Clifford分析中一类...正则核的奇异积分算子的性质_黄丽坤.pdf

高校应用数学学报2023,38(1):99-110Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子的性质黄丽坤,盛晓娟,杨贺菊(河北科技大学 理学院,河北石家庄 050018)摘要:首先定义了Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子,然后讨论了这个算子的一致有界性,给出了几个重要的不等式,并用这些不等式证明了这个算子的H older连续性,最后证明了这个算子的次可积性.这些结论为研究相关偏微分方程的边值问题奠定了基础.关键词:加权k-正则核;奇异积分算子;有界性;H older连续性;次可积性中图分类号:O174.2;O174.5文献标识码:A文章编号:1000-4424(2023)01-0099-121引言W.K.Clifford1于十九世纪末创立了Clifford代数.它是一类可结合而不可交换的代数系统.20世纪初,通过对Laplace算子线性化的研究,R.Fueter2提出了Clifford分析.Clifford分析已经成为现代数学和物理学的核心工具之一,具有十分重要的理论价值和应用价值.自二十世纪六十年代以来,众多研究学者对Clifford分析进行了系统地研究,得到了丰硕的成果.1982年,以Dirac算子为基础,F.Brackx,R.Delanghe,F.Sommen3-5等人提出了正则函数,并对此函数进行了一系列的研究分析,奠定了Clifford分析的基础理论.T算子是一个定义在区域上的奇异积分算子,它在求解Vekua方程组6及广义解析函数理论7中起着非常重要的作用.1978 年,Hile8对Rn空间中的T算子的性质进行了讨论.随后,Gilbert9等学者对高维复空间中的T 算子的相关性质也进行了一系列研究.杨丕文10-11等人研究了四元数分析和复Clifford分析中T算子的性质,并对在复Clifford分析中T算子的相关边值问题进行了讨论.李尊凤12,杨贺菊13-15,郝毅红16,韩雪峰17和杨冠民18等人研究了Clifford分析中T算子和几类高阶奇异T算子的性质及应用.2019年,毕芳19研究了Clifford分析中具有k-正则核的T算子的性质,得到了该算子在有界区域上以及在Lp,n(Rn)空间上的一些性质.本文在上述基础上,定义了Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子,证明了相关的不等式并研究了该算子在有界区域上的一致有界性,H older连续性以及次可积性.收稿日期:2022-01-25修回日期:2022-08-16基 金 项 目:国 家 自 然 科 学 基 金(11871191);河 北 省 自 然 科 学 基 金(A2022208007);河 北 省 省 级 科 技 计划(21557647D)DOI:10.13299/ki.amjcu.002255100高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期2 预备知识设e1,e2,en是Rn的一组标准基.An(R)是以e1,e2,en,e2e3,en1en,e2e3en为基底的可结合不可交换代数.An(R)中的基元素记为:eA=e1e2eh,其中A=1,2,h 1,2,3,n且1 1 2 h n.当A=时,eA=1.任何元素a An(R)都能表示为a=AaAeA,其中aA R为实数.Clifford代数中的元素满足以下运算法则e2i=1,i=1,2,n;eiej=ejei,1 i j n.定义An(R)中的范数为|a|=(a,a)=(Aa2A)12,An(R)中元素的共轭为ei=ei.设 Rn是一个非空连通开子集,定义在中取值于An(R)的函数可表示为f(x)=AfA(x)aA,其中fA(x)为实值函数.用Fm(,An(R)表示中Cm函数的全体,即Fm(,An(R)=f|f:An(R),f(x)=AfA(x)aA,fA(x)Cm(),x .定定定义义义2.1若对任意的x1,x2,f(x)满足|f(x1)f(x2)|M1|x1 x2|0,(0 0 1),则称函数f(x):An(R)为上指标为0的H older连续函数,其中M1是与x1,x2无关的正常数.用H0表示上指标为0的H older连续函数的集合.设Lp(,An(R)表示定义在上取值于An(R)中的p次幂可积函数的集合,并在此集合上定义元素的范数为f,p=(|f(x)|pdx)1p,其中p 1.注当为有界域时,有包含关系Fm(,An(R)Lp(,An(R)Lp0(,An(R),其中m 0,1 p 0.在Rn中以y为原点建立广义球坐标系xn=cos1cos2cosn2cosn1,xn1=cos1cos2cosn2sinn1,x2=cos1sin2,x1=sin1,其中x=(x1,x2,xn)Rn,=|x y|,i满足条件|i|2,i=1,2,n 2,0 n1 2.黄丽坤等:Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子的性质101由文献20可知dx=|D(x1,x2,xn)D(,1,2,n2,n1)|dd1d2dn2dn1 M2n1d,(1.1)其中M2为大于0的常数.定定定义义义2.29设 Rn,k Z+,若f(x)Fk(,An(R)且满足当x 时,有Dkf(x)=(|x|xDk)(f(x)=0,则称f(x)是上的加权k-正则函数.引引引理理理2.35(Hile引引引理理理)设x,t Rn,并且x=0,t=0.n(2),m(0)为整数,则有x|x|m+2t|t|m+2|x t|Pm(x,t)|x|m+1|t|m+1,其中Pm(x,t)=mk=0|x|mk|t|k=|x|m+1|t|m+1|x|t|,m 0;1,m=0.引引引理理理2.415设 Rn是一个有界区域,则当0 a n时,对于任意的x0 Rn,有|x x0|adx M3,其中M3是仅与a,有关的正常数.引引引理理理2.56(Hadamard引引引理理理)设 Rn是一个有界域,n 2,若b,c满足0 b n,0 c n,则对任意的x1=x2 Rn,有|t x1|b|t x2|cdt M4|x1 x2|nbc,M4是仅与b,c有关的正常数.引引引理理理2.621若1 0,2 0且0 d 1,则有|d1 d2|1 2|d.引引引理理理2.77(Minkowski不不不等等等式式式)若f1,f2,fn Lp(G),p,则f1+f2+fnLp(G),并且f1+f2+fnp,f1p,+f2p,+fnp,.引引引理理理2.813设 Rn,=x|x+x0.若f(x+x0)是在上的加权k-正则函数,则有kj=1(1)j1Hj(x)|x|xdxDj1f(x+x0)=f(x0),x0;0,x0 Rn,其中Hj(x)=Aj|x|nj,Aj=(1)j1nj1(k1)!,1 k n,0 1.3 主要结论定定定义义义3.1设 Rn是一个有界区域,f Lp(,An(R),Dj1f(x)Lp(,An(R),0 1,1 k n,1 j k,y Rn,定义(Tf)(y)=kj=1(1)j1Hj(x y)|x y|(x y)Dj1f(x)dx102高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期为具有加权k-正则核的T算子,其中Hj(xy)=Aj|xy|nj,Aj=(1)j1nj1(k1)!,n为Rn中单位球的表面积.定定定理理理3.2设 Rn是一个有界区域,f Lp(,An(R),Dj1f(x)Lp(,An(R),1 j k,0 n,则(Tf)(y)在上一致有界,并且满足|(Tf)(y)|M5kj=1Dj1f(x),p,其中M5是仅与n,p 及区域的大小有关的正常数.证证证取q 1,使得1p+1q=1,于是当p n时,1 q nn1.对于y ,取B(y,)=x|x y|,则有|(Tf)(y)|kj=1|Hj(x y)|x y|x y|Dj1f(x)|dxkj=1J1(B(y,)1|x y|nj+1|Dj1f(x)|dx+B(y,)1|x y|nj+1|Dj1f(x)|dx)=kj=1J1(Ij1(y)+Ij2(y),其中J1=maxj=1,2,k|Aj|.因为(j 1)0,所以nn1nnj+1.又因为1 q nn1,所以有q n j+1.由H older不等式及(1.1)式可得Ij1(y)=B(y,)1|x y|nj+1|Dj1f(x)|dx(B(y,)|Dj1f(x)|pdx)1p(B(y,)|x y|(nj+1)qdx)1qM1q1Dj1f(x)B(y,),p(0n1(nj+1)qd)1q=M1q1Dj1f(x)B(y,),p(1n (n j+1)qn(nj+1)q0)1q=Jj2Dj1f(x)B(y,),p Jj2Dj1f(x),p,其中Jj2=M1q1(1n(nj+1)qn(nj+1)q)1q.另外Ij2(y)=B(y,)1|x y|nj+1|Dj1f(x)|(B(y,)|Dj1f(x)|pdx)1p(B(y,)|x y|(nj+1)qdx)1qM1q1Dj1f(x)B(y,),p(L(nj+1)qn1d)1q=M1q1Dj1f(x)B(y,),p(1n (n j+1)q(Ln(nj+1)q n(nj+1)q)1q=Jj3Dj1f(x)B(y,),p Jj3Dj1f(x),p,其中Jj3=M1q1(1n(nj+1)q(Ln(nj+1)q n(nj+1)q)1q,L=maxxB(y,)|x y|.黄丽坤等:Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子的性质103所以有|(Tf)(y)|kj=1J1(Jj2+Jj3)Dj1f(x),p=M5kj=1Dj1f(x),p,其中M5=maxj=1,2,kJ1(Jj2+Jj3)是仅与n,p及区域的大小有关的正常数,因此(Tf)(y)在上一致有界.定定定理理理3.3设 Rn是一个有界区域.则对任意的x ,t1=t2,若|x t1|M6|x t2|,则存在Mj7使得|x t1|x t1|nj+x t2|x t2|nj+|Mj7|t1 t2|x t1|nj+,其中M6,Mj7是正常数,0 1,j=1,2,k.证证证当j=1时,由引理2.3可得|x t1|x t1|nj+x t2|x t2|nj+|=|x t1|x t1|nx t2|x t2|n|t1 t2|n2k=0|x t1|n2k|x t2|k|x t1|n1|x t2|n1=|t1 t2|n1k=1|x t1|n1k|x t1|n1|x t2|nk,因为|x t1|M6|x t2|,所以1|xt2|M6|xt1|,1|xt2|nkMnk6|xt1|nk,从而|t1 t2|n1k=1|x t1|n1k|x t1|n1|x t2|nk|t1 t2|n1k=1|x t1|n1kMnk6|x t1|n1|x t1|nk=J4|t1 t2|x t1|n,其中J4=n1k=1Mnk6.当j=2,3,k时,|x t1|x t1|nj+x t2|x t2|nj+|x t1|x t1|nj+x t2|x t1|j+|x t2|n|+|x t2|x t1|j+|x t2|nx t2|x t2|nj+|=I1+I2,由引理2.3可得I1=|x t1|j|x t1|x t1|nx t2|x t2|n|x t1|j|t1 t2|n2k=0|x t1|n2k|x t2|k|x t1|n1|x t2|n1=|t1 t2|n1k=1|x t1|j|x t1|k|x t2|nk.因为|x t1|M6|x t2|,所以1|xt2|M6|xt1|,1|xt2|nkMnk6|xt1|nk,从而I1|t1 t2|n1k=1|x t1|jMnk6|x t1|k|x t1|nk=J4|t1 t2|x t1|nj+.另外I2=|x t2|x t1|j+|x t2|nx t2|x t2|nj+|=|x t2|x t2|n|x t1|j|x t2|j|.104高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期因为0 1,所以由引理2.6可知|(|x t1|j1)(|x t2|j1)|x t1|j1|x t2|j1|.所以I21|x t2|n1|(|x t1|j1)(|x t2|j1)|1|x t2|n1|x t1|j1|x t2|j1|1|x t2|n1|x t1|x t2|(|x t1|j2+|x t1|j3|x t2|+|x t2|j2)1|x t2|n1|t1 t2|(|x t1|j2+|x t1|j3|x t2|+|x t2|j2).因为|x t1|M6|x t2|,所以有I2|t1 t2|x t2|n1|x t2|(j2)|Mj26+Mj36+1|=Jj5|t1 t2|x t2|n1j+2.其中Jj5=|Mj26+Mj36+1|.所以I1+I2 J4|t1 t2|x t1|nj+Jj5|t1 t2|x t2|n1j+2.(1)当|x t1|t1 t2|时,因为|x t1|0,所以有1|xt2|n1j+2|t1 t2|时,I1+I2J4|t1 t2|x t1|nj+Jj5|t1 t2|x t2|n1j+2=J4|t1 t2|x t1|1|x t1|nj+Jj5|t1 t2|x t2|n1j+2,由|x t1|0,则有1|xt2|n1j+2Mn1j+26|xt1|n1j+2,I1+I2 J4|t1 t2|x t1|1|x t1|nj+Jj6|t1 t2|x t1|1|x t1|nj+=Jj8|t1 t2|x t1|nj+,其中Jj8=(J4+Jj6)|x t1|1.综上所述|xt1|xt1|nj+xt2|xt2|nj+|Mj7|t1t2|xt1|nj+,其中Mj7=maxJj7,Jj8.同理可证定理3.4.定定定理理理3.4设 Rn是一个有界区域,对任意的x ,t1=t2,若|xt2|M8|xt1|,则存在Mj9使得|x t1|x t1|nj+x t2|x t2|nj+|Mj9|t1 t2|x t2|nj+,黄丽坤等:Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子的性质105其中M8,Mj9是正常数,0 1,j=1,2,k.由定理3.3和定理3.4可得推论3.5.推推推论论论3.5设 Rn是一个有界区域,那么对任意的x ,t1=t2,若M8|xt1xt2|M6,则存在Mj10使得|x t1|x t1|nj+x t2|x t2|nj+|Mj10|t1 t2|x t1|nj+2|x t2|nj+2,其中M6,M8,Mj10为正常数,1 j k,0 1.定定定理理理3.6设 Rn是一个有界区域,f Lp(,An(R),Dj1f(x)Lp(,An(R),1 j k,0 maxn1,n,则(Tf)(y)在上是H older连续的,即对任意的y1,y2 有|(Tf)(y1)(Tf)(y2)|M11|y1 y2|,其中M11=J21kj=1Dj1f(x),p,J21是仅与n,p及区域大小有关的正常数.证证证对任意的y1,y2,有|(Tf)(y1)(Tf)(y2)|=|kj=1(1)j1Hj(x y1)|x y1|(x y1)Dj1f(x)dxkj=1(1)j1Hj(x y2)|x y2|(x y2)Dj1f(x)dx|kj=1J1|x y1|x y1|nj+x y2|x y2|nj+|Dj1f(x)|dx=J1kj=1Ij(y1,y2).当j=1时,由引理2.3可得|x y1|x y1|nj+x y2|x y2|nj+|=|x y1|x y1|nx y2|x y2|n|y1 y2|n2m=0|x y1|n2m|x y2|m|x y1|m+1|x y2|m+1|y1 y2|n1k=1|x y1|k|x y2|(nk).则由H older不等式可得I1(y1,y2)|y1 y2|n1k=1|x y1|k|x y2|(nk)|f(x)|dxf(x),p|y1 y2|(n1k=1|x y1|kq|x y2|(nk)qdx)1q.因为p maxn1,n,0 n且1 q nn1,又因为1 k n 1,所以0 kq n,0 (n k)q n.由引理2.5可知|x y1|kq|x y2|(nk)qdx M4|y1 y2|nkq(nk)q=M4|y1 y2|nnq,106高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期所以I1(y1,y2)f(x),p|y1 y2|(n1k=1M4|y1 y2|nnq)1qJ9f(x),p|y1 y2|1+nnqq=J9f(x),p|y1 y2|1np|y1 y2|,因为p n1,所以1 np 0,|y1 y2|1np有界.不妨记J9|y1 y2|1np=J10,则有I1(y1,y2)J10f(x),p|y1 y2|.当j=2,.,k时,令2=|y1 y2|,1是以y1为心,以d为半径的球;2是以y2为心,以d为半径的球,其中d|y1 y2|x y1|=|2|x y1|,|x y1|d,所以有|x y2|2|x y1|x y1|.由定理3.3 知,对于任意y1,y2 有|x y1|x y1|nj+x y2|x y2|nj+|Mj7|y1 y2|x y1|nj+,所以Ij1(y1,y2)=1|x y1|x y1|nj+x y2|x y2|nj+|Dj1f(x)|dx1Mj7|y1 y2|x y1|nj+|Dj1f(x)|dxMj7|y1 y2|(1|Dj1f(x)|pdx)1p(1|x y1|(nj+)qdx)1qMj7|y1 y2|Dj1f(x)1,p(1|x y1|(nj+)qdx)1q,因为0 maxn1,n,所以(j 1),即有n(j1)n.当12 n1n,p nn(j1),因此j np 0.当0 n,p nn(j1),j np 0.所以np j+,即有(n j+)q d,|x y2|d,所以|xy1|xy2|xy1|d,又因为有界,所以|x y1|有界,|xy1|xy2|xy1|d=J14.同理|xy2|xy1|1M15=M16,M16|x y1|x y2|maxn1,n,故p n,即有1p 1 n=nn,即q nn.又因为j 2,即有j 1 1,(j 1),q nnnn(j1),所以有(n j+)q n,因此可知3|x y1|(nj+)qdx有界.设3|x y1|(nj+)qdx Jj18.同样的推理可以知道3|x y2|(nj+)qdx有界.设3|x y2|(nj+)qdx Jj19.有Ij3(y1,y2)Mj10|y1 y2|Dj1f(x)3,p(3|x y1|(nj+)qdx3|x y2|(nj+)qdx)12qMj10|y1 y2|Dj1f(x)3,p(Jj17Jj18)12q Jj19Dj1f(x),p|y1 y2|.也就是Ij(y1,y2)Jj12Dj1f(x),p|y1 y2|+Jj13Dj1f(x),p|y1 y2|+Jj19Dj1f(x),p|y1 y2|Jj20Dj1f(x),p|y1 y2|.所以|(Tf)(y1)(Tf)(y2)|J1kj=1Ij(y1,y2)J21kj=1Dj1f(x),p|y1 y2|=M11|y1 y2|,其中M11=J21kj=1Dj1f(x),p.定定定理理理3.7设 Rn是一有界区域,f Lp(,An(R),Dj1f(x)Lp(,An(R),1 j k,0 1,1 p n k+1,1 k n,则(Tf)(y)在空间上次可积,即Tf,M12kj=1Dj1f(x),p,108高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期其中是满足1 npnp的任意实常数,M12是仅与n,p及区域的大小有关的正常数.证证证|(Tf)(y)|J1kj=11|x y|nj+1|Dj1f(x)|dx=J1kj=1Ij(y),其中Ij(y)=1|x y|nj+1|Dj1f(x)|dx.设b=11p+1n j+,j=1,2,k,则由 0.现在分两种情况来证明(Tf)(y)在空间Lp()内是次可积的.(1)当满足p npnp时,0 p 1,0 p(1p1)=1p 0,使得1p+1q=1成立,则有(n j+)(b21)+(n j+)(b21q)=(n j+)(b21+b21q)=(n j+)(b 11q)=(n j+)(11q+1n j+11q)=(n j+)(1p1q+1n j+)=(n j+)(1 1n j+)=(n j+1),所以Ij(y)|x y|(nj+)(b21)|Dj1f(x)|p|Dj1f(x)|p(1p1)|x y|(nj+)(b21q)dx.由p 0,当j=1,2,k时,有(n j+)(1 qb2)n,所以|x y|(nj+)(bq21)dx有界.设|x y|(nj+)(bq21)dx Jj22,则Ij(y)J1qj22(|x y|(nj+)(b21)|Dj1f(x)|pdx)1(|Dj1f(x)|pdx)1p1J1qj22(|x y|(nj+)(b21)|Dj1f(x)|pdx)1(|Dj1f(x)|pdx)1pp(1p1)J1qj22(|x y|(nj+)(b21)|Dj1f(x)|pdx)1Dj1f(x)1p,p.黄丽坤等:Clifford分析中一类具有加权k-正则核的奇异积分算子的性质109再由H older不等式可得Ij(y),Ij(y)dy1(J1qj22(|x y|(nj+)(b21)|Dj1f(x)|pdx)1Dj1f(x)1p,p)dy1Jqj22Dj1f(x)p,p(|x y|(nj+)(b21)|Dj1f(x)|pdx)dy1Jqj22Dj1f(x)p,p(|x y|(nj+)(b21)dy|Dj1f(x)|p)dx1.因为(n j+)(1 b2)n,所以|x y|(nj+)(b21)dy有界.设|x y|(nj+)(b21)dy Jj23,则Ij(y),Jqj22Dj1f(x)p,p(|x y|(nj+)(b21)dy|Dj1f(x)|p)dx1Jqj22Dj1f(x)p,pJ13Dj1f(x)p,p1J1qj22J1j23Dj1f(x),p=M12Dj1f(x),p,其中M12=J1qj22J1j23.由引理2.7得Tf,=|(Tf)(y)|dy1(kj=1|Ij(y)|)dy1=kj=1Ij(y),kj=1Ij(y),=kj=1M12Dj1f(x),p=M12kj=1Dj1f(x),p,其中M12是仅与n,p及区域的大小有关的正常数.(2)当p 时,设m满足0 nn+m ,此时,m是满足m nmnm的任意正数.因为Dj1f(x)Lp(),1 j k,m p,所以Dj1f(x)Lm(),取1p+1q=1m,则由(1)中证明过程及引理2.2 可得Tf,M12kj=1Dj1f(x),m=M12kj=1(Dj1f(x)1)mdx1mM12kj=1(Dj1f(x)pdx1p1qdx1q=M12kj=1Dj1f(x),p,其中M20是仅与n,p及区域的大小有关的正常数.综上所述,当1 npnp时,(Tf)(y)在有界区域上是次可积的,即Tf,M12kj=1Dj1f(x),p.参参参考考考文文文献献献:1Clifford W K.Applications of Grassmanns extensive algebraJ.Amer J Math,1878,1(4):350-358.2Fueter R.Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen 4u=0 and 44u=0 mit vierReellen VariablenJ.Comment Math Helv,1934,7:307-330.110高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期3Brackx F,Delanghe R,Sommen F.Clifford AnalysisM.Boston:Pitman Book Limited,1982.4Delanghe R,Sommen F,Soucek V.Monogenic FunctionsM.Boston,London:Kluwer Aca-demic Publishers,1992.5Sommen F.Power series expansions for monogenic functionsJ.Complex Var Theor Appl,1989,11:215-222.6Vekua I N.Generalized Analytic FunctionsM.Oxford:Pergamon Press.1962.7依涅维库阿.广义解析函数,中国科学院数学研究所译M.北京:人民教育出版社.1960.8Hile G H.Elliptic systems in the plane with fisstorder terms and constant coefficientsJ.Comm Partial Differ Equation,1978,3:949-977.9Gilbert R P,Buchanan J L.First order elliptic systemsJ.New York:Academic Press,1983.10杨丕文.四元数分析中的T算子与两类边值问题J.数学学报,2001,44:343-350.11杨丕文.四元数分析中的TG算子的H older连续性和Riemann-Hilbert边值问题J.数学学报,2003,46:993-998.12Li Zunfeng,Yang Heju,Qiao Yuying.A new cauchy integral formula in the complex cliffordanalysisJ.Adv Appl CliffAlg,2018,28(4):1-12.13Yang Heju,Qiao Yuying,Xie Yonghong,et al.Cauchy integral formula for k-monogenicfunction with-weightJ.Adv Appl CliffAlg,2018,28(2):1-11.14杨贺菊,李尊凤,郭冰蟾.Clifford分析中高阶T算子的Lp可积性J.高校应用数学学报,2017,32:189-197.15Yang Heju,Qiao Yuying,Wang Liping.Some properties of a kind of higher order singularTeodorescu operator in RnJ.Appl Anal,2012,91(1):1-14.16郝毅红.Clifford分析中高维空间上两类高阶T算子的性质D.石家庄:河北师范大学,2010.17韩雪峰,杨贺菊,乔玉英.Clifford分析中一类二次拟Cauchy型积分的H older连续性J.河北师范大学学报,2014:233-238.18杨冠民.Clifford分析中一类T-型算子的性质及其应用D.石家庄:河北师范大学,2015.19毕芳.Clifford分析中具有k-正则核的积分算子的性质D.石家庄:河北师范大学,2019.20黄沙,乔玉英.典型域的调和分析和Clifford分析J.数学学报,2001,44:29-36.21赵桢.奇异积分方程M.北京:北京师范大学出版社,1984.The properties of a class of singular integral operator with k-regularkernel in Clifford analysisHUANG Li-kun,SHENG Xiao-juan,YANG He-ju(School of Science.,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang 050018,China)Abstract:First,a class of singular integral operators with weighted k-regular kernels in Clif-fords analysis is defined in this article.And then the uniformly boundedness of this operator isdiscussed.Secondly,several important inequalities are given,and these inequalities are used to provethe H older continuity of this operator.Finally the integrability of this operator is proved.Theseconclusions lay the foundation for studying the boundary value problems of related partial differentialequations.Keywords:weighted k-regular kernel;singular integral operator;uniformly bounded;H oldercontinuity;integrabilityMR Subject Classification:30E20;30E25;45E05