分数阶漂移-扩散模型解的Gevrey解析性和衰减率.pdf

宝鸡文理学院学报(自然科学版棭第43卷，第1期，第1-7,18页,023年3月Jo u r n a l o f Ba o ji Un iver sit y o f Ar t s a n d Sc ien c es(Na t u r a l Sc ien c e),Vo l：4 3,No：1,p p：1-7,18,Ma r：2023DOI：10.134 67/j.c n ki.jbu n s.2023.01.001分数阶漂移一扩散模型解的Gevrey解析性和衰减率罗永轲，赵继红灣（宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡721013）摘要摘要：目的目的研究一类分数阶漂移一扩散模型整体解的Ge vr ey解析性和衰减率，该模型是半导 体中经典模型Po isso n-Ne r n st-Pl a n c k方程组的推广模型，数学形式上表现为分数阶非线性抛物型和椭 圆型偏微分方程耦合而成的混合型方程组暎暎方法 方法 利用多线性奇异积分算子理论和Fo u r ier微局部分 析技术进行研究暎暎结果与结论 结果与结论 证明了分数阶漂移一扩散模型在临界Fo u r ier-Beso v空间中的整体解 是Gevr ey解析的，并得到了此整体解的衰减率暎 暎关键词关键词：分数阶漂移一扩散模型；整体解；Gevr ey解析性；衰减率中图分类号中图分类号：O175.28 文献标志码文献标志码:A 文章编号文章编号：1007-1261（2023）01-0001-07Gevrey analytic ity and dec ay rates of solutions forthe frac tional d rift-d iffusion modelLUO Yo n g-ke,ZHAO Ji-h o n g*(Sc h o o l o fMa t h ema t ic sa n d In fo r ma t io n Sc ien c e,Ba o jiUn iver sit yo fAr t sa n d Sc ien c es,Ba o ji721013,Sh a a n xi,Ch in a)Abstrac t:PurposesTo st u d y t h e Gevr ey a n a l yt ic it y a n d d ec a y r a t es o f g l o ba l so l u t io n s fo r a c l a ss o f fr a c t io n a l d r ift-d iffu sio n mo d el：Th e mo d el is a g en er a l iza t io n o f t h e c l a ssic a l Po isso n-Ner n st-Pl a n c k eq u a t io n set in semic o n d u c t o r d evic es,wh ic h ma t h ema t ic a l l y exh ibit s t h e mixed eq u a t io n syst em c o up l ed wit h fr a c t io n a l n o n l in ea r p a r a bo l ic a n d el l ip t ic p a r t ia l d iffer en t ia l eq u a t io n s：Method sTh e mu l t il in ea r sin g u l a r in t eg r a l t h eo r ie s a n d t h e Fo u r ie r mic r o l o c a l a n a l ysis a r e u sed t o p r o ve ma in r esu l t s：Results and Conc lusionsIt is p r o ved t h a t t h e g l o ba l-in-t ime so l u t io n s o f t h is mo d el a r e Gevr ey a n a l yt ic a l in c r it ic a l Fo u r ie r-Beso v sp a c es,wit h d ec a y r a t es o f t h ese g l o ba l so l u t io n s o bt a in ed：Key word s:fr a c t io n a l d r ift-d iffu sio n mo d el;g l o ba l so l u t io n s;Gevr ey a n a l yt ic it y;d ec a y r a t esMSC 2020：35A20；35Q81；35R11；78A35本文主要研究半导体理论中经典的漂移一扩 散模型的推广模型，分数阶漂移一扩散模型，其初 值问题形式如下：掛3+AF=V*（jVAPp），文暿 R，棳0,掜 3口+=V*（棬VAp），棳暿 R，棳0,（1）丨 丨iKC）=让（棬）,s（棬,0）=氓棬），暿R,其中，1 0：曑2,00曑/,曒2,=巳（棬,）和 3=3（,）是未知函数，s（）和g（）是给定 的初值函数，分数阶La p l a c e算子公=（）可 通过Fo u r ier变换定义如下：A%（）：=斊椲 斊（）（），其中，斊（棬）=u表示m的Fo u r ie r变换，斊】（）表 示“的Fo u r ier逆变换暎19世纪末，为刻画电解质中带电粒子的漂移 和扩散现象,Ne r n s t和Pl a n c k提出了经典的 Po isso n-Ner n st-Pl a n c k（PNP）方程组，其初值问 灣 收稿日期=2022-07-25,修回日期：2022-09-20：基金项目：国家自然科学基金项目（11961030）；陕西省自然科学基础研究计划一般项目-面上项目（2022JM-034）；陕西省教育厅 自然科学专项科研计划（21JK04 79）；宝鸡文理学院研究生科研创新项目（YJSCX22YB28）作者简介：罗永轲（1996-），男，甘肃武威人，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程.Ema il：yo n g kel u o l ma t h 163：c o m通讯作者：赵继红（1982-），男，甘肃天水人，教授，博士，硕士生导师，研究方向：偏微分方程.Ema il：jih zh a o 163：c o m2宝鸡文理学院学报(自然科学版)2023 年题如下：QN AN=V(NVQ,暿 R,0,灥P AP=V(V(p)，棳暿 R 棳0,掜 (2)Ap=P N，棳暿 R，棳0,、N(,0)=N(),P(,0)=暿 R,其中,N=N(,)和P=P(,)分别表示带负 电荷和正电荷粒子的密度函数，卩表示电子静电 势。易见经变换d:=NP,w：=N+P,即可由 方程(2)推得方程(1)(对应于a=2,0=2的情 形)。作为半导体理论的经典模型，方程组(2)的 研究成果已经有很多k archh证明了方程组(2)在临界Beso v空间瓦曓(R)掝 p d掫中 的局部适定性和小初值问题的整体适定性。随后,ZHAO et a l2椵利用Fo u r ier微局部分析将上述适 定性结果中力的范围优化为1 p 2JJDENG et a l3在低正则性临界Bes o v空间中给出了二维 PNP方程组适定性和不适定性的完整刻画，证明 了 PNP方程组(2)在临界Beso v空间瓦，2(R2)中 是适定的，而在临界Beso v空间B2(R2)(2 q曑曓)中是不适定的。相应的高维情形也有类似 的结果。相比于经典PNP方程组(2)的诸多研究，其 推广模型(1)的研究始于近十多年暎010年,BILER et a l5建立了单分支分数阶漂移一扩散 模型在临界Lebe sg u e空间L吕(R)(1 a 2)中 小初值问题的整体适定性，并且证明了当初值具 有大质量或者满足某种集中条件时，其对应的局 部解将在有限时间内发生爆破。进一步，BILER et a l6建立了方程组(1)在二维情形下，小初值 问题在临界Beso v空间暏打(斠斠2)(1 a 2,1曑 q曑曓)中的整体适定性WU et a l7证明了方程 组(1)在临界 Fo u r ier-Her z 空间斅 22(R)(1 a曑2)中的局部适定性和小初值问题的整体适定 性，并且证明了方程组(1)在临界Fo u r ie r-He r z空 间斅2(R)及临界Beso v空间暏爲(斠2)(2 q曑 曓)中的不适定性。对于分数阶漂移一扩散模型 的更多研究可见文献8 10。对于经典的PNP方程组(2),ZHAO11已经 证明了其整体解在临界Bes o v空间中的Gevr ey 解析性和衰减率，即当1 少24,1曑曑曓时,方程组(2)的整体解(N,P)满足：(e d Ne d p)暿斕8(0,曓;暏棲(R)暽1(0,o；B|r(R),d其中是象征为|E 11=暺丨E丨的Fo u r ier乘子。i=1由解的Ge vr ey解析性易得解关于时间的衰减率 II(AN(t),AP()暚,片曑Gt-2 I(N,P)I,片,其中，c。=I Ae人I。最近,cui et l2将上 述结果推广至分数阶PNP方程组(1),即当卩=2,1 a 1+min d楜,?；少 曓，1曑 于曑8时，方程组(1)在临界Fo u r ier-Beso v空间 FB,棲(R)中存在唯一的整体解(,3)满足：暿斕,曓椈暏棴呼(斠)暽 斕棻(0,8；FB,(R),并且得到了解关于时间的衰减率II(A%(),AwO)IfB曑 Cr II(s,s)Ifb”。基于文献口 1 12中的研究结果，本文将在 Fo u r ier-Beso v空间中进一步考虑方程组(1)(对 应于0曎2的情形)整体解的Gevr ey解析性和衰 减率。贯穿全文，用少表示P的共轭指标，即1+P1=1,用符号A 表示估计A曑CB,其中CP是与所研究问题无关的一致常数。1 预备知识预备知识先介绍R上的Lit t l ewo o d-Pa l ey 二进制分解 理论口3。用S(R)表示Sc h wa r t z速降函数空间,S(R)表示其拓扑对偶空间,即Sc h wa r t z缓增分 布函数空间。设光滑径向函数卩满足：0曑卩曑1,su p p p U C：=胃暿R 曑丨E旤曑3楜且 暺卩(2?)=1 VE暿 R O。暺令()=卩(2-j,()=斊(工)则对任意的 fR)定义二进制分解算子和Sj如下：4/():=2曇詁(2灼)(y)d y,SJO：=暺孑忑j1设S；(R)是由S(R)中满足l里S/=0的 分布函数构成的空间，则对任意的于暿S；(R)，有 所谓的齐次Lit t l ewo o d-Pa l ey分解:/=暺、f。暺需要指出的是，上述定义的齐次二进制算子第1期罗永轲等 分数阶漂移一扩散模型解的Gevr ey解析性和衰减率34和5满足如下的拟正交性质：汀曉 0,|i曒 2,(Sj_/Ajg)曉 0,|i|曒 5。进一步，利用Bo n y仿积分解椲，2个缓增分 布函数的乘积可在形式上进行如下分解：fg=Tfg+Tg _f+R(棬,g),其中，Tfg：=暺称为fg的仿积，TJ疋Z是其对称项，R(,g)：=暺厶払jg称为余项，其疋Z中：=厶1+$+Aj+i 暎其次,给出齐次Fo u r ier-Beso v空间与 Ch emin-Ler n er型混合时空空间的定义暎定义定义115 设s暿R,1曑少,少,曑曓，则可定 义齐次Fo u r ier-Beso v空间如下：F氏,”(斠)：=楙暿Sl/R)：|川码”0,任意实数对(a,)满足1曑b曑a曑曓，存在正常数C,使得如下不等式成立：su p p了 U 入斠炤 su p|曑t=kc 1 入屮(丄-1)|f|.,su p p U AC炤炤LL棴於 棴於|了 了 曑 su p|苛曑G+听听|孑|宀孑|宀|a|=ife引理引理2椲17椵设C是R中以原点为心的环，则 对任意的f e s(R)，任意1曑p曑曓，以及任意 实数对(,，)，)，存在非负实数匕和K,使得如下不等 式成立：su p p U 疋炤 疋炤|e-f Ike Ke此|们。引理引理318 设1曑力,，曑曓，若于若于eI?(R),g e L(Rd)，则 f 灣 g e D(R)，且满足|_f*g|沖曑|l f U g,其中，,，满足1+丄=丄+丄。q P t2 整体解的存在性及整体解的存在性及Gevrey解析性解析性本文的主要结果如下：定理定理1 设1a W2,2椉a+卩卩 3+min 誥，,楜，2 j p 0,有I斊椲以厂呼厶如I曓心燂I贏I,I斊椲1”“如 临心燂 1 e-21T(6)(7)&2 G-1 I Aj S I L。对(6)式两端同乘以2(2-l叶寻)(7)式两端 同乘以2棬-片寻棭，并取旍范数可得II eA厂a u0 I斕(f*广)燂 II H If暏丁,(8)II e A-“v0 I斕(眄严#棭燂可1P,1 e-2，TV暺梹21 梹棬棬-棲棭I贏I”)丁燂I S Il*：二时暎(9)结合上述估计(8)式和(9)式，即得(5)式成 立。引理4得证暎为处理方程组(4)右端的非线性项，引入如 下的双线性型：B(W,V)：=0椲人1吗椵皿V*J 0e1%(e-吗 W(s)e-対 VA-W(s)d s。引理引理5 在定理1的假设条件下，有I B(W,V)Ix”燂 I(W,V)I 2”。(10)引理引理5证明如下证明如下首先，对B(W,V)两端取Fo u r ier变换可得I 斊jBCW,)I=I 斊j eU1吗椵棭V*J 0e1 棬対 W(s)eW VAPV(s)d s I暎注意到(s/,sA,)(s-s)A*_e 1 1 e：()1/a+(s1/o+椲-s)1/A2aT2a*,并且由于e椲(s jg 和e椲(W-2旳均 是一致有界的Fo u r ier乘子，因此I 0,引入符号z,：=0 Lt,熱熱 K陶L,%,上述张量积表示等式右边第j个算子作用于函数 fh,，2,的第j个变量勺，从而由奇异积 分算子理论可知双线性算子斅(/,)可表示为 斅(/,)暺 0熱熱(乙,，化山虫)暎,暿1,1严3注意到E十耳暿Dv,暿D#和耳暿,从而第1期罗永轲等 分数阶漂移一扩散模型解的Gevr ey解析性和衰减率51旤十1 一定属于集合E：=l,e2棷+咄 1,e2棷 1,e-2棷 I 力 I),=1,2,-,0用斖表示L空间上所有Fo u r ier乘子所构 成的线性空间，其上范数定义为ir i 斖:=sUp 楙 I 斊(斊g)I”：V g 暿 S(R),Il g II=1。则易见淮“,。”,。”以及集合E中的元素都是 L#(R)(1少8)上的Fo u r ier乘子，因此上述 引入的算子 瓦和都是L”(R)上的有界线 性算子，且乙,“对应的算子范数关于时间t曒0 是一致有界的。从而对任意的1 8满足1+1=1+1有I#VAV I/燂 暺 2(-1-7XI 33 42(2+2可 得暺 I 斊令(乙S#1WZ 必”#VAPV)1=I J-J I 曑 4暺 I%斊Ezs*】w*I j T 曑4斊VA-W I”燂 暺 I 斊CZmS#IuXI j T 曑 4I 斊VA-PV I才燂 暺 暺2談I斊心XI 3j I 4 心2Ii 燂eT)2.j 丫 2(-1-?)f X曇 0 I/I1可得暺 I 斊乙,“4，W ZsSj，1 VAV)Ik=I J-J I 曑 4暺I%斊心厶，w*I ii I 曑 4斊Zs Sj，1 VAPV I/燂 暺 I 斊E 乙,“2，W I xI ii I 曑 4I 斊Zs Sj1 VAV Ir 燂 暺 暺2那I斊Z心人VAV I”XI ji I 4 kj2I瓦帀I”燂 暺2(2+XI j 4 2(-1+a)21-+#)X fe2|厶 VAV I2(-+)I 瓦丽 I。从而有燂暺2I IJ I 4(-2+)X暺 2(1+讥2(o+#”I VAV IXfeJ22 十IWIn d s。(14)对于余项【3,由Fo u r ie r变换易知张量运算熱熱K和二进制算子厶可以交换次序,并由乙,“，0熱熱K在L”(R棭上的有界性 可得13燂e-參肿2 丫 I斊氐熱熱 曇0 j曒j-2K/乙,4评 Zi,、VAPV)I”d s 燂e於阳2工；I斊X曇0 曒j2/WZ,”寛，VA-PV)Id s。下面分2种情形来估计暺 I 斊乙,g,gj，WZ,gj，VAV)Ik。曒j-2(1)当1 p 2时，由引理1和引理3以及 条件a+03+2可得P暺I斊乙VAV)I”=J2暺 I%斊Z,aw灣d曒 j-26宝鸡文理学院学报（自然科学版）2023 年VAV山燂暺 2|%斊椲必,厶讯椵*|寛，VAV|d s+e丄M曲2棬+T“XJ02(3+/)2(2-+#)x#曒暺2|”2(+#TI 寛,VAV|”d s。(15)结合上述估计(13)式一(15)式，有|斊UjB(W,V)燂j 电-丄虹$2 2j 2(1F)22+0)x丿0 旤暺曑4 f ej22(2-”|云帀|”2 棬+话X|寛-VAV|d s+e2m22 X J0(1+a)?1!2时，由条件a+B暺2|寛VAV|护燂2(_#)j 2(3+/)2(2叶#)xJ暺2|瓦帀|”2出TI 寛，VAV|”。从而有【3 燂e122(+万丫 2(3+2)X J 0 暺j-22(2时#)j，|7|l2(+#X工 2(-2+T 工 2|寛 VAV|2（2-+H 瓦可|d s+I g丄触22棬+#）j 2（3+J2）xJ 0 曒j-22（2iF）|瓦帀|2（+#X|寛VAV|d s+e-丄m*22棬+吟”XJ02（3+卄/皿）2（2-/+#）Xj j2|”2棬+磊|寛，VAV|d s（16）在（16）式两端关于时间t取L曓范数可得|斊UjB（W,V）|曓心燂2（2+棲-“|W|零（暏二呻2+”X|#VA-PV|：心）+2（-2+棲-X|VA-W|Fi丄珅2（2-+棭 X|丽 临心）+2棬+斡|W|码;-）X 暺 2（-3+2”2）+暺2 2棬+吟|可|上眄-厂吟）暺2（3+心X 曒-22棬+寻|寛，VAV 临心。（17）对（17）式两端同乘以2（2-匚叶磊），并取旍范 数可得|B（W,V）|斕曓眄丁*棲#）燂|W|斕。a；-厂廿#）|V|车（暏；棲#）+|W|匕（暏哪）|V|斕曓遇2v棲#）暎（18）再对（16）式两端关于时间t取L1范数可得|斊|中护）燂2（-2+|w）X2（1+?“|ZTV而临心）+2（-2+|VA-W T；呼）X2（2+棭j|篩临（”）+2（-+”|W|（暏厂）X暺 2（-3+皿2）2（+#|寛，VAV|1（”）+曒暺2（2（-卄心”|W|層（暏丁）X暺 2（3+出-”2（+T|寛，VA-PV|L；心）暎 j暺2 1（19）对（19）式两端同乘以2（2-叶#）并取广范数 可得|B（W,）11车眄呼棭燂第 期罗永轲等 分数阶漂移一扩散模型解的Gevr ey解析性和衰减率7I W Iy（F*；+）IV I|；SB2,7）+IWIg a2）I V Is曓（f*二0,方程组（1）的整体解（棬,3）关于时间满足 如下的衰减率I（1）Ijb i 曑Cr I（10,s）11*厂#,其中，常数C。：I Ae-勺I L1暎证明 证明 一方面，由文献9椵可知，对任意的 7曒0,1 0）是卷积算子 2、所对应的核函数。另一方面，由定理1可 知，当（s,g）暿FB2；,F（R）充分小时，方程 组（1）存在唯一的整体解（1,3）,且I（AF（S）,AT（）I酥严寻一 I（Ae”A1eMA5（t）,Ae吗 e 吗 s（S）I j*严莎曑 Ct I（e S（s）,s（S）If*-L吟曑 Cr I（sg）Ifb；厂1十#暎 定理2得证暎4总结总结本文利用多线性奇异积分算子理论和Fo u-r ie r微局部分析证明了分数阶漂移一扩散模型在 低正则性临界Fo u r ier-Beso v空间中整体解的 Ge vr e y解析性，并得到了解关于时间的衰减率暎 该结果不仅将ZHAO11和CUI et a l12的结果推 广至更一般的分数阶PNP方程组，还将解空间拓 展至范围更广的Fo u r ier-Beso v空间，并优化了文 献口2椵中的衰减率暎受所用方法的局限性，只得 到了次临界情形（1a曑2）的结果暎对于临界（ct=1）和超临界（0a 1）情形，方程组（1）整体 解的存在性，Ge vr e y解析性和衰减率都是进一步 值得考虑的问题。参考文献参考文献：椲椵 KARCH G：Sc a l in g in n o n l in ea r p a r a bo l ic eq u a t io n sJ：Jo u r n a l o f Ma t h ema t ic a l An a l ysis a n d Ap p l ic at io n s,1999,234(2):534-558：椲椵 ZHAO J H,LIU Q,CUI S B：Exist en c e o f so l ut io n s fo r t h e Debye-Hiic kel syst em wit h l o w r eg ul a r it y in it ia l d a t a J：Ac t a Ap p l ic a n d a e Ma t h ema t i-c a e,2013,125(1)：1-10：椲椵 DENG C,LI C M：En d p o in t bil in ea r est ima t es a n d a p p l ic a t io n s t o t h e t wo-d imen sio n a l Po isso n-Ner n st-Pl a n c k syst em J：No n l in ea r让y,2013,26(11)：2993-3009：IWABUCHI T,OGAWA T：Il l-p o sed n ess issu e fo r t h e d r ift-d iffu sio n syst em in t h e h o mo g en eo u s Beso v sp a c esJ：Osa ka Jo u r n a l o f Ma t h ema t ic s,2016,53(4)：919-939棶BILER P,KARCH G：Bl o w-u p o f so l u t io n s t o g ener a l ized Kel l er-Seg el mo d el J：Jo u r n a l o f Evo l u t io n Eq u a t io n s,2010,10(2)：24 7-262：BILER P,WU G：Two-d imen sio n a l c h emo t a xis mo del s wt h fr a c t io n a l d iffu sio n J：Ma t h ema t ic a l Met ho d s in t h e Ap p l ied Sc ien c es,2009,32(1):112-126：7 WU G,ZHENG X X：On t h e wel l-p o sed n ess fo r Kel l er-Seg el syst em wt h fr a c t io n a l d iffu sio n J：Ma t h ema t ic a l Met h o d s in t h e Ap p l ied Sc ien c es,2011,34(14)：1739-1750：ZHAI Z C：Gl o ba l wel l-p o sed n ess fo r n o n l o c a l fr a ct io n a l Kel l er-Seg el syst ems in c r it ic a l Beso v sp a c es：No n l in ea r An a l ysis Th eo r y,Met h o d s 敠 App l ic a t io n s,2010,72(6)：3173-3189：9 ZHAO J H：Wel l-p o sed n ess a n d Gevr ey a n a l yt ic it y o ft h e g en er a l ized Keler-Seg el syst em in c r it ic a l Beso vsp a c esJ：An n a l id iMa t ema t ic a Pu r a ed Ap-p l ic a t a,2018,197(2)：521-54 8：10 ZHAO J H：Gl o ba l exist en c e o f l a r g e so l u t io n s fo r t h e g en er a l ized Po isso n-Ner n st-Pl a n c k eq u a t io n s：Jo u r n a l o f Ma t h ema t ic a l An a l ysis a n d Ap p ii-c a t io n s,2021,98(1):124 94 3：11 ZHAO J H：Gever y r eg u l a r it y o f mil d so l u t io n s t o t h e p a r a bo l ic-el l ip t ic syst em o f d i-d ifu sio n t yp e in c r it ic a l Beso v sp a c esJ：Jo u r n a l o f Ma t h ema t ic a l An a l ysis a n d Ap p l ic a t io n s,2017,4 4 8(2)：1265-1280棶(下转第18页)18宝鸡文理学院学报（自然科学版）2023 年性定理11,这些结果都具有重要的研究意义。参考文献参考文献：CHIANG Y,CHADLI O,YAO J C.Exist en c e o f so l u t io n s t o imp l ic it vec t o r va r ia t io n a l in eq u a l it ies J.Jo u r n a l o f Op t imiza t io n Th eo r y a n d Ap p l ic at io n s,2003,16(2):251-264.CUBIOTTI P,YAO J C.Disc o n t in u o u s imp l ic it g en er a l ized q u a si-va r ia t io n a l in eq u a l it ies in Ba n a c h sp a c esJ.Jo u r n a l o f Gl o ba l Op t imiza t io n,2007,37(2)：263-274.LIN L J,CHEN H L.Th e st u d y o f KKM t h eo r ems wit h a p p l ic a t io n s t o vec t o r eq u il ibr iu m p r o bl ems wit h imp l ic it vec t o r va r ia t io n a l in eq u a l it ies p r o bl ems.Jo u r n a l o f Gl o ba l Op t imiza t io n,2005,32(1)：135-157棶PENG J W,LEE H,YANG X M.On t h e syst em o f g en er a l ized vec t o r q u a si-eq u il ibr iu m p r o bl ems wit h set-va l u ed ma p sJ.Jo u r n a l o f Gl o ba l Op t imiza t io n,2006,36(1)：139-158.ANSARI Q H.Exist en c e o f so l u t io n s o f syst ems o f g en er a l ized imp l ic it vec t o r q u a si-eq u il ibr iu m p r o b-l emsJ.Jo u r n a l o f Ma t h ema t ic a l An a l ysis a n d App l ic a t io n s,2008,34 1(2):1271-1283.AL-HOMIDAN S,ANSARI Q H,SCHAIBLE S.Exist en c e o f so l u t io n s o f syst ems o f g en er a l ized imp l ic it vec t o r va r ia t io n a l in eq u a l it ies J.Jo u r n a l o f Op t imiza t io n Th eo r y a n d Ap p l ic a t io n s,2007,134(3)：515-531棶冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷冷兰(上接第7页)2 CUI Y W,XIAO W L.Gevr ey r eg u l a r it y a n d t ime d ec a y o f t h e fr a c t io n a l Debye-Hiic kel syst em in Fo u r ier-Beso v sp a c es J.Bu l l et in o f t h e Ko r ea n Ma t h ema t ic a l So c iet y,2020,57(6)：1398-14 08.3BAHOURI H,CHEMIN J Y,DANCHIN R.Fo ur ier An a l ysis a n d No n l in ea r Pa r t ia l Difer en t ia l E-q u a t io n sM.Ber l in：Sp r in g er,2011.14 BONY J M.Ca l c u l symbo l iq u e et p r o p a g a t io n d es sin g u l a r it es p o u r l es eq u a t io n s Au x d er iv-es p a r-t iel l es n o n l in ea ir esJ.An n a l es Sc ien t ifiq u es De 棫 Ec o l e No r ma l e Su p er ieu r e,1981,14(2):209-24 6.5KONIECZNY P,YONEDA T.On d isp er sive effec t o f t h e Co r io l is fo r c e fo r t h e st a t io n a r y Na vier-St o kes eq u a t io n s.Jo u r n a l o f Difer en t ia l Eq u a-LIN K L,YANG D P,YAO J C.Gen er a l ized vect o r va r ia t io n a l in eq u a l it ies.Jo u r n a l o f Op t imizat io n Th eo r y a n d Ap p l ic a t io n s,1997,92(1)：117-125.8 ANSARI Q H,SCHAIBLE S,YAOJ C.Gen er a lized vec t o r q u a si-va r ia t io n a l in eq u a l it y p r o bl ems over p r o d u c t set s J.Jo u r n a l o f Gl o ba l Op t imiza-t io n,2005,32(4)：4 37-4 99.FARAJZADEH A P,AMINI-HARANDI A.Ong en er a l ized imp l ic it vec t o r va r ia t io n a l in eq u a l it y p r o bl emsJ.In d ia n Jo u r n a l o fPu r ea n d Ap p l ied Ma t h ema t ic s,2011,4 2(2)：127-14 0.0林志.广义集值隐向量变分不等式问题系统解的 存在性与稳定性系统科学与数学,2008,28(2)：136-143.1 LIN Z.Exist en c e o f so l u t io n s t o t h e syst em o f g en era l ized imp l ic it vec t o r q u a siva r ia t io n a l in eq u a l it y p r o bl emsJ.Jo u r n a l o f In eq u a l it ies a n d Ap p l ic a-t io n s,2009(1)：1-7.12 FU J Y.Gen er a l ized vec t o r q u a si-eq u il ibr iu m p r o b-l emJ.Ma t h ema t ic a l Met h o d so fOp er a t io n sRe-sea r c h,2000,52(1)：57-64.3 LIU J Q,WANG M Y,YUAN Y.Br o wd er t yp e fixed p o in t t h eo r emsa n d Na sh eq u il ibr ia in g en er-a l ized g a mesJ.Jo u r n a l o fFixed Po in t Th eo r y a n d Ap p l ic a t io n s,2020,22(3)：1623-1627.(编校：李哲峰)t io n s,2011,250(10)：3859-3873.16 ZHU W P,ZHAO J H.Th e o p t ima l t emp o r a l d-c a y est ima t esfo r t h e mic r o p o l a r fl u id syst em in n eg a t ive Fo u r ier-Beso v sp a c es J.Jo u r n a l o f Ma t h ema t ic a l An a l ysis a n d Ap p l ic a t io n s,2019,4 75(1)：154-172.17暋 WU G,YUAN J.Wel-p o sed n esso ft h eCa u c h y p r o bl emfo r t h efr a c t io n a l p o wer d issip a t iveeq u a-t io n in c r it ic a l Beso vsp a c esJ.Jo u r n a l o fMa t h e-ma t ic a l An a l ysisa n d Ap 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