高环同态的模糊稳定性.pdf

Operations Research and Fuzziology 运筹与模糊学运筹与模糊学,2023,13(4),3699-3709 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/orf https:/doi.org/10.12677/orf.2023.134372 文章引用文章引用:罗小淋,陈琳.高环同态的模糊稳定性J.运筹与模糊学,2023,13(4):3699-3709.DOI:10.12677/orf.2023.134372 高环同态的模糊稳定性高环同态的模糊稳定性 罗小淋罗小淋1，陈，陈 琳琳2*1贵州大学数学与统计学院，贵州 贵阳 2常熟理工学院数学与统计学院，江苏 常熟 收稿日期：2023年7月6日；录用日期：2023年8月7日；发布日期：2023年8月15日 摘摘 要要 本论文我们主要采取不动点的方法本论文我们主要采取不动点的方法，通过选取一个特殊的控制函数序列以及利用模糊赋范空间的一些性通过选取一个特殊的控制函数序列以及利用模糊赋范空间的一些性质来研究模糊质来研究模糊Banach代数上一个近似高环同态是一个精确高环同态代数上一个近似高环同态是一个精确高环同态，从而证得高环同态的模糊稳定性从而证得高环同态的模糊稳定性。此外此外，根据模糊连续性的定义根据模糊连续性的定义，我们还得到了关于高环同态的模糊连续性我们还得到了关于高环同态的模糊连续性。关键词关键词 模糊稳定模糊稳定，模糊连续，模糊连续，高环同态，高环同态，Banach代数代数 Fuzzy Stability of Higher Ring Homomorphism Xiaolin Luo1,Lin Chen2*1School of Mathematical and Statistics,Guizhou University,Guiyang Guizhou 2School of Mathematical and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu Jiangsu Received:Jul.6th,2023;accepted:Aug.7th,2023;published:Aug.15th,2023 Abstract In this paper,we mainly use the fixed point method to study that an approximate higher ring ho-momorphism in fuzzy Banach algebra is an exact higher ring homomorphism by selecting a special control function sequence and using some properties of fuzzy normed space,thus proving the fuzzy stability of higher ring homomorphisms.In addition,according to the definition of fuzzy continuity,we also get the fuzzy continuity about higher ring homomorphisms.*通讯作者。罗小淋，陈琳 DOI:10.12677/orf.2023.134372 3700 运筹与模糊学 Keywords Fuzzy Stability,Fuzzy Continuity,Higher Ring Homomorphism,Banach Algebra Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 函数方程的稳定性问题起源于 Ulam 1在某一次数学研讨会上提出的度量群中群同态稳定性的问题。一年后，在 Banach 空间的假设条件下，Hyers 2对 Ulam 关于可加性映射的问题给出了一个肯定的答复，得到了关于柯西函数方程稳定性问题的第一个定理，即：假设 A 和 B 都是 Banach 空间，对于任意的,x yA和0，映射:fAB满足：()()(),f xyf xfy+则存在唯一的可加映射:F XY使得()().F xf x 随后，Aoki 3将 Hyers 定理推广到了可加映射。1978 年，Rassias 4对 Hyers 方法中控制条件进行了减弱，换成了()()0,01ppxyp+，0 x=当且仅当(),1N x c=；(N3)若0c，则()()()1,N cx tN xct=；(N4)()()(),min,N xy tsN x tN y s+；(N5)(),N x 在实数域上是非减函数且()lim,1tN x t=；(N6)对0 x，(),N x 在实数域上是(上半)连续的，则称(),X N为模糊赋范线性空间。例子例子 2.4：设()X，是赋范线性空间，则()0,0,0,1,.ttN x ttxxtx=是 X 上的模糊范数。证明证明：显然满足定义 2.4 的(N1)，(N2)，(N5)和(N6)。下面我们验证(N3)和(N4)。令常数0c，当0tx 时，有()()()()11,cttN cx tN xctxc x=，故(N3)成立。当0tx时有()lim,1nnN xx t=，则称序列 nx是收敛的。我们将其记作limnnNxx=。定义定义 2.6 8 12 设 nx是 X 中的一个序列。如果对每一个0和0t，存在0n使得对任意的0nn和0p，有(),1n pnN xx t+，则称序列 nx是柯西序列的。若模糊赋范线性空间中每个柯西序列都是收敛的，则这个模糊范数是完备的，并将该空间称为模糊 Banach 空间。定义定义 2.7 14 设(),Y N是模糊赋范空间，函数:fY?且01有某个 0，当0 xx时，有()()()0,N f xf xt，则称 f 为-模糊连续。若:fY?对每个01都-模糊连续，则称 f 为模糊连续。定义定义 2.8 8 设 X 是代数，(),X N是模糊赋范空间。如果对,x yX和,s t+?，有()()(),N xy stN x s N y t 则称(),X N是模糊赋范代数。此外，完备的模糊赋范代数被称为模糊 Banach 代数。引理引理 2.9 17(不动点定理不动点定理)设(),X d是广义完备度量空间，:J XX是严格压缩映射，即对某些常数01L和,x yX，有()(),d Jx JyLd x y 那么，对 X 中一个给定的元素 x，要么对所有的非负整数 n 有()1,nnd J x Jx+=成立，要么存在一个正整数0n使得 1)当0nn时，有()1,nnd J x Jx+；2)设 J 的不动点为y，则序列nJ x收敛到y；3)y是 J 的唯一不动点且()0:,nyyX d Jx y；4)对所有的()0:,nyyX d Jx y，有()()1,1d y yd y JyL。3.主要结果主要结果 在本节中，通过采取不动点的方法研究高环同态在模糊 Banach 代数上的 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性以及模糊连续性。定理定理 3.1：设(),N是模糊(复)Banach 代数，实数,0,1.a b 假设):0,n+和):0,n+是由函数所组成的序列，且存在常数0,1，有()()()()(),nnnntN faxbyafxbfyttx y+(3)罗小淋，陈琳 DOI:10.12677/orf.2023.134372 3703 运筹与模糊学 和()()()()1,nniiintNfxyfx fy ttx y=+(4)成立，则存在唯一的高环同态1nnH=使得对每个正整数 n 和0t，有()()()()()()1,.1,0nnnatN fxHxtatx+(5)证明证明：令(3)中0y=，则根据(N3)，当x和0t 时，有()()()11,.,0nnntNfaxfxtaatx+(6)设正整数 n 是固定的。定义集合():,00nnSgg=和广义距离:0,d XX+为()()()()(),:inf0:,0.,0nnnnntd ghN gxhxtxttx=+显然(),X d是完备的广义度量空间(证明见参考文献18)。定义映射:J XX为()()()1nnJ gxgaxa=其中x。令,nnghS，且存在某个0，使得()()(),nnd gxhx=。因为()()()()()()()()(),t,0,0,0nnnnnnnN JgxJhxN gaxhaxatatataxatataxttx=+=+所以()()()()()(),.nnnnd JgxJhxd gxhx=于是，可得 J 是压缩映射。下面证明(),nnd Jff。根据(6)，可得()()()()()()1,0nnnnna tN JfxfxtNfaxfxtaa tx=+即()()(),0nnnttN Jfxfxatx+故可得()1,nnd Jffa，满足引理 2.10 的条件，从而有：i)设:nH，则nH是 J 的唯一不动点，其中():,g.nnnJgS d Jf，有()()1lim,1knnkkN Hzfa xsa=。由(7)可得()()()(),1.nnnN HaxbyaHxbHyt+=通过模糊范数的定义可知()()(),nnnHaxbyaHxbHy+=+(8)罗小淋，陈琳 DOI:10.12677/orf.2023.134372 3705 运筹与模糊学 其中x。因此，1nnH=满足可加性。在(4)中，用ka x，ka y分别替代 x 和 y，得()()()()()2222111,.,knkkkkniikkkkkinkna tNfa x a yfa x fa y taaa ta x a yttx y=+因为当k 时，()1,knttx y+，所以()()()22111,1.nkkkkniikkiNfa x a yfa x fa y taa=(9)结合(N4)和(9)得()()()()()()()()()()()()212112211,min,31,311,31.nkkniinnkinnkkiiiikiinkkkkniikkitN HxyHx Hy tN Hxyfa x a yatNfa x fa yHx HyatNfa x a yfa x fa yaa=故()()()1nniiiHxyHx Hy=，其中x。证毕。下面给出由定理 3.1 所得到的两个推论。推论推论 3.2：设(),N是模糊(复)Banach 代数，实数,0,1a b。假设):0,n+和):0,n+是由函数所组成的序列，且存在常数0,1，有()()()()(),nnnntN faxbyafxbfyttx y+和()()()()1,nniiintNfxyfx fy ttx y=+成立，则存在唯一的高环同态1nnH=使得对每个正整数 n 和0t，有()()()()()()1,.1,0nnntNfxHxttax+证明证明：根据定理 3.1 的证明，类似考虑完备广义度量空间(),X d和压缩映射 J，并定义 J 为 罗小淋，陈琳 DOI:10.12677/orf.2023.134372 3706 运筹与模糊学 ()().nnxJ gxaga=令,nnghS，存在某个0，使得()()(),nnd gxhx=。因为()()()()()()()()()()()()()()()111111111,0,0,0nnnnnnnN JgxJhxtN ga xha xatatata xatataxttx=+=+所以()()()()()(),.nnnnd JgxJhxd gxhx 故 J 是压缩映射。由(6)可得()()()()()()()()()()111111,0.,0nnnnnnN JfxfxatN afxfxataatata xttx=+故(),nnd Jffa，利用不动点方法，有()()()()111,11nnnnd fHd fJfa 和()1:lim.knnkkHxNa fxa=剩余部分证明与定理 3.1 类似。证毕。推论推论 3.3：设(),N是模糊(复)Banach 代数，实数,0,1a b 和,0nn。假设由函数所组成的序列):0,n+和):0,n+，且当01a；当1a 时01p，有()()()()(),nnnppntNfaxbyafxbfyttxy+和()()()1,nniippintNfxyfx fy ttxy=+罗小淋，陈琳 DOI:10.12677/orf.2023.134372 3707 运筹与模糊学 成立，则存在唯一的高环同态1nnH=使得对每个正整数 n 和0t，有()()()()()111,.1pnnppnaatN fxHxtaatx+证明证明：根据定理 3.1 的证明，令()(),ppnnx yxy=+和(),ppnnx yxy=。采取相同方法，选取，分别为1pa和22pa，可证得该推论。下面将研究高环同态在 Banach 代数上的模糊连续性。假设定理 3.1 是成立的，并使用定理 3.1 中的术语。定理定理 3.4：若对任意的,xu?，从?的映射()nufux是模糊连续的和从)0,+?的映射(),0nuux是模糊连续的，则映射()nuHux也是模糊连续的。证明证明：固定0,0,01xX ut+于是，根据(5)和()()1:limknnkkHxNfa xa=，利用nH的可加性，推得()()()()()()()000000000000001112,22,33222212132,0.kkknnnnkkkkkknttNfu xHu xNfu xHu xatatu x=+因为映射()nufux和(),0nuux是模糊连续的，所以存在01，使得当00uu 和()()()()()()00000002121.2132,02132,0kkkkkknnatatatuxatu x+于是，可得()()()()()()()()()()()()()()()()000000000000000000001112,22,33222212132,021212132,02132,0212132,02.kkknnnnkkkkkknkkkkkknnkkknttNfuxHuxNfuxHuxatatuxatatatuxatu xatatu x=+罗小淋，陈琳 DOI:10.12677/orf.2023.134372 3708 运筹与模糊学 故而()()()()()()()()()000000000000111,min2,22,3322212,32.kkknnnnnnkkkknknttN HuxHu xtN HuxfuxNfuxfu xtNfu xHu x 因此，结合定义 2.8 就可证得映射()nuHux也是模糊连续的。推论推论 3.5：在定理 3.4 满足的情况下，对任意的?和x，有()()nnHaxaHx=成立。证明证明：在式(8)中，设 k 为正整数。令0y=，得()()nnHaxaHx=，所以1k=时是成立的。又令axby=，则()()()()()22,nnnnnnaaHaxaHxbHxaHxbHxaHxbb=+=+=所以2k=时是成立的。现用数学归纳法，假设()km m?时是成立的，我们证明当1km=+时，()()nnHkaxkaHx=也是成立的。我们令maxyb=，则()()()()()()()()11,nnnnnnnHmaxHaxbymaaHxbHxbmaaHxbHxbmaHx+=+=+=+=+所以1km=+时也是成立的。设,p q?，则()11.nnnpHaxpaHxpaHxqqq=故对任意的r?有()()nnHraxraHx=。令?，则存在一个有理数列()iri?使得ir。又 因为()nHx的连续性，所以有()()()()limlimnniinniiHaxHraxraHxaHx=成立。4.总结总结 本文通过利用不动点定理，结合模糊范数的定义与性质，证明了在模糊 Banach 代数上高环同态的Hyers-Ulam-Rassias 稳定性。通过改变控制函数的条件和控制函数的形式，得到了两个推论。此外，我们结合模糊连续的定义，证得了高环同态的模糊连续性。这一结果对于后续研究其它同态在模糊 Banach 代数上的稳定性和连续性有一定的借鉴作用。致致 谢谢 感谢匿名审稿人的宝贵修改建议，这些大大提高了论文的发表。本论文得到了国家自然科学基金(No.12061018)的资助。参考文献参考文献 1 Ulam,S.M.(1960)Collection of Mathematical Problems.罗小淋，陈琳 DOI:10.12677/orf.2023.134372 3709 运筹与模糊学 2 Hyers,D.H.(1941)On the Stability of the Linear Functional Equation.Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America,27,222-224.https:/doi.org/10.1073/pnas.27.4.222 3 Aoki,T.(1950)On the Stability of the Linear Transformation in Banach Spaces.Journal of the Mathematical Society of Japan,2,64-66.https:/doi.org/10.2969/jmsj/00210064 4 Rassias,Th.M.and Themistocles,M.(1978)On the Stability of the Linear Mapping in Banach Spaces.Proceedings of the American Mathematical Society,72,297-297.https:/doi.org/10.1090/S0002-9939-1978-0507327-1 5 Gvruta,P.(1994)A Generalization of the Hyers-Ulam-Rassias Stability of Approximately Additive Mappings.Jour-nal of Mathematical Analysis and Application,184,431-436.https:/doi.org/10.1006/jmaa.1994.1211 6 纪培胜,赵英姿.Jensen-二次函数方程及其 Hyers-Ulam 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