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第 61 卷 第 3 期Vol.61 No.32023 年 3 月March 2023农业装备与车辆工程AGRICULTURAL EQUIPMENT&VEHICLE ENGINEERING0 引言蜂窝结构作为一种新型仿生结构，具有强度高、质量轻、比强度和比刚度大等特点，广泛应用于航天、生物医学、建筑等领域。常见的蜂窝结构有六边形、菱形、四边形和菱形等常规结构1-3。随着微纳米加工4和增材制造（AM）技术5的发展，材料设计的空间得到了极大的拓展。早期学者研究的蜂窝结构多为正泊松比，随着加工技术的发展和研究的不断深入，各种负泊松比材料结构不断涌现。早在 1944 年 Love 就发现了负泊松比特性的材料6，直到 1987 年 Lakes 首次报道了一种制备负泊松比的有效方法。此后负泊松比材料和结构引起了学者们的广泛关注和研究7。随着研究成果的发展，这种人造材料已被证明具有优良的抗冲击、抗断裂、抗剪切和耗能性能8，在医疗器械、缓冲吸能和人工智能领域，如食道支架9、螺钉10、缓冲垫11、智能传感器12等方面，具有巨大的潜力。过去几十年已经设计了多种负泊松比多胞结构，并对其力学性能进行了一些研究。这些设计多为周期性结构，相对孔隙分布均匀。从微观结构上看，单胞可能是优化后的设计，但是从宏观孔洞分布看就是未优化的均匀分布结构。而且当孔洞越小、孔隙率越大时，蜂窝的内部结构就越复杂，使用有限分析时计算工作量越大，消耗时越长。为了有效分析蜂窝结构的力学性能13和后续的宏观分布的拓扑优化，很多学者将非均匀的材料视为宏观等效连续的材料，通过解析或者数值等方法得到均匀化方案，使非均匀的材料均匀化14。Gibson 等15的研究方法一般用于结构比较简单的单胞结构，对于较为复杂的负泊松比单胞结构使用 Gibson 的方法计算等效弹性性能会存在较大误差，所以需要对该方法进行修正。本文主要研究二维负泊松比蜂窝结构的选型和多胞结构孔隙率与等效弹性性能之间的关系，并推出弹性性能预测公式。doi:10.3969/j.issn.1673-3142.2023.03.023负泊松比蜂窝结构的选型和等效弹性性能分析陆莎莎（200093 上海市 上海理工大学 机械工程学院）摘要 对负泊松比多胞蜂窝结构性能进行分析，得到更加准确的等效弹性性能预测公式。使用 ANSYS 软件对 4 种负泊松比蜂窝结构进行压缩模拟实验和三点弯曲模拟实验，选取出等效弹性性能最佳的蜂窝结构为椭圆型蜂窝结构。用有限元分析和孔隙率修正 2 种方法，分别求得椭圆蜂窝结构的等效弹性模量、等效泊松比、等效剪切模量在孔隙率为0.10.7的曲线变化，得出有限元拟合的等效性能误差较小，使用有限元拟合公式预测等效弹性性能结果较为准确。关键词 蜂窝结构；等效弹性性能；负泊松比；孔隙率 中图分类号 TB333 文献标志码 A 文章编号 1673-3142(2023)03-0110-05引用格式：陆莎莎.负泊松比蜂窝结构的选型和等效弹性性能分析 J.农业装备与车辆工程,2022,61(3):110-114.Selection and equivalent elastic performance analysis of negative Poissons ratio honeycomb structuresLU Shasha(School of Mechanical Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)Abstract By analyzing the performance of the cellular honeycomb structure,a more accurate prediction formula of equivalent elastic performance is obtained.Using ANSYS software to conduct compression simulation experiments and three-point bending simulation experiments on four kinds of negative Poissons ratio honeycomb structures,the honeycomb structure with the best equivalent elastic performance is selected as the elliptical honeycomb structure.The equivalent elastic modulus of the elliptical honeycomb structure,the equivalent Poissons ratio and the equivalent shear modulus curve changes within the porosity(0.10.7)are obtained by finite element analysis and porosity correction.It is concluded that the error of the equivalent performance of the finite element fitting is small,and the prediction of the equivalent elastic performance using the finite element fitting formula is more accurate.Key words honeycomb structure;equivalent elastic properties;negative Poissons ratio;porosity收稿日期：2022-02-09111第 61 卷第 3 期1 负泊松比蜂窝结构的建模和选型1.1 负泊松比蜂窝结构的建模本文选用 4 种负泊松比蜂窝结构，为了分析研究方便，其单胞尺寸均设计为 a=3 mm。二维正方形如图 1 所示。通过对孔洞的大小的调节来控制蜂窝结构孔隙率 x=50%，即孔的体积与无孔实体体积之比为 0.5。使用 SolidWorks 将 4 种单胞结构在设计区域内均匀排布，建成长 L=60 mm，宽 D=30 mm，高 H=10 mm 的蜂窝结构。1.2 负泊松比蜂窝结构的选型1.2.1 压缩实验模拟分析本文利用有限元静态分析方法对蜂窝结构进行选择12。将孔隙率 x=50%的 4 种负泊松比蜂窝结构按照压缩实验的边界条件使用 ANSYS 进行有限元分析，受力情况如图 2 所示。下端面固定，顶部承受均布压力 F=100 N。实体部分材料为 TC4合金，密度=4.5 g/cm3，弹性模量 E=110 GPa，泊松比 v=0.34。4 种蜂窝结构模型和压缩实验模拟仿真结果如图 3 所示。表 1 是蜂窝结构受压分析的最大位移以及受压平面的平均位移。从表1可以看出，旋转结构受压分析的变形位移最大，是变形位移最小的椭圆结构的 10 倍，说明负泊松比的单胞类型对蜂窝结构的性能影响较大；椭圆结构的变形位移最小，说明椭圆蜂窝结构的抗压性能最优秀。图 2 压缩实验受力的二维设计Fig.2 Two-dimensional design of force in compression experimentFxy（d）图 3 蜂窝结构压缩仿真结果Fig.3 Compression simulation results of honeycomb structure（a）内凹型蜂窝 （b）凹凸型蜂窝（c）椭圆型蜂窝 （d）旋转型蜂窝（a）（a）（a）（a）（b）（c）（d）图 1 4 种负泊松比单胞结构Fig.1 Four kinds of negative Poissons ratio unit cell structures（a）凹凸型 （b）内凹型 （c）旋转型（d）椭圆型a陆莎莎：负泊松比蜂窝结构的选型和等效弹性性能分析112农业装备与车辆工程 2023 年表 1 4 种蜂窝结构压缩最大位移对比Tab.1 Comparison of the maximum compression displacement of four honeycomb structures蜂窝结构类型最大位移/mm平均位移/mm内凹型蜂窝6.224e-42.883e-4凹凸型蜂窝8.311e-43.991e-4椭圆型蜂窝6.104e-42.887e-4旋转型蜂窝6.207e-32.965e-31.2.2 三点弯曲实验模拟分析图 3 所示是三点弯曲受力的二维示意图。将负泊松比蜂窝结构按照图示边界条件和受力情况在ANSYS 软件中进行有限元分析。对蜂窝结构下端两点进行固定，上端中部承受 F=100 N 的集中力。材料选择和压缩实验相同。表 2 展示的是 4 种负泊松比蜂窝结构三点弯曲实验时最大位移以及平均位移，图 4 是三点弯曲实验的有限元分析结果。结合表 2 与图 4 可以看出，旋转结构在三点弯曲实验中变形位移最大，抗弯性能最差。内凹结构和凹凸结构的最大变形位移相差不大。椭圆单胞蜂窝结构的变形位移最小，抗弯性能最好。旋转结构的最大变形位移与椭圆结构的最大位移相差将近 10 倍，单胞结构类型对蜂窝结构的性能影响较大，所以选择合适的单胞类型是非常必要的。表 2 4 种蜂窝结构三点弯曲实验最大位移对比Tab.2 Comparison of maximum displacements in three-point bending experiments for four honeycomb structures蜂窝结构类型最大位移/mm平均位移/mm内凹型蜂窝7.489e-33.01e-3凹凸型蜂窝4.020 2e-31.399 5e-3椭圆型蜂窝2.073 2e-37.416 5e-4旋转型蜂窝1.659 1e-26.207 1e-3通过压缩仿真实验和三点弯曲仿真实验分析，对 4 种蜂窝结构的性能进行对比，发现椭圆单胞蜂窝结构在受压和弯曲情况下性能最优。因此选取椭圆蜂窝结构对其进行等效弹性性能计算，得到等效性能预测公式。2 椭圆型蜂窝等效弹性性能分析与预测利用等效连续介质方法分析多胞结构的力学性能的研究有很多，Hohe13的综述对等效方法做了很好的总结。其中 Gibson 方法适用于简单的二维蜂窝结构，所以需要对椭圆复杂的蜂窝进行结构简化。从整体蜂窝可以看出，椭圆是以横纵交叉周图 3 三点弯曲受力的二维设计Fig.3 Two-dimensional design of force in three-point bending experimentFxy（d）图 4 蜂窝结构三点弯曲仿真结果Fig.4 Three-point bending simulation results of honeycomb structure（a）内凹型蜂窝 （b）凹凸型蜂窝（c）椭圆型蜂窝 （d）旋转型蜂窝（a）（b）（c）113第 61 卷第 3 期期排布，可以将横纵两个椭圆当成一个单胞，将椭圆结构简化为一个长方体。椭圆长半轴与短半轴之比为 1.6，其中短半轴为 t，负泊松比正方形椭圆单胞的长为 a。因为椭圆单胞结构是简化的，等效性能误差较大，所以本文使用孔隙率修正方程对等效性能经行修正。简化后的椭圆蜂窝结构的等效弹性性能结合 Gibson 公式的孔隙率修正公式为.xatEEEExEGxvvvvxx6 40 6720 77214 422 5sxsysxysxsy22=-+=-+=-+-*(1)式中：x孔隙率；Es、vs原材料的弹性模量和泊松比；E*、G*、v*等效弹性模量、等效剪切模量和等效泊松比。仅使用孔隙率修正公式对等效弹性性能进行计算，由于单胞结构为简化模型，可能仍然存在较大误差，所以本文对不同孔隙率的蜂窝结构进行有限元分析，通过有限元结构对这个误差进行修正，获得孔隙率与等效弹性性能之间的曲线关系。进行等效性能模拟分析的模型如图 3（c）所示，有限元分析的受力与边界条件如图 5 所示。由于几何尺寸的约束，有限元分析模型孔隙率范围 0.10.7，梯度为 0.1。如图 5（a）蜂窝结构下端和左侧 x 方向固定，上端受 100 N 的力，有限元分析出 x 方向的位移和 y 方向的位移，可以得到 x 方向、y 方向的应变应力。可以计算出模型有限元分析的等效泊松比 vyx=*和等效弹性模量 Eyy=*。图 5（b）是剪切模型的仿真分析，下端固定，上端 x 方向受100 N 的力，有限元分析出 x 方向的位移，得到椭圆蜂窝结构的剪切应变和应力。根据以上的结果可以计算出等效剪切模量G=*。针对负泊松比蜂窝结构对象，使用孔隙率修正公式以及基于几何约束孔隙率范围（0.10.7）进行有限元模拟分析 2 种方式，分别求得等效弹性模量、等效泊松比、等效剪切模量与孔隙率变化的关系曲线，分别如图 6图 8 所示。（a）（b）图 5 椭圆蜂窝结构等效弹性性能有限元分析Fig.5 Finite element analysis of equivalent elastic performance of elliptical honeycomb structure（a）泊松比与弹性模型 （b）剪切模量FFxxyy图 6 等效弹性模量曲线Fig.6 Equivalent elastic modulus curve0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7胞元相对孔隙率等效弹性模量/GPa1101009080706050403020100有限元分析结果有限元拟合结果孔隙率修正结果图 7 等效泊松比曲线Fig.7 Equivalent Poissons ratio curve0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7胞元相对孔隙率等效泊松比-0.35-0.40-0.45-0.50-0.55-0.60-0.65-0.70有限元分析结果有限元拟合结果孔隙率修正结果图 8 等效剪切模量曲线Fig.8 Equivalent shear modulus curve0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7胞元相对孔隙率等效剪切模量/GPa2.01.51.00.50有限元分析结果有限元拟合结果孔隙率修正结果陆莎莎：负泊松比蜂窝结构的选型和等效弹性性能分析114农业装备与车辆工程 2023 年从图 6 可以看出，随着孔隙率的增加弹性模量减少，孔隙率修正结果和有限元拟合结果都存在误差，孔隙率修正结果的误差大于有限元拟合结果的误差，且几何约束的孔隙率范围 0.10.7 不可忽略。孔隙率修正曲线和有限元结果拟合是使用MATLAB软件中的拟合工具 Curve Fitting Tool，对有限元分析结果进行曲线拟合，拟合后效果良好，得到的拟合公式为E*=220 x2-340 x+140 (2)从图 7 看出，椭圆蜂窝结构的泊松比都为负，随着孔隙率的增加蜂窝结构泊松比增大，孔隙率修正和有限元拟合的泊松比变化趋势相同，且都存在误差，孔隙率修正结果的误差大于有限元拟合结果的误差，有限元拟合的变化趋势更趋向于现实，且几何约束的孔隙率范围 0.10.7 不可忽略。孔隙率修正曲线和有限元结果拟合是使用 MATLAB 中的拟合工具 Curve Fitting Tool，对有限元分析结果进行曲线拟合，拟合后效果良好，得到的拟合公式为v*=2.6x3-4.4x2+3x-0.97 (3)从图 8 看出，随着孔隙率的增加，椭圆蜂窝结构的剪切模量减少，孔隙率修正和有限元拟合的泊松比变化趋势在孔隙率小于 0.7 时相同，且都存在误差。孔隙率修正结果的误差大于有限元拟合结果的误差，可能是因为横纵交错的椭圆结构过于复杂，本文的孔隙率修正公式是通过单元胞体简化结构计算出的，所以存在的误差相对较大。几何约束的孔隙率范围 0.10.7 不可忽略。孔隙率修正曲线和有限元结果拟合是使用 MABLAT 软件中的拟合工具 Curve Fitting Tool，对有限元分析结果进行曲线拟合，拟合后效果良好，得到的拟合公式为G*=18x3-20 x2+2.3x+2.1 (4)3 结论单胞类型对蜂窝结构的抗压性能和抗弯性能影响较大，其中椭圆蜂窝结构的抗压和抗弯性能最佳，旋转型蜂窝结构的抗压和抗弯性能最差。椭圆型蜂窝结构的性能最佳。有限元分析时，几何约束孔隙率的范围为0.10.7 是必要的，随着孔隙率的增加，椭圆型蜂窝结构的弹性模型和剪切模型均减小，泊松比增加。孔隙率对弹性性能影响较大。有限元分析拟合的等效弹性性能结果相对于孔隙率修正的等效弹性性能的结果误差较小。有限元曲线拟合的效果较好，得到的拟合公式可用于负泊松比椭圆蜂窝结构等效弹性性能的预测。参考文献1 刘培生.多孔材料引论 M.2 版.北京:清华大学出版社,20122 李天齐.蒙皮蜂窝芯板结构的稳定性分析与优化设计D.合肥:中国科学技术大学,2015.3 李响,李锐,徐兴兴,等.新型变截面波纹夹层结构抗爆炸冲击性能 J.机械,2020,47(10):6-15.4 XING W,LI Z,YANG H,et al.Anti-icing aluminum alloy surface with multi-level micro-nano textures constructed by picosecond laserJ.Materials&design,2019,183:108156.5 LIU F,RAN Q,ZHAO M,et al.Additively manufactured continuous cell-size gradient porous scaffolds:pore characteristics,mechanical properties and biological responses in vitroJ.Materials,2020,13(11):2589.6 LOVE A E H.A treatise on the mathematical theory of elasticityM.New York:Dover Publications,1994.7 LAKES R.Foam structures with a negative Poisson s ratioJ.Science,1987,235(4792):1038-1040.8 ZHANG Y,REN X,ZHANG X Y,et al.A novel buckling-restrained brace 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