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piez0magnetic materials(FGPPM)cylinder shells.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2023,55(9):1950-1959Deng Liangyu,Cao Xiaoshan,Ma Xingquan,Ru Yan.Cut-off frequencies of longitudinal waves in functionally graded piezoelectric-引用格式：邓良玉，曹小杉，马星荃，汝艳.功能梯度压电压磁圆柱壳中纵向波的截止频率.力学学报，2 0 2 3，5 5(9：1 9 5 0-1 9 5 9固体力学Sep.,2023Chinese Journal ofied Mechanics2023年9 月Vol.55,No.9力第5 5 卷第9 期报学学功能梯度压电压磁圆柱壳中纵向波的截止频率邓良玉曹小杉2)马星茶汝艳(西安理工大学土木建筑工程学院，西安7 1 0 0 48)摘要买采用解析方法研究材料参数沿径向变化的功能梯度压电压磁圆柱壳体中纵向导波的截止频率.建立了利用位移函数、电势函数和磁势函数表示的柱坐标系下功能梯度压电压磁圆柱壳中纵向波的力、电和磁耦合波动方程并表征齐次边界条件.在波数趋于0 的条件下，采用Wentzel-Kramers-Brillouin（WK B）方法求解方程并推导得到梯度壳体中纵向导波截止频率的显式近似解析解.分别对比均质压电压磁圆柱壳体中纵向导波的截止频率的贝塞尔函数解和由功能梯度压电压磁圆柱壳体中纵向导波频散曲线所得的截止频率，验证了WKB解的高精确性.通过进一步解析推导简化可得：纵向波的截止频率是两个近似等差数列的集合；其公差分别与材料两种等效波速的倒数沿径向的积分成反比.数值算例表明，直接利用两个数列的公差表示截止频率具有足够的精度.研究对比分析了弹性参数、密度、电学参数、磁学参数和壳体厚度单独变化对截止频率的影响规律.其中弹性参数和密度梯度变化对截止频率影响较为明显；电学参数与磁学参数梯度变化对其截止频率影响较小；壳体厚度增加会导致截止频率降低.文中给出的分析方法与结论可适用于功能梯度弹性材料与功能梯度压电材料圆柱壳中纵向导波的截止频率，这些结论可为基于截止频率的非均质材料圆柱壳的超声无损检测提供理论依据.关键词同截止频率，功能梯度压电压磁材料，WKB法，圆柱壳中的纵向波中图分类号：0 3 47.41文献标识码：Adoi:10.6052/0459-1879-23-164CUT-OFF FREQUENCIES OF LONGITUDINAL WAVES IN FUNCTIONALLY GRADEDPIEZOELECTRIC-PIEZOMAGNETIC MATERIALS(FGPPM)CYLINDER SHELLSI)Deng LiangyuCao Xiaoshan 2)Ma XingquanRu Yan(School of Civil Engineering,Xian University of Technology,Xian 710048,China)AbstractIn this paper,the cut-off frequencies of longitudinal wave propagating in functionally graded piezoelectric-piezomagnetic material(FGPPM)cylinder shells is investigated analytically.The mechanical,the electrical and themagnetical coupling waves equations of the longitudinal wave propagating in FGPPM cylinder shells in the cylindricalcoordinate system expressed by the displacement function,the electric potential function and the magnetic potentialfunction are established and the homogeneous boundary conditions are characterized.Considering that the wave numberapproaches zero,the Wentzel-Kramers-Brllouin(WKB)method is employed for solving these equations and derive anexplicit approximate analytical solution for the cutoff frequency of longitudinal guided waves in an FGPPM shell.Bycomparing WKB solution with the Bessel function solution for the cut-off frequency of longitudinal guided waves in2023-05-04收稿，2 0 2 3-0 8-0 5 录用，2 0 2 3-0 8-0 6 网络版发表，1)国家自然科学基金(1 1 5 7 2 2 44)，陕西省自然科学基金(2 0 2 1 JQ-467),陕西省科技创新团队(2 0 2 2 TD-61)和陕西高校青年教师创新团队资助项目.2)通讯作者：曹小杉，教授，主要研究方向为智能材料及结构弹性动力学.E-mail:1951邓良玉等：功能梯度压电压磁圆柱亮中纵向波的截止频率第9 期homogeneous piezoelectric and piezomagnetic cylinder shells and with the cut-off frequencies obtained from thedispersion curves of functionally graded piezoelectric and piezomagnetic cylinder shells,respectively,the high precisionof the WKB solution has been verified.Further analysis and simplification shows that the cut-off frequency oflongitudinal waves is a combination of two approximate arithmetic progressions with a common difference inverselyproportional to the integral of reciprocal wave velocity along the radial direction.Numerical examples demonstrate thatrepresenting the cut-off frequency using the common differences of these two progressions yields sufficient accuracy.The effects of varying elastic parameters,density,electrical parameters,magnetic parameters,and shell thickness on thecut-off frequencies are investigated and compared.It is found that variations in elastic parameters and density have asignificant impact on the cut-off frequency,while variations in electrical and magnetic parameters have a relativelysmaller effect.Increasing the shell thickness leads to a decrease in the cut-off frequency.The analytical methods andconclusions presented in this paper are applicable to the cut-off frequencies of longitudinal guided waves in functionallygraded elastic and piezoelectric material cylinder shells.These findings provide a theoretical basis for ultrasonic non-destructive testing of heterogeneous material cylinder shells based on cut-off frequencies.Keywordss cut-off frequency,functionally graded piezoelectric-piezomagnetic material(FGPPM),WKB method,longitudinal wave in cylindrical shell引言功能梯度材料是由两种或两种以上材料组成，其成分和结构沿某一方向连续梯度变化的非均质材料.相比于传统的均质弹性材料，功能梯度材料具有耐高温、减小残余应力等优势，随着各种新型材料的发现，功能梯度材料技术不仅应用于弹性材料中，也应用于压电材料、压磁材料和压电压磁材料等材料当中.压电压磁材料是一种力电磁耦合材料，在智能结构和智能材料领域有着广泛的应用，可以用来制作传感器1 和换能器2 等精密电子元件.一方面,可以将功能梯度的概念引入到压电压磁材料中，制备出材料参数渐变的力电磁耦合材料，以期获得更好的性能，可以应用于各类换能器、传感器及各类声波器件中.另一方面，材料由于亚表面的老化、损伤和腐蚀等原因会导致材料特性出现渐变特性，采用功能梯度压电压磁材料模型可以表征含渐变梯度损伤后的压电压磁材料结构的材料特性.因此功能梯度压电压磁材料及结构中的静、动力学行为成为智能材料结构力学研究热点之一。基于高性能声波器件的结构无损检测的两大类应用需求，研究者关注对不同结构中的弹性波的传播.近些年来,对于弹性波的研究多集中在棒3、板4、壳5 和半空间6 等结构上，例如压电纳米半空间结构中的表面波7、密度梯度对圆柱壳中弹性波波形的调控作用8 和黏弹性梯度层中的瞬态波9 等等.压电压磁材料及其结构中的弹性波也得到研究人员的关注,Li等1 0 分析了理想界面磁电层状结构中外部磁场对结构中SH波位移、应力、电势和磁势的影响.Pang等1 1 和赵星等1 2 分别讨论了非理性界面的磁电板状结构和半空间结构中电磁边界条件对SH波频散的影响.Kumari等1 3 揭示了多层压电圆柱壳中壳体厚度、初始应力等对SH波相速度的影响规律.孔艳平等1 4讨论了磁电弹板中厚度-扭转波的位移、电势和磁势.上述文献的研究内容大多集中在弹性波的频散特性、波结构分析.截止频率是弹性波的重要特性之一，在工程上具有广泛应用，可用于超声无损检测1 5、测量结构厚度1 6-1 7、传感器1 8 和滤波器1 9 等当中.通常针对各类半空间结构，由于需满足无穷远处衰减条件，其弹性导波有速度上限.此时弹性导波的不同模态的截止频率对应的是弹性波速达到波速上限值的情况2 0 而对于有限厚度结构(如板、壳)中，弹性导波的波速无上限，其截止频率对应为波数趋近于零的情况.通常，研究非均质有限厚度结构中弹性导波截止频率时,可以采用直接求解法,即采用解析2 1-2 2 或者数值方法2 3 求得波的频散曲线并由此分析频散曲线中波数趋近于零的情况.均质板的Lamb波与SH波的截止频率解析解答均采用直接求解法得到2 4.如果材料为非均质材料，波动方程为变系数偏微分方程组，解析求解较困难，因此多采用数值方法求得频散曲线.解析求解场方程的方法主要有特殊函数法2 5、幂级数方法2 2 和勒让德级数法2 6 等.特殊1952力2023年第5 5 卷报学学函数法仅限于材料参数按照某些特殊规律变化的情况，而幂级数法和勒让德级数方法的本质是渐近解析解,无法给出简单形式的显式解答.Cao等2 7-2 8 在研究功能梯度板中的SH波2 7 和Lamb波2 8 的截止频率时发现，可以仅讨论波数趋近于0 的情况并简化方程，基于Wentzel-Kramers-Brillouin（WK B）方法获得弹性导波的显式解析解答，并与文献2 1 中的传统直接求解法所得结论对比，可得到这些显式解答形式简单且具有足够的精度的结论.随后，周凤玺等2 9 将该方法应用于梯度饱和多孔材料中弹性波的截止频率,并进一步论证了该解答的精确性2 9,基于这些方法，研究已拓展至压电压磁圆柱壳中环向SH波的截止频率3 0、压电准晶体圆柱壳轴向波截止频率3 1、偏心圆柱中导波的截止频率3 2 和压电圆板自由振动的截止频率3 3 等多个方向.本文研究了内外表面无应力和电磁开路条件下功能梯度压电压磁圆柱壳中纵向导波的截止频率.首先，令波数趋近于零并简化波动控制方程组；然后利用齐次边界条件将控制微分方程组解耦为两个独立方程；进一步采用WKB法分别求解两个独立方程并将解代入边界得到截止频率显式表达式和简化形式；分别与均质壳体中的贝塞尔函数解和功能梯度结构中的传统方法进行对比分析，验证了WKB解的精确性；最后研究了材料参数梯度组成方式、参数梯度变化及圆柱壳体厚度变化对截止频率的影响，以期为基于截止频率的非均质材料圆柱结构的超声无损检测提供理论依据.1基本方程设如图1 所示功能梯度横观各向同性压电压磁圆柱壳，其中ro0面为各向同性面，极化方向沿z轴正向.圆柱壳内径为Ra，外径为Rb，材料参数沿径向连续变化，是坐标r的函数.对于沿壳体z轴方向传Rb0图1 功能梯度压电压磁圆柱壳Fig.1An FGPPMcylinder shell播的纵向导波，其周向波数为0,即位移、电势和磁势函数与无关.那么，柱坐标系下位移、电势和磁势函数可表示为u=u(r,z,t),w=w(r,z,t)(1)p=p(r,z,t),山=山(r,z,t)其中,u,w分别为径向和轴向位移函数,表示电势函数，代表磁势函数.应变与位移的关系为ouuouSrrrS0SS(2)rZZrz其中,Sr，So e，Sz 和Srz为应变分量.电场强度与电势的关系为EEz=-(3)rz其中，E,和E,为电场强度分量.磁场强度与磁势的关系为H=Hz=(4)rz其中，H,和H,为磁场强度分量.横观各向同性压电压磁材料的本构方程为Orr=C11Srr+C12See+C13S zz-e31Ez-f3iHzCo=C12Srr+C11See+C13S zz-e31Ez-f31HzOzz=C13S rr+C13See+C33Szz-e31Ez-f31HzDz=e31Srr+e31Se+e33S zz+833Ez+g33Hz(5)Bz=f31Srr+f31Seo+f33Szz+g33Ez+33HzTrz=C44Srz-e15Er-fisHrDr=e15Srz+811E,+g11HrBr=fisSrr+g11E,+uHr其中，rr，e e，u 和Trz为应力分量；D,和D,为电位移；B,和B,为磁感应强度；C11，C 1 2，C 1 3，C 3 3 和c44为弹性系数；e15，e 3 1 和e33为压电系数；8 1 1 和8 3 3 为介电系数；fi5，f 3 1 和f33为压磁系数；g11和g33为磁电系数；11和33为磁导率.如果材料为功能梯度材料，上述材料参数都是坐标r的函数.柱坐标下的运动方程为dorrOTrzrr-O00+Porr(6)STrzTrz+r8zt2其中，p是材料密度，也是坐标r的函数.电位移平衡方程为1953邓良玉等：功能梯度压电压磁圆柱壳中纵向波的截止频率第9 期aD,8DD=0(7)+rz磁感应平衡方程为Br8BzBr=0(8)十+一rzr将式(2)式(4)代入式(5),再把新的方程代入式(6)式(8)得到场控制偏微分方程组2u2w(12_)C11C44+(C13+C44)十u+r22azorC11Qu+(e31e1531ozor13z十r业2u(f31+fi5)ozor十31z?4C44C44+e15+f1544+9r2r29r2rr82we15C33+e33f33282215rrC44C13ou82u44+(c444+C13ozor十rrf1515Prf2e15owe158119r2811(e15+r十r29r2811e33833222833ore31e15ou2u15十+(e31+e15)rrzozor811811：0二r2业(i5fi581111十r2r2r215rr83333+(f31f15222ozor3十31+idu811f15+rzrr(U11：0一grr(9)其中，“I表示对r的导数.对于在电学开路的压电压磁圆柱壳轴向传播的纵向波，其应力、电位移和磁感应强度在边界处，即当r=Ra和r=Rb时满足应力自由与电学和磁学开路条件,即 orlr=Ra,R=0,relr=Ra,R=0;Drlr=Ra,R=0;?Brlr=Ra,R,=0.2问题求解对于在圆柱壳轴向传播的纵向波，其试探解可设为uU(r)Wiw(r)id(r)expi(kz.-wt)(10)山i9(r)其中，U(r)，W(r)分别代表径向和轴向位移幅值,d(r)代表电势幅值,(r)代表磁势幅值,i为虚数单位，k表示波数，表示频率.将波函数试探解式（1 0)代入式(9)中，偏微分形式的场控制方程组化为常微分方程组的形式(1+cn)u+(up+c12C11C11U+(c44Ur2k(c13+C44)W-k(e31+e15)-k(f31+fis)y-k(c13W+e31+f31)=0(rc44W+re15+rfis Y)+rk(c44+C13)U+rpw?W+k(c44+C13+rc*44)U-rk2(e33+C33 W+f33 Y)=0(reis W-re1-rg11)+k(re1s+e15+e31)U+rk(e15+e31)U-rk?(e33 W-g33 T-833D)=0(rfisW-rg1-ruuy)+k(rf1s+fis+f31)U-rk(f33 W-33 Y-g330)+rk(fis+f31)U=0(11)当k0时，常微分方程组可化为12C11C11U(pwU+(+cl)u=0-2(12)(rc44W+re15+rfisy)+rpw,W=0(13)(re1sW-r811-rg11y)=0(14)(rfisw-rg11-r11y)=0(15)其中，n表示截止频率.此时边界条件可以写为UC11U+C12-=0(16)/r=Ra,Rb(c44W+e1sd+fisY)l,=Ra,Rb=0(17)(e1sW-811d-g11Y)lr=Ra,Rb=0(18)(fisW-g11-11y)l,r=Ra,Rb=0(19)式(1 4)和式(1 5)积分可得e1sW-811d-g11=q1(20)fisW-g11d-11y=q2其中，q1和q2是积分常数.结合式(2 0)、式(1 8)和将式(2 3式(2 2)得将式(2 1)代入式(1 3)可得力19542023年第5 5 卷报学学式(1 9)可以得到e15W-811-g11y=0(21)fisW-g11Q-11y=0J(rcEWl)+rpu,W=0(22)其中，CE是等效弹性系数,且11e15-g11fi5811fi5-e15g11CE=C44+e15+fi5M11811-8i1211811-8i12Y对于功能梯度压电材料，压磁系数为0，可得cE=C44+eis/s11;对于功能梯度弹性材料,压电和压磁系数均为0,可得cE=C44.2.1梯度圆柱壳体纵向导波截止频率的WKB解式(2 2)可以采用WKB法进行求解，假设式(2 2)的解为W=eJo(r)dr(23)其中，设()可表示为8d(r)=wndi(r)wn一(24)1=0rCEp?+rCE+(cE+rcE)o+rpu,=0(25)再把式(2 4)代入式(2 5),并令wn，l=1,0,-1，的系数为0 得到CErdo+pr=02ecEro0(cer0o)=0j(26)求解式(2 6)得P(pce)(27)十CE4r?pcE忽略，l 1,从而得到式(2 3)的解W=Ci cos(rVp/cedrwn)+RC2 sinVplcEdrwn)(orcE)14(28)R其中，Ci和C2是两个待定常数.Vp/cE为等效剪切波波速的倒数.由式(1 7)式(1 9)可知,位移函数w满足的边界条件为CEW=0(29)将式(2 8)代入式(2 9)得Ai(Ra)Ci-A2(Ra)A(Ra)wnwC2=0(30)sinVp/cEdrwnw)A2(Rb)A1(Rb)Wnw+1RVp/cedrww)Ai(Rt)Ci+cOs4RVp/cedrwnw)Ai(Rb)-RA2(Rb)WnwA1(Rb)cosVp/cedrwnw0(31)其中，Ai(r)=rpcE，A 2(r)=Vp/c E，Wn w 是满足式(29)的截止频率解.式(3 0)和式(3 1)存在非0 解的充分必要条件为Ci和C2的系数矩阵行列式为0,进而可以得到Ai(Ra)a1-Ai(Rb)a2 WnwtanVp/cEdrwnwA1(Ra)Ali(R)/4+4a3amnW(32)其中，,a1=A2(Rb)Ai(Rb),a2=Ai(Rb)Ai(Ra)A2(Ra),a3=Ai(Ra)A2(Ra)A2(Rb)A1(Rb).同样采用WKB法对式(1 2)求解得C3 cos(Vp/ciidrwn)+C4 sinVp/ciidrwn(33)式中，C3和C4为待定系数，将式(3 3)代入边界条件式(1 6)并考虑非零解存在的充分必要条件得L(Ra)b1+L(Rb)ba wnuRhtanVp/ciidrwnuL(Ro)L(Rt)+b3unu(34)其中b1=RbB2(Rb)Bi(Rb),b2=RaB2(Ra)Bi(Ra)b3=RaB2(Ra)Bl(Ra)B2(Rb)B(Rb),B(r)=rpc11B2(r)=Vp/c11,L(r)=C12Bi(r)-C11rBi(r)/4Wnu是满足式(3 4)的截止频率解.观察式(3 2)和式(3 4)可以发现，考虑到nu和Wnw是数值较大的参数，当材料参数缓慢变化时，等式的右边趋近于零，因此可以简化为Vp/ciidrwnun元,Vp/cedrWnwn元(35)可以写为1955邓良玉等：功能梯度压电压磁圆柱壳中纵向波的截止频率第9 期因此有.RbW(n+1)U-WnU 元Ci1drRa(37)RbW(n+1)W-WnW元EdrRa从式(3 7）可以看出，截止频率wnu和wnw可以看作两个近似的等差数列集.如果材料为均质材料，则截止频率为nu=n元/(Ri-Ra)Vp/ci1(38)nw=nn/(R-Ra)/P/ce(39)2.2均质圆柱壳体截止频率的Bessel函数解为对比验证WKB解的精确性，本文给出均质圆柱壳体纵向导波的特殊函数解.当壳体退化为均质材料时，可以求得截止频率的精确解，此时式(12)变为r?U+rU+P22C11nuc12C11C11U+pw=0r(40)式(40)为Bessel方程,求得解为U=CsJi(ir)+C6Yi(ir)(41)式中，Cs和C为待定系数，Bi=Vplcuiunu，Ji 和Yi是Bessel函数.将式(41)代入式(1 6)中，考虑方程组非0 解存在的充分必要条件，令方程组系数矩阵行列式为0,得到Qi|=0,i=1 2,j=1 2(42)其中C12Ji(iRa)Q11=C11Ji(BiRa)+RaC12Yi(BiRa)Q12=C11 Yi(BiRa)+RaC12Ji(iRb)Q21=C11J(iRb)+RbC12 Y1(BiRb)Q22=C11 Yi(iRb)+Rb式(2 2)可采用相同方法求解，可以得到关于Wnw的超越方程Jo(B2Ra)Yo(2Rb)-Yo(B2Ra)Jo(B2Rb)=0(43)其中,B2=Vp/cEWnw3数值算例数值算例中，将讨论3 种材料.第1 种是均质材料，材料参数如表1 所示.第2 种材料是由已知的压电材料与压磁材料复合而成的功能梯度压电压磁材料.其中内表面为压电材料BaTiO3，外表面为压磁材料CoFe2O4，材料参数如表2 所示.除电磁系数为常数外，材料参数的梯度变化规律为f(r)=f(1)+(f(2)-fa)P(44)其中，p为梯度参数，fa)为BaTiO3的材料参数，fi2)为CoFe2O4的材料参数，且=(r-Ra)/(Rb-Ra)即圆柱壳内径为材料BaTiO3，外径材料为CoFe2O4.电磁系数选择为g11=5.010-12NsV.C.第3 种为人工设定材料功能梯度，拟用以讨论不同材料参数梯度变化对截止频率的影响规律.这种材料在内径处，材料参数与表1 所示材料参数相同，有且仅有一个参数梯度变化，其他材料参数为0.材料参数变化规律满足f(r)=f(Ra)exp(pr)(45)表1 一种均质压电压磁材料的材料参数Table 1 The materials parameters of homogeneouspiezoelectric-piezomagnetic materialCi/GPaCi2/GPaC4/GPaeis/(C-m2)p/(kg:m-3)166774311.67500fis/(NA:m)g1/(Ns:V.C)eu/(Fm)ML1/(Ns?C-2)5505.0 10-121.12 10-85.0 10-5表2 BaTiO和CoFe204的材料参数Table2The materials parameters of BaTiO3 and CoFe,O4Cu/GPaC12/GPaC44/GPaeis/(Cm-2)BaTiO;166774311.6CoFe20428617345.30fis/(NAm)C11/(Fm)M/(Ns?C-2)p/(kg:m-3)01.12 10-85.010658005508.0 10-11-5.9 10-853001956力2023年第5 5 卷报学学3.1解的精确性验证为了验证WKB解的准确性，算例1 讨论均质压电压磁圆柱壳中纵向波的截止频率.其中，壳体内径Ra=9mm，外径Rb=10mm，材料参数同表1 中的参数.对比式(3 2)和式(3 4)给出的WKB解与式(43)和式（42)得到的Bessel函数解.计算结果如表3 和表4所示.从两个表中可以看出，WKB解式(32)和式(3 4)与简化的解式(3 9)和式(3 8)的结果是一致的；WKB解与Bessel函数解得到的结果之间很相近，其中第1 阶模态之间的相对误差不超过0.05%，并且随着模态的增加，两者之间的相对误差也越来越小算例2 考虑采用传统的计算截止频率的方法，即求解方程（1 1)并代入边界条件，考察k0时的值.由于方程（1 1)为变系数常微分方程组,直接求解困难，该类问题的常见解法有勒让德级数法2 6 和幂级数方法2 2.截止频率的直接解法可以采用幂级数方法求得其渐近解，并得到频散方程.计算过程中选用第二种变化形式的功能梯度材料，取壳体内径Ra=9mm，外径Rb=10mm，计算k=0.001时的频率值并与WKB解对比分析，如表5 表7 所示.其中，利用WKB法求解功能梯度压电压磁材料、均质压电材料和均质磁电材料圆柱壳体中纵向波的截止频率，可以得到两个序列的值，如表5 和表6 所示，两个序列模态由低至高用罗马数字编号.采用直接解法求得的截止频率为一个系列，对应模态用阿拉伯数字编号，如表7 所示。计算结果对比可得，两者计算结果几乎无差别.但显而易见，如采用渐近解法求表3 均质压电压磁圆柱壳中纵向波的截止频率Qnw/MHzTable3The cut-off frequencies Onw/MHz of longitudinal waves in a homogenous piezoelectric-piezomagnetic cylinder shellModeIIIVVsolution of Eq.(32)8.96421917.9284426.892.6635.8568844.82110solution of Eq.(43)8.96799717.9303326.8939235.8578244.82185solution of Eq.(39)8.96421917.9284426.8926635.8568844.82110表4均质压电压磁圆柱壳中纵向波的截正频率Qnu/MHzTable 4 The cut-off frequencies Onu/MHz of longitudinal waves in a homogenous piezoelectric-piezomagnetic cylinder shellModeIIIVVsolution of Eq.(34)14.7799629.5599244.3398859.1198473.89980solution of Eq.(42)14.7868129.5633444.3421659.1215573.90117solution of Eq.(38)14.779.9629.5599244.3398859.1198473.89980表5BaTiO3圆柱壳、CoFe2O4圆柱壳和FGPPM圆柱壳中纵向导波的截止频率nw/MHz的WKB解Table 5The cut-offrequencies Onw/MHz of longitudinal waves in BaTiO3,CoFe2O4 and FGPPM cylinder shellModeIIIIVVFGPPM(p=0.1)9.20518.41027.61536.82046.025BaTiO39.67619.35129.02638.70248.377CoFe2049.13218.26527.39736.52945.662表6 BaTiO;圆柱壳、CoFe204圆柱壳和FGPPM圆柱壳中纵向导波的截止频率nu/MHz的WKB解Table 6The cut-off frequencies Onu/MHz of longitudinal waves in BaTiO3,CoFe2O4 and FGPPM cylinder shellMode1IVVFGPPM(p=0.1)22.52345.04767.57190.095112.61BaTiO316.80633.61350.42067.22784.034CoFe20423.07746.15569.23392.311115.381957邓良玉等：功能梯度压电压磁圆柱壳中纵向波的截止频率第9 期表7 BaTiO;圆柱壳、CoFe204圆柱壳和FGPPM圆柱壳中纵向导波的截止频率(MIHz)Table 7The cut-off frequencies of longitudinal waves in BaTiO3,CoFe2O4 and FGPPM cylinder shell(MHz)Mode12345FGPPM(p=0.1)9.20518.41122.52327.61536.820BaTiO39.67616.80719.35129.02633.613CoFe2049.13318.26523.07927.39836.529Mode678910FGPPM(p=0.1)45.04746.02555.23064.43567.571BaTiO338.70248.37750.42058.05367.7095CoFe20446.15645.66254.79463.9269.233得整体频散曲线并进而求得截止频率，计算量远远大于WKB解，且不易发现其规律性.3.2材料参数梯度变化对截止频率的影响考察功能梯度压电压磁材料的不均匀性对纵向波截止频率的影响.首先观察算例2 中的计算结果，对比分析BaTiO3圆柱壳、CoFe2O4圆柱壳和梯度参数p=0.1的功能梯度压电压磁圆柱壳中纵向波的前5阶截止频率Wnw和wnU，如表5 和表6 所示.可以看到功能梯度压电压磁圆柱壳的截止频率介于BaTiO3圆柱壳和CoFe2O4圆柱壳之间.在同一阶模态，BaTiO3圆柱壳纵向波的截止频率wnw的值大于CoFe2O4圆柱壳的截止频率Wnw的值，而BaTiO3圆柱壳纵向波的截止频率Wnu的值则小于CoFe2O4圆柱壳的截止频率Wnu的值.进一步，讨论功能梯度压电压磁圆柱壳中纵向导波的截止频率与梯度参数p的关系，表8 和表9对比了p=0.1,0.2,0.3这3 个不同值时纵向导波前5阶截止频率的变化情况，可以看到随着p的增大截止频率wnw也随之增大，而截止频率wnu则随着p的增大而减小.在前面的讨论中，所有的材料参数都是同时变化的，为了讨论某一类材料参数的变化对纵向导波表8 不同梯度参数功能梯度圆柱壳中纵向导波的截止频率Onw/MHzTable 8 The cut-off frequencies nw/MHz of longitudinalwaves in FGPPM cylinder shell with different gradientcoefficientMode1IIVVp=0.19.20518.4127.6136.8246.02P=0.29.24818.4927.7436.9946.24P=0.39.28418.5627.8537.1346.42截止频率的影响，在计算过程中，每次只使一类材料参数梯度变化，其余参数均保持为均质，选用第1 种变化形式的功能梯度压电压磁材料，分别计算弹性模量参数、电学参数、磁学参数和密度参数梯度变化的情况.在计算过程中取壳体内径Ra=9mm，外径Rb=10mm，p=0.1.计算结果如图2 和图3 所示，从图中可以看出随着弹性模量参数、电学参数和磁学参数梯度参数的增加，纵向波的截止频率也随之增加，而且可以明显看出，弹性模量参数变化对截止频率的影响最大，磁学参数对截止频率的影响最小。表9不同梯度参数功能梯度圆柱壳中纵向导波的截止频率Onu/MIHzTable 9 The cut-off frequencies nw/MHz of longitudinalwaves in FGPPM cylinder shell with different gradientcoefficientModeIIVVP=0.122.5245.0467.5790.09112.6P=0.222.0444.0866.1288.17110.2p=0.321.6243.2564.8786.50108.1ZHN/o Kouanba.J o-no18variable:p161412variable:Cn-1.0-0.500.51.0gradient coefficientp图2 材料参数梯度变化对截止频率Wnu的影响Fig.2 Influence of material parameter gradient change on the cut-offfrequenciesWnu力19582023年第5 5 卷报学学12ZHN/Mo Kouenba.J Jo-novariable:fis,gi,Mu11variable:e1s,Ci1098variable:C4variable:p7-1.0-0.500.51.0g