察者运动时为正，波源 背着观察者运动时为负。利用声波的多普勒效应可以测定流体 的流速，振动体的振动和潜艇的速度 用来报警和监测车速 在医学上，如做超声心动、多普勒血 流仪。2018/4/1157Reflected Outgoingelectromagnetic electromagneticwave wave马赫波：当波源的速度 超过波的速度时，波源前 方不可能有任何波动产生o 如冲击波。Fig ure A Do ppler flo w met er带电粒子在媒质中运动，其速度超过该姨质中的光速时（这光速小于真空中的光速C时），会辐射锥形的电磁波,20箱种辐射称为切仑柯夫辐射。机械波【例】一平面简谐波以波速10m/s沿轴正向传播。已知在 x=2.5 c m处质点的振动表达式为 y=0.05 c o s314，(SI)(1)试写出该平面简谐波的波函数；(2)画出UO.ls与0.125 s 时的波形图；(3)UO.ls、x=0.05 m处质点的振动速度。解(1)%=0处的初位相为=314x2竺二生10 4平面简谐波的波函数 y=0.05c o s 3W-)+-10 4(2)re ny=0.05 cos(10-31.4x+-)=0.05 cos(-31.4x+-)4 4如 37rj=0.05 c o s(12.5万-31.4x+-)=0.05 c o s(-3 lAx+)4 42018/4/1159机械波【例】一平面简谐波以波速10m/s沿轴正向传播。已知在 x=2.5 c m处质点的振动表达式为 y=0.05 c o s314，(SI)(1)试写出该平面简谐波的波函数；(2)画出UO.ls与 0.125 s时的波形图；(3)UO.ls、x=0.05 m处质点的振动速度。解X 7Tj=0.05 c o s 314()+-10 4d tX TT=-0.05 x314 sin 314(t)+-10 4UO.ls、x=0.05 m代入上式，得 r=ll.lm/s2018/4/1160【例】一平面简谐波的波动表达式为(xV=0.01 c o s 冗 10%-I io j求：(1)该波的波速、波长、周期和振幅；(2)X=10m处质点的振动方程及该质点 在t=2s时的振动速度；(3)x=20m,60m两处质点振动的相位 差。解：（1）将波动表达式写成标准形式（%、y=0.01 c o s Itv 5t-因而 I 20J振幅 A=0.01m波长Z=20m周期 T=l/5=0.2s波速 M=Z/T=20/0.2=100m-s1(2)将x=10m代入波 动表示，则有y=0.01 c o s(10 6-4)该式对时间求导，得v=-0乃 sin(10f-万)将U2s代入得振动速度 r=0(3)x=20m,60m两处 质点振动的相位差为kp=(p-=-y-(X2-Xl)=常(6。一2。)=-4%知班油【例】一平面简谐波以波速u=200 m-s4 t=0时刻的波形如图所示。(1)求。点的振动方程与波动方程；(2)求=01s,%=10 m处质点的位移、沿X轴正方向传播，在振动速度和加速度。解：v=-=50Hz2 40.02-Lco-271V-IOOtct-1为方便起见，以下均 用SI制，单位略去。A=0时波形3U=200m-S-A=4m2018/4/1162解：(1)o点振动方程y=A cos(cot+0)(4)=0.02 c o s 100R+波动方程X 7TJ=0.02c o s lo o ker-)+-200 2(2)r=o.is,位移速度加速度X=10 m处质点X TCj=0.02c o s lo o ker-)+=0 200 2v=-0.02 x 100万 sin dtX jr 10044-)+-=24200 2V=-0.02 X(100万)2 c o s 100万-dtX TV)+=0200 22018/4/1163