考虑快慢车运营模式的地铁线路纵断面优化_齐嫣然.pdf

文章编号：1673-0291（2023）01-0009-08DOI：10.11860/j.issn.1673-0291.20220032第 47 卷 第 1 期2023 年 2 月Vol.47 No.1Feb.2023北京交通大学学报JOURNAL OF BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY考虑快慢车运营模式的地铁线路纵断面优化齐嫣然，柏赟，汪茜，樊葱，肖雅玲（北京交通大学 交通运输学院，北京 100044）摘要：针对地铁线路纵断面设计方案会同时影响建设期工程投资与运营期列车能耗问题，提出运营快慢车模式地铁线路的纵断面优化方法.首先，在已知线路车站水平位置与平面设计方案的情况下，考虑地铁设计规范、施工条件与列车运行等约束，构建以建设投资与列车能耗总成本之和最小为目标的纵断面优化模型，求解线路各中间站高程与变坡点位置.其次，设计基于间接实数编码的遗传算法和变邻域搜索算法的混合策略进行求解.最后，以国内某运营快慢车的地铁线路进行分析.结果表明：本文模型优化方案相较于实际纵断面设计方案可同时降低线路建设成本和列车能耗成本，总成本节约达 7.3%；当快慢车地铁线路的慢车开行数量较多时，采用高站位、陡坡的形式可大幅节约线路建设与列车能耗成本.关键词：城市轨道交通；快慢车；纵断面优化；建设成本；列车能耗中图分类号：U212.34 文献标志码：AVertical alignment optimization of subway lines considering the express/local operation modesQI Yanran,BAI Yun,WANG Qian,FAN Cong,XIAO Yaling（School of Traffic and Transportation,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China）Abstract:To address the problem that the design scheme of the vertical alignment for subway lines affects both the construction investment and the train energy consumption during the operation period,a vertical alignment optimization method for the subway line considering the express and local operations modes is proposed.Firstly,when station horizontal location and track alignment are known,this paper constructs a vertical alignment optimization model that aims to minimize the sum of construction costs and train energy consumption.The model considers constraints including the subway design specifications,construction conditions,and train operation constraints to optimize the elevation and variable slope point location of each intermediate station of the line.Secondly,a hybrid strategy based on indirect real number coding genetic algorithm and variable neighborhood search algorithm is designed for the solution.Finally,the analysis is performed using a subway line with express and local trains in China.The results show that the model optimization scheme in this paper can reduce both the line construction cost and the train energy consumption compared with the original vertical alignment design,收稿日期：2022-03-01；修回日期：2022-08-11基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金（2020JBM035）；国家自然科学基金（71571016）Foundation items:Fundamental Research Funds for the Central Universities（2020JBM035）；National Natural Science Foundation of China（71571016）第一作者：齐嫣然（1998），女，河北沧州人，硕士生.研究方向为纵断面优化.email：.通信作者：柏赟（1985），男，湖南祁阳人，教授，博士，博士生导师.email：.引用格式：齐嫣然，柏赟，汪茜，等.考虑快慢车运营模式的地铁线路纵断面优化 J.北京交通大学学报，2023，47（1）：9-16.QI Yanran，BAI Yun，WANG Qian，et al.Vertical alignment optimization of subway lines considering the express/local operation modes J.Journal of Beijing Jiaotong University，2023，47（1）：9-16.（in Chinese）北京交通大学学报第 47 卷with a total cost saving of 7.3%.When the number of slow trains on express/local subway lines is high,the use of high stations and steep slopes can significantly save the costs of line construction and train energy consumption.Keywords:urban rail transit；express/local trains；vertical alignment optimization；construction cost；train energy consumption近年来，随着地铁线网规模的不断增大，其建设投资费用与运营能耗也在不断攀升.以北京地铁为例，其每千米平均造价逾 7亿元，2019年全网的运营补贴近 60 亿元，约为 2016 年补贴额的 3 倍.地铁线路纵断面设计在减少工程费用以及列车能耗方面具有较高潜力.线路纵断面设计方案决定了不同路段的敷设方式，会影响土石方工程量及桥隧等工程建设费用1.此外，纵断面设计方案还会影响占地铁系统总能耗约 50%的列车牵引能耗.目前，关于轨道交通线路纵断面设计的研究多基于站站停运营模式.陈进杰等2以列车能耗和运行时分为优化目标，提出采用改进遗传算法的高速铁路区间节能坡设计方法.进一步，柏赟等3针对盾构法施工的地铁地下线路，以列车双方向运行能耗最小为目标构建纵断面优化模型，较为全面地考虑了地铁纵断面设计的相关约束.上述研究仅单一考虑了建设或运营成本，但是地铁线路纵断面设计方案会同时影响建设和运营两方面的成本.因此，Bababeik等4-5以最小化建设成本和运营成本之和为目标建立模型，并采用遗传算法求解铁路纵断面优化方案.随着乘客需求的多样化发展，不少地铁线路开始尝试快慢车运营模式.由于跨站停快车在部分车站不停车，传统的节能坡设计形式不再适用于快慢车线路6.因此，一些学者开始针对快慢车线路进行纵断面优化研究.曹金铭等7以列车能耗成本和运行时分为目标，提出了地铁快慢车线路节能坡优化模型.在此基础上，孙元广等8还考虑了风井成本对地铁快慢车线路纵断面设计的影响建立优化模型，但忽略了纵断面设计方案对敷设方式及施工造价的影响.综上所述，目前针对快慢车线路的纵断面设计优化模型对建设成本的刻画仍不够全面，未充分考虑纵断面设计方案对不同敷设方式线路施工、征地拆迁以及排水设施等成本的影响.为此，本文充分考虑线路的建设成本和列车能耗成本，以综合优化线路的车站高程与各区间变坡点位置，利用启发式算法求解地铁快慢车线路最优纵断面设计方案.1 地铁快慢车线路纵断面优化模型1.1 决策变量模型在已知首末车站高程、各车站水平位置和线路平面设计方案的情况下，综合考虑纵断面设计约束、实际施工条件约束和列车运行约束，求解地铁线 路 中 间 车 站 高 程Y(z)s与 各 区 间 的 变 坡 点 位 置(Xk，Yk，Y(z)s)，使得线路建设成本和列车能耗成本之和最小，如图 1所示.其中，s为线路中各个车站的编号，k表示各个区间内变坡点的序号.1.2 目标函数纵断面设计方案通过决定设计线起伏与线路敷设方式，影响线路的建设成本.当地铁线路采用地下线的敷设方式时，为满足通风需求每隔一定距离需设置风井，在风井面积固定的情况下其建设成本主要受设计线埋深的影响.为满足排水需求，在地铁线路“凹点”还需加设排水设施，纵断面设计线的起伏会影响排水沟的数量，从而影响排水沟的建设图 1地铁线路纵断面设计示意图Fig.1Schematic diagram of vertical alignment design for subway lines10齐嫣然等：考虑快慢车运营模式的地铁线路纵断面优化第 1 期成本.此外，不同敷设方式采用的施工方法不同，会影响桥梁、隧道和路基的线路施工成本、车站建设成本与征地拆迁成本等建设成本9.除建设成本外，纵断面设计方案还会影响运营期列车能耗成本.纵断面设计方案可通过改变坡段的坡度和坡长，影响坡道附加阻力大小，从而影响列车运行期间克服阻力所产生的牵引能耗10.因 此，模 型 的 目 标 函 数 包 括 建 设 成 本CB(X，Y，Y(z)与列车能耗成本CE(X，Y，Y(z)，为方便计算将建设成本与列车能耗成本之间的单位进行统一 9，表示为=i()1+in()1+in-1（1）min C(X，Y，Y(z)=CB(X，Y，Y(z)+CE(X，Y，Y(z)（2）式中：表示资本回收系数；i为年利率；n 为城市轨道交通经济寿命，a.1.2.1建设成本建设成本包括线路施工成本CL、车站建设成本CS、征地拆迁成本CG、风井建设成本CF和排水沟建设成本CP，计算式为CB(X，Y，Y(z)=CL+CS+CG+CF+CP（3）1）线路施工成本.线路施工成本包括桥梁建设工程费用C(b)L、隧道建设工程费用C(t)L、路基建设工程费用C(r)L，通过建设单价与不同敷设方式线路长度乘积计算.桥梁建设工程费用.当纵断面设计线高于地面线Hb时，需采用架桥的敷设方式，桥梁建设工程费用的计算式为C(b)L=iN1C(b)i l(b)i+CA（4）式中：C(b)i表示第 i座桥梁的单位建设成本，元/m；l(b)i表示第 i段桥梁长度，m；CA表示桥梁固定建设成本，元；N1表示线路中采用架桥方式施工路段的数量.在实际工程中，桥梁的单位建设成本会根据桥梁的高度增加而增大，计算式为C(b)i=(H(b)i-H(b)0)C(b)（5）式中：Hbi为第 i座桥梁的高度，m；Hb0为桥梁最小高度，m；Cb为桥梁最小单位建设成本，元/m；为成本变化系数.隧道建设工程费用.当纵断面设计线高程低于地面线Ht时，采用盾构法施工的隧道敷设方式，建设工程费用的计算方法为C(t)L=iN2C(t)l(t)i+CP（6）式中：C(t)表示隧道建设的单位成本，元/m；l(t)i表示第 i 段隧道的长度，m；CP表示隧道的固定建设成本，元；N2表示线路中采用隧道施工路段的数量.路基建设工程费用.采用填、挖方施工方式的路基部分成本计算式为C(r)L=iN3(C(f)l(f)i+C(d)l(d)i)S(r)i（7）式中：C(f)和C(d)分别表示路基填方和挖方的单价，元/m3；l(f)i和l(d)i分别表示第 i 段路基填方和挖方的长度，m；S(r)i表示第 i段路基的横截面积，m2；N3表示线路中采用路基施工路段的数量.2）车站建设成本.车站建设成本会受到采用的敷设方式和车站面积的影响，计算式为CS=sM1C(o)s S(o)s+sM2C(u)s S(u)s+sM3C(e)s S(e)s（8）式中：o、u、e 分别表示高架、地下和地面车站；C(o)s、C(u)s、C(e)s表示第 s个车站的高架、地下和地面单位造价，元/m2；S(o)s、S(u)s、S(e)s表示第 s个车站的高架、地下和地面面积，m2；M1、M2、M3表示不同敷设方式车站的个数.3）征地拆迁成本.不同地段，不同敷设方式的线路与车站征地拆迁面积与地价均不同，计算式为CG=iN1l(b)i wd cb+iN2l(t)i wd ct+iN3(l(f)i+l(d)i)wd cr（9）式中：wd表示设计线路的宽度，m；cb、ct、cr分别表示桥梁、隧道、路基征地拆迁单价，元/m2.4）风井建设成本.风井的埋深可根据地面线高程与轨道或车站埋深的差值计算，计算方法为CF=jNF(Y(f)j-Y(d)j)c(f)j Aj（10）式中：cf表示的风井的单位成本，元/m3；Y(f)j表示第 j个风井的高程，m；Y(d)j表示第 j 个风井处的地面线高程，m；Aj表示第 j个风井的面积，m2；NF表示线路与车站中设置的风井数量.5）排水沟建设成本.线路“凹点”数目会影响排水沟的数量，排水沟11北京交通大学学报第 47 卷的建设成本计算式为CP=cp Np（11）式中：cp表示的排水沟造价，元/个；Np表示线路中设置的排水沟个数.1.2.2列车能耗成本能耗成本为单位年限内线路上所有列车双方向运行的牵引能耗10，计算方法为CE(X，Y，Y(z)=dDnd Ed C0 365（12）式中：D 表示停站方案的个数；nd表示停站方案为 d的列车一天的开行数量，列；Ed表示停站方案为 d的列车在线路上双方向运行产生的能耗，kWh；C0为地铁电费单价，元/kWh.根据牵引力 F、运行阻力 W 以及制动力 B，t 时刻下列车合力 C的计算方法为C=F(vt)-B(vt)-W(vt)（13）根据列车合力可计算各步长的加速度与位移St，将各步长能耗Et进行累加即可得到列车在线路上运行产生的牵引能耗，计算式为Et+1=Et+F(vt)(St+1-St)（14）1.3 约束条件1.3.1纵断面设计约束1）车站区域坡道的坡度坡长约束.车站坡坡度值的绝对值i(s)与坡长l(s)应满足文献 11 中纵断面设计的要求，数学表达式为i(s)A（15）l(s)Ls（16）式中：A 为-0.3%，-0.2%，0%，0.2%，0.3%；Ls为车站站台长度，m.2）非车站区域坡道的坡度坡长约束.非车站区域内任意坡道的坡段长度lk应不小于远期地铁列车编组长度 LT，且坡度值ik应从最小坡度i(min)a与最大坡度i(max)a的范围内选取，可以表示为lk=Xk-Xk-1 LT（17）i(min)a|ik=Yk-Yk-1Xkk-Xk-1|i(max)a（18）3）最小夹直线长度约束.相邻竖曲线之间的最小夹直线应满足文献 11要求，可表示为Xk-Xk-1-T(k-1，k)-T(k，k+1)50（19）式中：T(k-1，k)表示第 k-1个坡段与 k个坡段之间的连接竖曲线切线长，m.1.3.2实际施工条件约束1）车站高程范围约束.中间车站高程会受到选址与平面设计方案的影响，应从最小高程Y(z_min)s与最大高程Y(z_max)s的范围内选取，可表示为Y(z_min)s Y(z)s Y(z_max)s（20）2）避让区约束.在地铁隧道施工时通常需避开地下桩基、管道或不良地质条件点，在模型中表示为纵断面设计线不可通过避让高程区域，可以表示为|Yskk-Ysk|（21）式中：Yk(sk)表示里程sk处的设计线高程，m；Ysk表示里程sk处的避让区域高程，m；表示设计线与避让区域控制点高程需间隔的距离，m.1.3.3列车运行约束1）限速约束.限 速v(l)st大 小 根 据 线 路 限 速 VL与 曲 线 限 速3.9Rt确定，可以表示为vt v(l)st-v t 0，T（22）v(l)st=min 3.9Rt，VL（23）式中：Rt表示 t时刻下列车所在平面曲线的半径，m；v表示安全冗余速度，km/h.2）列车停站约束.对于快慢车线路，快车在不停车站以车站 s 允许通过的速度vs跨站通过.快车与慢车均采用牵引-巡航-制动的运行模式5，如图 2 所示.对于快车，将其不停站车站合集设为S(a)，停站车站合集设为S(b)，快车在车站的速度v(a)s约束可表示为v(a)s=0，s S(b)（24）v(a)s=vs，s S(a)（25）站站停的慢车在各车站处的速度v(b)s均为 0，可以表示为v(b)s=0（26）图 2快慢车运行速度-位移曲线图Fig.2Express/local operating speed-displacement curves diagram12齐嫣然等：考虑快慢车运营模式的地铁线路纵断面优化第 1 期2 求解算法针对非线性约束条件众多、解空间大的纵断面优化模型，设计了一种双层启发式算法进行求解.上层采用变邻域搜索算法（Variable Neighborhood Search，VNS）12求解满足约束的车站高程方案，下层采用遗传算法（Genetic Algorithm，GA）优化各区间变坡点的位置.具体分为 7个步骤.步骤 1：设置最大迭代次数 G、各邻域最大搜索次数 Kmax，精英解集合的大小 b，领域变化范围为高程增加Z或减小Z.步骤 2：随机生成初始解加入精英解集.步骤 3：设置各邻域搜索次数 si=0，在精英解集中随机选取一个解 x 作为变初始解 x0，采用轮盘法选择一种邻域类型.步骤 4：在此邻域内对初始解进行搜索，比较得到的新解x与原解 x0，若优于原解则 x0=x且搜索次数 si+.步骤 5：更新精英解集，若x为精英解集中的最差解，则将x替换最差解.步骤 6：判断 siKmax，若是则转至步骤 4；否则，转至步骤 3.步骤 7：更新迭代次数，若达到最大迭代次数算法终值，输出精英解集中的最优解作为最终解，否则转到步骤 3.其中，在步骤 4中判断解是否改进时，需代入下层遗传算法求解当前车站高程下的最优变坡点位置.算子交叉时选择长度相同的染色体进行两点交叉；算子变异采用随机变异方式；算子的选择结合Metropolis 准则以一定的概率接受差解，避免过早收敛于某一局部区域13.为了保证所得解为可行解，本文遗传算法采用间接实数编码方式，如图 3所示.染色体分为 3个部分，均采用两位 09之间的组合实数表示.第 1部分为中间车站高程编码，用于确定中间车站高程在满足约束条件式（20）可行高程范围内的位置；第 2部分为变坡点数量编码，用于确定优化区间内变坡点数量；第 3部分为变坡点位置编码，来确定各变坡点的在满足约束条件范围内横纵坐标的具体值.在翻译染色体时，需要先结合变坡点 k-1的横纵坐标以及约束条件，确定变坡点 k的横纵坐标取值范围，结合实数编码生成的染色体对应基因位的两位数字，确定在满足约束条件范围内下一变坡点的位置，从而确保每一个变坡点与车站的位置均满足约束条件.例如，图 3中染色体前两位“81”代表在第一个中间车站高程为可选范围内“0.81”位置的数值.3 案例分析案例选取某实际地铁快慢车线路一个快车区段作为研究对象，快车仅在首末站停车，慢车在各站均停车.采用 6B型列车8，质量为 299 t.模型相关参数的取值如表 1 和表 2 所示.双层启发式算法中最大迭代次数 G为 100，各邻域最大搜索次数 Kmax与精英解集合的大小 b 均取 10，领域概率更新临界迭代次数 a设置为 5，邻域变化范围Z为 1 m.3.1 模型有效性验证为验证模型的有效性，将快慢车线路原始纵断面方案与本文模型优化得到的纵断面方案进行对比.快车与慢车的开行比例为 1 1.线路共设置 16个风井，地下车站 A、B、C 和 D 站各设置 3 个风井，地下区段设置 4 个风井.原始纵断面方案和本文模型得到的纵断面设计方案下列车运行时分与各项成本分别如表 3 和表 4 所示.原始纵断面设计方案与优化后纵断面设计方案对比如图 4所示.由表 3 可知，纵断面设计方案对列车运行时分的影响极小，可以忽略不计.相比原始纵断面设计方案，优化纵断面设计方案总成本节约了 7.3%.与原始纵断面方案相比，优化纵断面方案 B 站和 C 站车站高程增加.这是由于将车站设置在纵断面凸形部位，更有利于设置“高站位，低区间”的节能坡形式，同时还会减小设置在车站位置处的风井埋深，从而节约风井建设成本.优化后的纵断面在避开避让区域的情况下均采用下坡-上坡的节能 V 型坡形式，相较原始纵断面采用下坡-缓上坡-缓下坡-上坡W 型坡形式，减少了线路凹点数量，从而节约排水沟建设成本.在敷设方式发生改变的 DE 区间，增加了路基的长度，从而减小线路施工成本.这是由于相较图 3启发式算法间接实数编码示意图Fig.3Indirect real number coding of heuristic algorithm13北京交通大学学报第 47 卷A-D 区段，D-E 区间处于征地拆迁成本较小的郊区，增加施工成本较小的路基敷设方式的长度可以有效节约线路的施工成本.3.2 灵敏度分析为比较不同比例的快、慢车对纵断面设计的影响，选取 B-D 两个连续区间进行纵断面优化.不同快慢车开行比例下的优化结果对比如图 5 所示.模型求出的优化纵断面较原始纵断面各项成本均有所节约.其中，慢车能耗的平均优化率为 9.1%，快车能耗的平均优化率为 6.7%，建设成本的平均优化率为3.4%且随着慢车开行次数的增加，慢车能耗在目标函数中占比增大，其节能率也逐渐增大.由图 5 可知，快慢车开行比例对于坡型的影响较小，优化后各区间的坡道均为节能 V 型坡形式.随着慢车开行次数的增加和快车开行次数的减小，线路的最大埋深逐渐增大，中间车站高程值逐渐增大.这是由于随着慢车的能耗成本在总成本所占比例的增大，纵断面设计方案将倾向于通过设置更长或更陡的加速坡，以帮助慢车起车加速至最高速度，从而节约慢车的牵引能耗.但此设计方式会增表 2征地拆迁成本参数Tab.2 Parameters of land acquisition and demolition cost里程范围/m07 5007 50011 26011 26017 560地下线路权成本单价ct/(元/m2)2 0001 5001 500地面线路权成本单价cr/(元/m2)15 50013 0007 000高架线路权成本单价cb/(元/m2)12 00010 0005 000表 1纵断面设计优化模型相关参数Tab.1 Parameters for optimized vertical alignment design参数名称非车站坡最大坡度i(max)a/%非车站坡最小坡度i(min)a/%非车站坡最小坡长 LT/m与避让区控制点高程间隔距离/m中间车站通过限速vs/(km/h)竖曲线半径 R/m安全冗余速度v/(km/h)隧道与地面最小高程差Ht/m桥梁固定建设成本CA/元隧道固定建设成本CP/元隧道建设单价C(t)/(元/m)车站面积Ss/m2高架站单位土建工程费用C(o)s/(元/m2)地下站单位土建工程费用C(u)s/(元/m2)地面站单位土建工程费用C(e)s/(元/m2)参数值30.31203803 0005328 000900 00080 0001 2004 00010 0002 000参数名称资本回收系数地面线填方单价C(f)/(元/m3)地面线挖方单价C(d)/(元/m3)桥梁最小单价Cb/(元/m)最小桥高Hb0/m桥梁单价变化系数 桥梁与地面最小高程差Hb/m（9 m埋深）风井单位成本/(元/m3)（9 m埋深15 m）风井单位成本/(元/m3)（15 m埋深21 m）风井单位成本/(元/m3)（21 m埋深27 m）风井单位成本/(元/m3)线路宽度wd/m风井数量NF/个地铁电费单价C0/(元/kWh)排水沟单位建设成本cp/(万元/个)参数值0.021354042 000101.2511 00022 00033 00044 00018160.71200表 3不同纵断面设计方案下列车运行时分Tab.3 Operating scheme of subway line under different vertical alignment列车类别慢车快车原始纵断面方案/s672581优化纵断面方案/s670581变化率/%-0.290表 4不同纵断面设计方案下线路综合成本Tab.4 Comprehensive cost of subway line under different vertical alignment综合参数土石方桥梁隧道征地车站风井排水沟慢车快车总成本原始纵断面方案/万元0.1186.12 486.695.7287.41 232.344.11 383.41 078.76 794.3优化纵断面方案/万元0.2140.32 389.2184.1287.41 171.325.21 205.2894.86 297.6优化率/%-24.63.9-5.042.912.917.07.314齐嫣然等：考虑快慢车运营模式的地铁线路纵断面优化第 1 期大线路的埋深，导致风井的埋深与建设成本增加.因此为减小线路建设成本，需增大中间车站的高程值.4 结论1）针对地铁快慢车线路提出一种兼顾线路工程建设和列车能耗成本的纵断面优化模型，考虑了纵断面设计约束、实际施工条件约束与列车运行约束，优化线路车站高程和变坡点位置.并设计一种基于间接编码方式的双层启发式算法进行求解.2）案例分析结果表明，相较原始纵断面设计方案，本文模型优化得到的纵断设计方案在满足相关设计约束的条件下，总成本节约率可达 7.3%，具有良好的节约成本效果.3）通过对比不同快慢车开行比例下的纵断面设计方案，发现随着慢车开行次数的增大，区间宜设计更陡的坡道，增加中间车站高程值，以帮助站站停慢车的出站加速与进站减速.参考文献（References）：1 詹振炎.梯度投影法及其在铁路纵断面设计中的应用 J.长沙铁道学院学报，1979（4）：8388.ZHAN Zhenyan.Gradient projection method and its application in the design of railway trajectory optimization J.Journal of Changsha Railway University，1979（4）：8388.（in Chinese）2 陈 进 杰，吕 希 奎.高 速 铁 路 区 间 节 能 坡 设 计 方 法 研究 J.铁道学报，2013，35（12）：8389.CHEN Jinjie，LYU Xikui.Research on method of energy saving gradient design for high-speed railway sections J.Journal of the China Railway Society，2013，35（12）：8389.（in Chinese）3 柏赟，白骁，孙元广，等.地铁线路区间纵断面节能设计优化模型 J.铁道学报，2020，42（9）：1016.BAI Yun，BAI Xiao，SUN Yuanguang，et al.Optimization model on vertical alignment of metro sections for traction energy saving J.Journal of the China Railway Society，2020，42（9）：1016.（in Chinese）4 BABABEIK M，MONAJJEM M S.Optimizing longitudinal alignment in railway with regard to construction and operating costsJ.Journal of Transportation Engineering，2012，138（11）：13881395.5 KIM M E，MARKOVI N，KIM E.A vertical railroad alignment design with construction and operating costs J.Journal of Transportation Engineering，Part A：Systems，2019，145（10）：18.6 郑翔，侯依梦，董欣垒，等.市域轨道快慢车组合运营线路节能坡方案优化探讨 J.都市快轨交通，2020，33（3）：5462.图 4原始与优化纵断面方案对比图Fig.4Comparison on the original and optimized vertical alignment图 5不同快慢车开行比例下优化结果对比Fig.5Optimization results under different proportions of express/local train15北京交通大学学报第 47 卷ZHENG Xiang，HOU Yimeng，DONG Xinlei，et al.Optimization of energy efficient vertical alignment design based on multiple trains in regional express railJ.Urban Rapid Rail Transit，2020，33（3）：5462.（in Chinese）7 曹金铭，李得伟，董欣垒，等.快慢车组合运行条件下市域快线节能坡优化模型与算法研究 J.铁道科学与工程学报，2020，17（3）：756764.CAO Jinming，LI Dewei，DONG Xinlei，et al.Research on energy saving slope optimization model and algorithm of intercity railway under multiple-train line J.Journal of Railway Science and Engineering，2020，17（3）：756764.（in Chinese）8 孙元广，汪茜，彭磊，等.考虑快慢车模式的地铁地下线 纵 断 面 优 化 研 究J.交 通 运 输 系 统 工 程 与 信 息，2020，20（4）：187193.SUN Yuanguang，WANG Qian，PENG Lei，et al.Optimization on track vertical alignment of subway lines considering express/local trainsJ.Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology，2020，20（4）：187193.（in Chinese）9 LI W，PU H，SCHONFELD P，et al.Methodology for optimizing constrained 3-dimensional railway alignments in mountainous terrainJ.Transportation Research Part C：Emerging Technologies，2016，68：549565.10 HOANG H，POLIS M，HAURIE A.Reducing energy consumption through trajectory optimization for a metro network J.IEEE Transactions on Automatic 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