高考_数_列_方法总结及题型大全.pdf

高考 数 列 方法总结及题型大全方法技巧数列求和的常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是,抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的儿种常用方法：一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.O n rLCL十 CI等差数列求和公式：2 2na q=1)2、等比数列求和公式：n 1,1Sn=n(n+l)Sn=j(+l)(2+l)ax(y-qn)_ ax-anq l q 工n 1S=斗3=和+1)2例1(07高考山东文18)设为是公比大于1的等比数列,S为数列的前几项和.已知$3=7,且。1+3,3。2，%+4构成等差数列.(1)求数列仅的等差数列.(2)令与=垣。3+1，-=12，求数列4的前八项和了.6+。2+。3=7，:(0+3)+Q+4)_解：(1)由已知得 2 解得“2=，.2r I _ o i，.q=2.必=l.故数列%的通项为凡=2”1 由于勿=111。3+1 =1，2,，由(1)得药“+1=二.bn=In 23w=3m In 2 又 bn+x-bn=3In 2n,J是等差数列.Tn=Z?|+Z?2+,+/?幽+上)2(31n 2+31n 2)23(+l)-In 2.2装当n2故 2q/()=-练习：设Sn=1+2+3+n,nN*,求(+32向 的最大值.Sn=-n(n+l)Sn=-(n+r)(n+2)解：由等差数列求和公式得 2,2(利用常用公式)/()=_?_.(+32)S+i=n2+34+641 n+34+(V-A)2+50 0,判一侵r吟-使j+i可得一、入)A,K-f-Y1%_=九_1所以九 J为等差数列，其公差为1,首项为0,故尢IV，所以数列为的通项公式为用=5T)九+2”.(II)解：设。=1+2九3+3X/H-F(n-2)X，!1+(n-l)Z，!,九7；=入3+2入4+3九5+(八_2)九+(1)九向 当九W1时，式减去式，2)71+1(1-九)7；=九2+九3+九 _讥”+1=_二-(n-l)X，+1得 1 一九_九2 九+1(.1)九+1 _(._1)九+2_.+1+:2“一(14)2 11 一(1-A,)2q _(一1)九2 一征”+/3=-2-1-2 2这时数列&的前八项和(1一九)_n(n-l)_n(n-l)+iln=-r“1 册=-一乙当九=1时，2.这时数列凡的前项和 2例3(07高考全国H文21)设客是等差数列，4是各项都为正数的等比数列，且a=bx=1 dj+b5-21。5+匕3=13，(I)求%,他的通项公式；3册（II）求数列的前n项和Sn解：（I）设“的公差为d,2目的公比为4,则依题意有9 且-l+2d+ql+4d+/21，13,解得d=2,9=2.所以=l+(n-l)J=2n-l bn=qn-X=T-xan 2-1(ID =。1 3 5S=1+手+*+乙 乙2 一 3 2 一 1尸+尸,2s“=2+3+工+22-3 2M 12 2S=2+2h-1y+一得 2 22 2n-l2n2 2Tc c A 1 1=2+2x l+-+r+12 2 212n-l2li_!_ _ aT 2一1 j 一 2T2三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）2f（x）=-r例4（07豫南五市二联理22.）设函数 2+，2的图象上有两点Pi（xl,yl）、P2（x2,y2）,OP=-(O+O)若 2 一，且点P的横坐标为2.尸+,1,71-22九+361（D求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值;45,ne N*，求S.;(II)若 n n n n(III)略,1.1OP=-(OPi+OP2)-(I)V 2，且点P的横坐标为2.”是 PP2的中点，且九1+12=12.2 心 _ 2f2+今+2f+3)y+y 2x+y+2X2+(2+点)_ 4+0?心+?加=4+点(24+2)2)7尸 由(D 知,+举=1/3)+/8)=1，且/10)=2-又“小卜小+/汩+村汕 s“=d:MF）+惘+也）0）25=声用+（%）H1片TF，+-/4-1+力1=2/（卅+1+=n+1-3 2 2n+3-T 2S=12四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分 解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1 1 1Cln-=-(1)n(n+1)n n+1=1+(-)(2h-1)(2h+1)-2 2n-l 2n+l(3)=：1 _ 1n(n l)(n+2)2 n(n+1)(n+l)(n+2)等。51 1 例5求数列1+拉及+6册+册的前n项和.an=-j=-I=y/n+1-4n解：设+l（裂项）S1 1 1则 1+J 5 4n+y/n+1（裂项求和）=（血 _&）+（指-回+g/tt一 向y/n+1-l例6(06高考湖北卷理17)已知二次函数，=/()的图像经过坐标原点，其导函数为/(%)=6%_2,数列%的前n项和为S”，点(，S)(eN*)均在函数y=/(x)的图像 上。(I)求数列氏的通项公式；b=1 下”(n)设%“+】，/”是数列也)的前n项和，求使得 20对所有 c N都成立的 最小正整数m；解：(I)设这二次函数 f(x)=ax2+bx(a#0),则 f(x)=2ax+b,由于 T(x)=6x2,得 a=3,b=2,所以 f(x)=3x2 2x.又因为点(S”)5cN*)均在函数y=的图像上，所以S”=3n2 2n.当 n22 时，an=Sn Sn1=(3n2 2n)_p(n-l)2-2(n-l)=6n_5当 n=l 时，al=S1=3x12 2=6x1 5,所以，an=6n 5(eN)b?_ lz 1)(II)由(I)得知=(6-5)6(-1)-5=2 6-5 6n+l,1 Th A，/4 1 1 J 1 1故4=台=2 L 7 7 13 6 5 6%+1=2(16+1).1 1 m 1 m因此，要使2(1-6n+l)-.=_ an=a】a2%an-2 3 4 n 勾又 3,3场_ 3n 1例:已知勾=3,n+1 3+2（n-,求 明。93(n-l)-l 3(n-2)-l 3x2-1 3-1an=-a,3(n-l)+2 3(n-2)+2 3x2+2 3+2_3n-4 3n-7 5 2 63n 1 3n-4 8 5 3n 1 o类型 3 Q”+1=pa”+g(其中 p,q 均为常数，(pg(p-l)w O)。解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an+-t=pan-t其中 1-P,再利用 换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，勾=1,凡+1=2g”+3,求小.解：设递推公式氏+1=2&+3可以转化为 an+l-1=2(an-1)gp an+x=2an-tt=-3故递推公式为%+i+3=2(a“+3),令a=凡+3,则4=勾+3=4,且%=4+i+3-2小 恁+3.所以是以仇=4为首项，2为公比的等比数列，则a=4x2i=2所以&=273变式:递推式：”的二&+/5)。解法：只需构造数列0“,消去了()带来的差异.类型 4=pan+q(其中 p,q 均为常数，(pq(p-l)(q-l)w)。(。+1=P&+?”淇中p,%均为常数)oan+_ P an 1“+1 FT=1 F 十一解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以9,得：夕 Q Q Q引入辅助数列.=bn+i=bn+2(其中 q)，得：q q再待定系数法解决。5 1 z 1 X +1例:已知数列中，6,3 2，求册。&+i=:%+(：)”2向 an+x=/(2%)+1解：在 3 2 两边乘以2得：3 bn+l=-bn+l bn=3-2(-)n令瓦，一2 4,则 3，解之得：3所以10“法=3（1-时类型5递推公式为凡+2=P&+1+9凡（其中p,q均为常数）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为 4+2-5氏+1=*%+1-5%）其中s,t满足 S+t=p Vst=-q解法二（特征根法）：对于由递推公式&+2=，凡+1+9册,勾=01,。2=P给出的数列W,方程P%一夕=0,叫做数列的特征方程。若汨，9是特征方程的两个根，当汨 时，数列七的通项为an=A x 1+Bx,其中A,B由a=a,%=P决定（即把 因，。2,西，*2和=1,2,代入4”=A%1+Bx2，得到关于a、B的方程组）；当1=%2时,数列也的通项为=（4+b011,其中A,B由“1=a,%=P决定（即把。1，。2，%1，%2 和L2，代入an=（A+珈）：1,得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数迭加法）：数列册:3g+2_5凡+2氏=0（20,w N）,a=。，。2=b,求数列”的通项公式。由 3。”+2-5。”+1+2“=0,得20+2 a+i （n+1-a”）_ l3，且 2_勾_0_4。2则数列%+i-%是以匕一。为首项，3为公比的等比数列，于是g+i-an=（b-a）fyD o2ICC Z 3。2=3 a)(一)把“=1,2,3,/代入，得。2一a二匕一，3,久一生=(-)(|)2&-an-=(Z?-)(|)，-2O把以上各式相加，得112 2a”-a=(b-2)1+-+(-)+i-(5=l-32 9.”=3 号尸(j)+a=33-吗产+36-2解法二（特征根法）：数列%：3%+2-5。”+1+2。”=0（2 0,c N）,ax=a,a2=b的特征方程是：3%5%+2=0。*X=1,%2=4 D T=A+B (一)13.。”=4汨+Bx2%。又由=4，%二人，于是a=A+B2=b=A-B3A=3b-2aB=3(a-b)an=3Z?-2fl+3(a 故 3_2 1 _ 1c _ O+2 n+l+二 Q 例:已知数列中，。1一1,。2-2,3 3，求源_2 1解：由2 一1向十可转化为&+2-sa用二。”+1-皿）n 即用+2=（s+/）an+1-St6”1 1S=-：=-1 这里不妨选用 3（当然也可选用下=1,大家可以试一试），则4+2 一凡+i=-7（凡+1-_n 八 3=W”+i凡）是以首项为生一为一 1,公比为3的等比数列，所以4+I an-，应用类型1的方法，分别令=1,2,3,（八一1）,代入上式得（一1）个等式累加之，即12Z lx0,/1 x 1,、/1-2a“一火=(-3)+(3+.+-31-0尸3又=1,所以7 3 1严类型6递推公式为Sn与狐的关系式。（或S”二 f 3）肉.（=1）an=2)或与 Sn=f(Sn 5_j)(n 2)消去进行求解。（）Sn=4 cin y例：已知数列也前n项和 2（1）求用+1与册的关系；（2）求通项公式册Sn=4-an-2 S”+i 解：(1)由 2 得：1 一“.一产于是Sn+i-Sn=an-an+x)+(2 ttt)乙 乙所以1 1 1%+i+T7TT=&+i=an+tt 乙 乙 乙（2）应用类型 4（“向=P“+q”（其中 p,q 均为常数，（P9（，T）（qT）W）的方法，上式两边同乘以2向得：2“向=2”%+2由1=Si=4-fl-iy=fl,=1 0n2.于是数列P 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 2 a”=2+2(-l)=2nn=%=7 7 rr 乙类型 7 a“+i=pa”+Q+b（p w l、8 w 0）解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an+l+x（n+l）+y=p（an+xn+y）,与已知递推式比较，解出无了，从而转化为134+加+y是公比为p的等比数列。例:设数列：a=4,。”=3a,i+2打1,（九2）,求 明解：设A=%+4几+3,WJ a,=bn-An-B将4,，。，一代人递推式，得b,-An-B=3bn_l-A（n-l）-B+2n-l=3bn_x-（3A-2）（33-3A+1）./22=卜=1B=3B-3A+1 B=l、.取4=an+l（i）则 bn=3bi,又 b、=6,故bn=6x3”t=2x3代入（）得&=2x3-一 1说明：（1）若/（）为的二次式，则可设bn=%+A，+3+C；q）本题也可由G”=3。“_1+2-1,=3&-2+2（八一1）-1（H 3）两式 相减得%一-3（。”_1&-2）+2 转化为bn+2=pbn+i+qb”求之14【知识点】：1.等差数列前N项和公式S=(Al+An)N/2 即：(首项+末项)*项数/2等差数列公式求和公式Sn=n(al+an)/2或Sn=nal+n(n-l)d/2 即：项数*首项+项数*(项 数-1)*公差/22.等比数列前n项和设 al,a2,a3.an 构成等比数列 前 n 项和 Sn=al+a2+a3.anSn=a 1+al*q+a 1*qA2+.al*qA(n-2)+a 1*qA(n-1)(这个公式虽然是最基本公式，但一部分题目中 求前n项和是很难用下面那个公式推导的，这时可能要直接从基本公式推导过去，所以希望这 个公式也要理解)Sn=a 1(1-qAn)/(1-q)=(a 1-an*q)/(1-q);q:公比3-1【例】、已知数列满足田斯=3一+味(22),则通项公式即=2an=3 A(n-1)+a(n-1)-an-a(n-1)=3 A(n-1)同样 a(n-1)-a(n-2)=3A(n-2)a(n-2(-a(n-3)=3A(n-3).a3-a2=3A2.a2-al=3Al以上的n个等式的两边相加得到An-al=3+3A2+.+3A(n-1)=3(1-3An-1)/(1-3)=(3An-1)/21.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：(D定义法：对于n2的任意自然数，验证为一4T(劣/3_)为同一常数。(2)通项公式法：若%=%+(n-1)d=%+(n-k)d,则%为等差数列；若，则g为等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。2.在等差数列即中，有关S”的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当为0,d0时，满足 的项数m使得sm取最大值.册+1-o(2)当为0时，满足J 的项数m使得外取最小值。am+。15在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。注意事项1.证明数列a“是等差或等比数列常用定义，即通过证明 an+x-an=an-an_x或工而得。an-2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3.注意s”与%之间关系的转化。如：an&2即二见-a1）.4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题例1.数列an的前几项和记为Sn,a=l,an+1=2Sn+l（n 1）（I）求4的通项公式；（II）等差数列出“的各项为正，其前几项和为T，且刀=15,又6+瓦,。2+匕2，。3+打成等比 数列，求T”本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。解：（I）由 an+i=2Sn+l 可得 an=25_i+n）2,两式相减得%+i-0=3a（n 2）又的=2a+1=3 故为是首项为1,公比为3得等比数列=3n）设4的公比为d 由十二15得，可得瓦+庆+与=15,可得庆=5故可设伪=5 d,仄=5+d 又。i=1,。2=3,药=9由题意可得（5 d+5+d+9）=（5+3）2 解得4=2,&=1016等差数歹U bn的各项为正，.d0d=2一 n(n Y-27 1=3nd-x 2=+2n2例2.设数列斯的前项和为,且对任意正整数n,an+Sn=4096 o(1)求数列。”的通项公式？(2)设数列log?%的前八项和为Tn,对数列，,从第几项起Tn 23+、4叫 而n是正整数，于是，n46.工从第46项起2Tnl.2(1)求证：数列册是等比数列；(2)若a=2，数列 bn 满足勾=log2(ai2(=1，2,，2k),求数列瓦,的通项公式；n(3)若(2)中的数列勿满足不等式劭一 1+也一+以1巳1+1瓯一己12 2 2 24,求k的值.(1)证明 当 n=1 时,a2=2a,则=a；2n2k 1 时,an+i=(a 1)Sn+2,an=(a 1)Sn-i+2,an+ian=(al)an,.巴土=a,.,.数列aQ是等比数列.anm(w-1)n(n-l)解：由得 aaaT.aia2.an=2ai+2+T5-D=2a 2=2女丁，171 r n(n-l)n n-1,bn=n H-=-F l(n=l,2,.,2k).n 2k-l 2k-l3 1 3(3)设bm3,解得ngk+,又n是正整数,于是当ngk时,bnk+l 时,bn.23 3 3 3 3原式=(bi)+(b2)+.+(bk)+(bk+i)+.+(b 2 k)2 2 2 2 2=(bk+i+.+b 2 k)(bi+.+b k)-(k+2k-l)k-(O+k-l)k 2=2+幻-2+的=-2k-l 2k-l 2k-11乙当-“，得 k28k+44)，4-2 V3 k2,2-1.当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.例4O已知数列仲“中，S”是其前几项和，并且5m=4%+25=1,2,一）,。1=1,设数列乩=。用一2&（九二1,2,），求证：数列瓶是等比数列；设数列g=3,（=l,2,.），求证：数列c“是等差数列；求数列“的通项公式及前几项2和。分析：由于b.和c“中的项都和a中的项有关，a“中又有Sn+l=4a+2,可由S 2-S用作切入点探索解题的途径.解：（1）由 S”+1=4a+2 S”+2=4a+1+2，两式相减，得 S+2-S+i=4（a n+1-a ）,即a“+2=4 a”+4 a”（根据b,的构造，如何把该式表示成 叫讨与b.的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练）a+2-2a“+i=2（a”+2a“），又 b“=a”+2a”，所以 b“+=2b”已知 S 2=4a j+2,3)=1,aj+a 2=4a +2,解得 a2=5 b,=a 2-2ax=3 由和得，数列是首项为3,公比为2的等比数列，故b=32”7.18(2)因为,=受萌N)，所以%+1-%=舞-今=2%广1=徜3 2n-1 3 2n+1=4*又5=；,故数列%是首项为最 公差是(的等差数列，3 1G=.n-“(3)因为1=余，又=(!-:,所以=与-(，an=(3n-l)2叽当n22时，S“=4a+2=2 T(3n-4)+2；当n=l时，S产a1=l也适合上式.综上可知，所求的求和公式为S =2 T(3n-4)+2.说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列 通项与前项和。解决本题的关键在于由条件S”+1=4&+2得出递推公式。2.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后 面求解的过程中适时应用.19【问题3函数与数列的综合题数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.例5已知二次函数y=/(x)的图像经过坐标原点，其导函数为/(x)=6x-2,数列%的前n项和为S“，点5，S.)5i N*)均在函数y=/(%)的图像上。(I)、求数列为的 通项公式；(II)、设a=1,Tn是数列4的前n项和，求使得T 2对所有九i N*a/n+i 20都成立的最小正整数m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技 能，考查分析问题的能力和推理能力。解：(I)设这二次函数 f(x)=ax2+bx(aO),jUO f(x)=2ax+b,由于/=6x2,得a=3,b=2,所以 f(x)=3x 2x.又因为点5,5”)(*)均在函数丁=/(%)的图像上，所以=3n2-2n.当 nN2 时，an=SnSn-i=(3n22n)p(n-l)2-2(m-l)=6n 5.当 n=l 时，ai=S=3xl22=6x1 5,所以，an=6n 5(九 w N*)3 3 1 1 1(n)由(i)得知a=-=A(-),anan+(6n-5)6(w-1)-5 2 6n-5 6n+in i故Tn=a=2m R+（5一=）=36n+1因此，要使L(7-)“(0,1+1)代入上式，得 a=1，/.c”的方程为：y=x2+(2n+3)x+n2+1 0n=y lx=o=2+3，-=-=(-)一 kn_,kn(2九+1)(2九+3)2 2几+1 2+31 1 1 11 1 1 1,1 1、i-+-=(-)+(-)+(-)kk2 k2k3-k,-kn 2 5 7 7 9 2n+l 2+3IJ_ 1)=1 _ 12 5 2+3 10 4+6点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出kn.例9.已知抛物线2=4y,过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点 片，又过点226作斜率为上的直线交抛物线于点p2,再过b作斜率为1的直线交抛物线于点，2 4如此继续，一般地，过点R作斜率为点的直线交抛物线于点pn+i,设点？,（%,%）.（I）令瓦=x2n+l-x2n_,求证：数列a是等比数列.并求数列的前n项和为S”解：（1）因为七（/，%）、R+（%“+i,y”+i）在抛物线上，故居之=4%,/+：=4%+i,又因为直线PnPn+l的斜率为 乙，即.如一2%+i-%代入可得 21 X2n+1 Xn 1 17-=不=+/=w4%+1-x 2 2济12”+1 X2n-=(%2”+1+X2n)(X2n+X2n-)=211 11故2n-2 八2-3 2n-2：2 2智=:=是以，bn 4 44 1 3 1为公比的等比数列；S“）-Sn+l=,3 4 4 4【问题5数列创新题例10.数列“的前几项和为S”，已知。=2,Sn=/a”-n（n-鬃（I）写出S与S.i的递推关系式（3 2）,并求关于几的表达式；C(ID设力G)=Xn+bn=2),由一得 10an=(a，an-/)+6(an an-。,即(an+an-i)(anan-i-5)=0an+an-i0,.*.anan-i=5(n3s2).当 ai=3 时,a3=13,ai5=7 3.ai,a3,ai5 不成等比数列，aW3;当 a.2 时,a3=12,ai5=7 2,有 a32=aiais,ai=2,an=5n 3例 13.已知数列为满足 a=l,a2=3,an+2=3a”+i-2。“(九 e N*).24(I)证明：数列an+i-an是等比数列；(II)求数列4的通项公式；(II)若数列出”满足44一展一1.41=(%+1/(*),证明竹”是等差数(1)证明：生+2=3。+1-2%,二.an+2-an+x=2(a”+i ax=l,a2=3,.-=2(n g N).n+l 一%an+1-an是以a2-ax=2为首项，2为公比的等比数列。(II)解：由(I)得%+i-%=2(eN*),.an=(-i)+(_1-an_2)+.+(a2-ai)+a=2T+2”-2+.+2+1=2-1(e N*).(Ill)证明：.4叱/-1,.心-1=q+1孔.心+&+.+)=2曲，2(Z?1+b2+.+bn)n=nbn,2(瓦+b2+.+bn+I+i)-(n+l)=(n+lA+i-，得 2(*1)=(+1泡+1-就”,即(一 1 刈+|-叨,+2=0.nbn+2-(n+1)/?+i+2=0.一，得为+22版?+1+仇=0,即Z?+2_2+i+”=0,/.bn+2-bn+=bn+i-bn(n g N*),/.bn是等差数列。例 14.已知数列。“中，=1、点(、2a“+i-。”)在直线 y=x 上，其中 n=l,2,3 2(I)令a=凡_1-3,求证数列0是等比数列；(II)求数列他的通项；(III)设S“、分别为数列为、。”的前项和，是否存在实数九，使得数列S.+U；n为等差数列？若存在，试求出九,若不存在，则说明理由。解：(I)由已知得 ax=,2+1=an+n,23 3 1 3v a2=-,a2-ax-=-=-,4 4 2 4 25乂 b=an+-an-l,bn+i=an+2-an+i-1,4+i+5+1)&+。”+1 一七一 1.如=4+i-1=2-2=2=J _瓦。+2 一 凡+1-1+1一一1 23 1二.仇是以一为首项，以上为公比的等比数列.4 2a 1 a 1(n)由(D 知,“二一不当1=-X了,3 1,3 1a”+i=乙 乙 乙 乙将以上各式相加得:3 1 1 1z.an-ax-(-1)=-(-+-t4-+-ttt),乙 乙 乙 乙，+”1一|1(1-1)x2(2G141 3=-+(n-l)-(l-n 2.31-an +-2.(Ill)解法一：存在九=2,使数列5/肛是等差数列.nS=。1+。2 1%=3(r+2-HH-y)+(1+2dF ri)-2n 乙 乙 乙c 5(1一歹)n(n+l)_ c/t 1、2-3 3 n-3n.1 1 2 2n 2 2 22：一3 1 3 3Tn=Z?i+b2+-+bn=-=z-(l-)=.1-2数列S+入空是等差数列的充要条件是，+立=4一+8,(A、5是常数)n n即S.+九空=A7+加，又 5 十 九北二一方+3+九（一|+/）=+3（1勺（1一小）26.当且仅当1一人=0,即九=2时，数列S+为等差数列.2 n解法二：存在九二2,使数列 卢+立是等差数列.n由(I)、(II)知，an+2bn=n-2 Sn+2T=_2n心+1)_2-27；+九 7；,0S”+M 2 八一3 九一 2=c+4 n-n-2 n一；(1-)3 1 3 3又北=优+与+4=4/=_万(玄=一耳+产 2Sn+九。n一3 九一2,3 3、丁丁(一丁 产)当且仅当九二2时，数列土上是等差数列.n例15/(%)=0 nx-(n-l)+/(n-l)U=0)(n-xn,n e,N*)1)在0,3上作函数y=f(x)的图象(2)n 1求证：l，一23)设S(a)(a20)是由x轴、y=f(x)的图象以及直线x=a所围成的图形面积，当nN*时，试寻求S5)-S(n-1)与f(n-1)的关系2解：(1)当 n=l 即 0 xl 时，f(x)=x+f(0)=x当 n=2 即 lx2 时，f(x)=2(x l)+f(l)=2x2+l=2x l当 n=3 即 2xn+l0 2 1n+1又且 如匚=2 2n+1-62.已知函数y=%)对于任意”处(ke Z),都有式子2，(tan。)=cot。-1成立(其中q为常数).(I)求函数y=/(%)的解析式；(II)利用函数y=/&)构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的1,令工2=/(%1)，了3=/(%2)，在上述构造过程中，如果再(i=l,2,3,)在定义域中，那 么构造数列的过程继续下去；如果再不在定义域中，那么构造数列的 过程就停止.(i)如果可以用上述方法构造出一个常数列，求。的取值范围；(ii)是否存在一个实数。，使得取定义域中的任一值作为M，都可用上述方法构造出一个无穷数列%”?若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由；(iii)当。=1时，若屈=，求数列/的通项公式.解：(I)令=。-tan。(。),贝Ij tan=a-x,ffo at 0=1=1，2 to 0 a-x故/(x)=1,y=/(x)-(xw a).a-x a-x(II)(i)根据题意，只需当w a时，方程/(x)=x有解，亦即方程12+(1_)%+1_=0有不等于的解.将=。代入方程左边，左边为1,与右边不相等.故方程不29可能有解x=a.由 A=(l-0,得工一3 或 q2 1,即实数a的取值范围是(-8,-3Ul,+8).(ii)假设存在一个实数。，使得取定义域中的任一值作为项，都 可以用上述方法构造出一个无穷数列%,那么根据题意 可知，匕上上二在R中无解，a-x亦即当xw a时，方程+=无实数解.由于x=a不是方程(l+a)%=a?+_i的解，所以对于任意xR,方程(1+。)%=/+_1无实数解，因此1；解得=-1.a+q 1。0.。=-1即为所求的值.(iii)当a=l时，%)=J,所以，居的=4.1-X 1 一招两边取倒数，得 1=1一1,_L-L=-i.X+l%九+1%?所以数列,是首项为L=_l,公差d=-l的等差数列.%11tt=-l+(n-l)-(-l)=-n,所以，=-,xn n即数列巧的通项公式为匕=.n3.在各项均为正数的数列为中，前项和Sn满足2Sn+1=an(2an l 1),ne N*。(I)证明.是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和 的公式；(II)在XOY平面上，设点列Mn(Xn，yn)满足%=眸，S”=/%,且点列Mn在直线C上，Mn中最高点为Mk，若称直线C与X轴、直 30线=以=6所围成的图形的面积为直线C在区间，切上的面积，试求直线C在区间尤3，双I上的面积；(III)是否存在圆心在直线C上的圆，使得点列Mn中任何一个 点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不 存在，请说明理由。解：(1)由已知得2s“=24+用-1 故 2Sn+i=2凡+an+1 一得 2a“+i=2a3-2a+an+i-an结合%0,得%+1-用=；.a”是等差数列又=1 时，2勾=2a；+Q 一1,解得=1 或U,0，G=1 3-d ,(2,=1H(n 1)=-n H2 2 2 2(II),/an=nxnf Sn=n ynan 1 1 Sn 1 3=-=1-，yn=-T=-1-n 2 In n2 4 4设=+,y=+,消去 n,得3x-2y-l=02 2n 4 4即直线C的方程为3%-2y-1=0又y=1+是n的减函数 4 4帕为Mn中的最高点,且Ml(1,1)又M3的坐标为(2,1)C与X轴、直线l=|、X=1围成的图形为直角梯形从而直线C在2,1上的面积为s J x(l+1)x(12)J 3 2 2 3 4(III)由于直线C:3%-2y-1=0上的点列底依次为Ml(1,1),M2-),M3 i),，Mn 4 8 3 2 2 2 4 4而 lim(-+)=-,lim(-+)=-2 2 2 f 8 4 4 4因此，点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(1,1)31又;IMiM KJ:)；二MiM的中点为(2,士)4 8J满足条件的圆存在 _事实上，圆心为(3,),半径北姮的圆，就能使得Mn中任何 4 8 8一个点都在该圆的内部，其中半径最小的圆为(%一3)2+0-32=身4 8 644.已知定义在R上的单调函数%),存在实数%。，使得对于任意实 数1,也总有+犬0犬2)=/(%()+/(%1)+/(%2)恒成立.(1)求沏的值.(2)若/(%o)=l,且对任意正整数,有4”=J=也=/(4+1,记 S=axa2+a2a3+a”a+i,7；=bb2+b2b3+-+bnbn+i,比较;S”与 Tn 的 大小关系，并给出证明；(3)若不等式用+。什2+即”log(%+1)-log(92 一 1)+1对任意 35 2 2不小于2的正整数都成立，求工的取值范围.解：(1)令两=/2=0,3n+l2n+l,.4Sn-TII=3(-1)0./3 2 4 2+l(3)令/()=Q“+i+凡+2+，43 Sn 0.，当场 2 时，F(n)F(n-l)-F(2)=3+4=|12 35log i(%+1)-log (9x2-1)+1.即 log1(%+1)-log i(9x2-1)0,0,解得一2工 fl,=o,d=-=3,2 3an=3n-11 o 2 2J匕=1(2)0,即 q”5,.3八一115 或3一11一5,即号或n|45=料+4|).艰.加,丁)=4点.仙一？an|+4 V 2)4=4网-|)一%汽.时,.“的最小值为8。16V，九=1(3)若曲线C”与直线/不相交，曲线g与直线/间“距离”是：曲线a上的点到直线/距离的最小值。曲线C0与直线/不相交时，A=16|an|2-5|a|)0,即0图5,EP|3m-1 1|5,Z.n=3,4,5,=5时，曲线。5为圆，九=3,4时，曲线C”为椭圆。34选=3,椭圆方程为L+2L=i,设椭圆上任一点 2 4M（V2c o&,2s ift）,它到直线/的距离d=4。产+31=Jmin=与费=挈-褥，椭圆到直线/的距离为 V2 2当-&（椭圆C到直线/的距离为35M）2 26.直线x+y=gw N*）与X轴、y轴所围成区域内部（不包括边界）的 整点个数为即，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为九.（整 点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）求力和%的值；（2）求斯及九的表达式；（3）对即个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总数为人，对九个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色,其方法总数为Bn,试比较An与Bn的大小.解：（1）=3 时，直线=0上有（0,0）,（0,1）,（0,2）,（0,3）个点，直线1=1 上有（1,0）,（1,1）,（1,2）,直线 x=2上有（2,0（2,1），直线=3 上有（3,0）.“3=1 也=4+3+2+1=10（2）=1 时，由=3,勾=0 九=2时，匕2=6,。2=0当心3时,./八 z _,（n+1）（+2）bn=（八+1）+九+（八一1）+2+1=-2为=为一3（+1）+3=（-1），-2）当=1,2时也满足，.9=2-3+2,八1八+2（w M）2 235n-3n+2n+3n+2(3)A,=4；Bn=2；,9 2 654 2、_2+3+2“2-9+2 一彳&=2 2=2 2=2 2Bn当场=123,4,5,6,7,8 时，A,Bn7.我们把数列片叫做数列”的k方数列(其中an0,k,n是正整数),S(k,n)表示k方数列的前n项的和。(1)比较 S(1,2)S(3,2)与S(2,2)厂的大小；(2)若.的1方数列、2方数列都是等差数列,皿 求即的k 方数列通项公式。(3)对于常数数列二1,具有关于S(k,n)的恒等式如：S(1,n)=S(2,n),S(2,n)=S(3,n)等等，请你对数列&的 k 方数列进行研究，写出一个不是常数数列七的k方数列关于S(k,n)的恒等式，并给出证明过程。解：(1)S(1,2)二/+2,S(3,2)=a；+.；,s(2,2)=a；AS(1,2)S(3,2)-S(2,2)2-3+Q2)(；+2)-(a；+a；)2=a+a2cii-2af a-axa2 3i-2)2Y a”0,;.S(1,2)-S(3,2)S(2,2)2(2)设a”-=P贝(J dan an_x)=p.d4+Q”)=P.一得 2d2=0,/.d=p=0a”=an_x an-an_x=036(3)当尸时，恒等式为S(1,n)2=s(3,n)证明：S(l,n)2=S(3,n)S(l,n-1)2=S(3,n-l)(2,mg N*)相减得：anS(l,n)+S(l,n-1)=anS(1,)+S(1,1)=。/5(l,n-l)+5(l,n-2)=,l2相减得：an+a_1=a-an_12,an 0an-an-=1,1=1 a”=n8.设向量a=(%,2),b=(x+n,2x-V)(n为正整数)，函数y=在 0,1上的最小值与最大值的和为狐，又数列4满足：nbl+(n-l)b2+:+2a_+a=(而)+ld+：+10+1,(1)求证：an=n+l.(2)(2).求乩的表达式.(3)若c”=-4.仇，试问数列g中，是否存在正整数使得对于任意的正整数八，都有c.4 c&成立？证明你的结论.(注：a=a,。2)与。=因，见表示意义相同)解 证：对称轴=一=2时(3)由(1)与(2)得以=-4也=,-2.n+l(9 Y-2而同当=耐当之2时设存在自然数左，使对eN,c.q恒成立当 =1 时，c2-c,=0=c2 Cj10一2当之 2 时,g+i-g=(高喘当 c,当 =8 时，cn+=以，当 8 时，cn+l cn所以存在正整数=9,使对