1、2004年北京高考理科数学真题及答案 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。第I卷(选择题 共40分)注意事项: 1. 答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上。 3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式: 三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 其中c,c分别表示上、下底面周长,表示斜高或母线长 球体的表面积公式 其中R表示球的半
2、径一. 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)设全集是实数集R,则等于 A. B. C. D. (2)满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是 A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 (3)设m、n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题: 若,则 若,则 若,则 若,则 其中正确命题的序号是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 (4)如图,在正方体中,P是侧面内一动点,若P到直线BC与直线的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是 A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 (5)函数在区间1
3、,2上存在反函数的充分必要条件是 A. B. C. D. (6)已知a、b、c满足,且,那么下列选项中一定成立的是 A. B. C. D. (7)从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法共有n种。在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m,则等于 A. B. C. D. (8)函数,其中P、M为实数集R的两个非空子集,又规定,给出下列四个判断: 若,则 若,则 若,则 若,则 其中正确判断有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第II卷(非选择题 共110分)二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。 (9)函
4、数的最小正周期是_ (10)方程的解是_ (11)某地球仪上北纬纬线的长度为,该地球仪的半径是_cm,表面积是_cm2 (12)曲线C:(为参数)的普通方程是_,如果曲线C与直线有公共点,那么实数a的取值范围是_- (13)在函数中,若a,b,c成等比数列且,则有最_值(填“大”或“小”),且该值为_ (14)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。 已知数列是等和数列,且,公和为5,那么的值为_,这个数列的前n项和的计算公式为_ 三. 解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
5、。 (15)(本小题满分13分) 在中,求的值和的面积 (16)(本小题满分14分) 如图,在正三棱柱中,AB3,M为的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为,设这条最短路线与的交点为N,求: (I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长 (II)PC和NC的长 (III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示) (17)(本小题满分14分) 如图,过抛物线上一定点P()(),作两条直线分别交抛物线于A(),B() (I)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离 (II)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数 (1
6、8)(本小题满分14分) 函数是定义在0,1上的增函数,满足且,在每个区间(1,2)上,的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。 (I)求及,的值,并归纳出的表达式 (II)设直线,x轴及的图象围成的矩形的面积为(1,2),记,求的表达式,并写出其定义域和最小值 (19)(本小题满分12分) 某段城铁线路上依次有A、B、C三站,AB=5km,BC=3km,在列车运行时刻表上,规定列车8时整从A站发车,8时07分到达B站并停车1分钟,8时12分到达C站,在实际运行中,假设列车从A站正点发车,在B站停留1分钟,并在行驶时以同一速度匀速行驶,列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称
7、为列车在该站的运行误差。 (I)分别写出列车在B、C两站的运行误差 (II)若要求列车在B,C两站的运行误差之和不超过2分钟,求的取值范围 (20)(本小题满分13分) 给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L1275。现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是: 首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的,称为第一组余差; 然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差为;如此继续构成第三组(余差为)、第四组(余差为)、,直至第N组(余差为)把这些数全部分完为止。
8、 (I)判断的大小关系,并指出除第N组外的每组至少含有几个数 (II)当构成第n(nN)组后,指出余下的每个数与的大小关系,并证明 (III)对任何满足条件T的有限个正数,证明:2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)(北京卷)参考答案一. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分。 (1)A (2)C (3)A (4)D (5)D (6)C (7)B (8)B二. 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分30分。 (9) (10) (11) (12) (13)大 -3 (14)3 当n为偶数时,;当n为奇数时,三. 解答题:本大题
9、共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (15)本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,考查运算能力。满分13分。 解法一: 又 解法二: (1) (2) (1)+(2)得: (1)(2)得: (以下同解法一) (16)本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分14分。 解:(I)正三棱柱的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为 (II)如图1,将侧面绕棱旋转使其与侧成在同一平面上,点P运动到点的位置,连接,则就是由点P沿棱柱侧面经过棱到点M的最短路线 设,则,在中,由勾股定理得 求得 (I
10、II)如图2,连结,则就是平面NMP与平面ABC的交线,作于H,又平面ABC,连结CH,由三垂线定理得, 就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角(锐角) 在中, 在中, 故平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为 (17)本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。满分14分 解:(I)当时, 又抛物线的准线方程为 由抛物线定义得,所求距离为 (2)设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为 由, 相减得 故 同理可得 由PA,PB倾斜角互补知 即 所以 故 设直线AB的斜率为 由, 相减得 所以 将代入得 ,所以是非零常数 (18)本小题主要
11、考查函数、数列等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力。满分14分。 解:(I)由,得 由及,得 同理, 归纳得 (II)当时 所以是首项为,公比为的等比数列 所以 的定义域为1,当时取得最小值 (19)本小题主要考查解不等式等基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分12分。 解:(I)列车在B,C两站的运行误差(单位:分钟)分别是 和 (II)由于列车在B,C两站的运行误差之和不超过2分钟,所以 (*) 当时,(*)式变形为 解得 当时,(*)式变形为 解得 当时,(*)式变形为 解得 综上所述,的取值范围是39, (20)本小题主要考查不等式的证明等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。满分13分。 解:(I)。除第N组外的每组至少含有个数 (II)当第n组形成后,因为,所以还有数没分完,这时余下的每个数必大于余差,余下数之和也大于第n组的余差,即 由此可得 因为,所以 (III)用反证法证明结论,假设,即第11组形成后,还有数没分完,由(I)和(II)可知,余下的每个数都大于第11组的余差,且 故余下的每个数 (*) 因为第11组数中至少含有3个数,所以第11组数之和大于 此时第11组的余差 这与(*)式中矛盾,所以