必修四数学重点内容.doc

新课程高中数学必修4基础知识汇整第一部分 三角函数与三角恒等变换1任意角和弧度制 1弧度角：等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度角 弧度数公式： 角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度. 弧长公式：；扇形面积公式：.2三角函数定义： 设是一个任意角，终边与单位圆交于点P(x,y)，那么y叫作的正弦，记作sin；x叫作的余弦，记作cos；叫作的正切，记作tan. 角中边上任意一点为，设，则：.三角函数在各象限的符号规律：一全二正弦，三切四余弦.3三角函数线：正弦线：MP； 余弦线：OM； 正切线： AT.4诱导公式： 角函数正弦余弦正切/六组诱导公式统一为“”，记忆口诀一：奇变偶不变，符号看象限.记忆口诀二：纵变横不变，符号看象限.5同角三角函数基本关系：（平方和关系）；（商数关系）.6两角和与差的正弦、余弦、正切： ； ； .两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用：7辅助角公式：=. 8二倍角公式： ； ； .变形：升幂公式： ; 降幂公式：； . 9.物理意义：物理简谐运动，其中. 振幅为A，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为，表示物体在单位时间内往返运动的次数；为相位；为初相.10三角函数图象与性质：函 数图象作图：五点法作图：五点法作图：三点二线定义域（，）（，）值域1，11，1（，）极值当x2k,ymax=1极大；当x2 kymin=-1当x2k,ymax1；当x2k,ymin1无奇偶奇函数偶函数奇函数T22单调性递增递减递增递减递增（注：表中k均为整数）11. 正弦型函数的性质及研究思路： 最小正周期，值域为. 五点法图：把“”看成一个整体，取时的五个自变量值，相应的函数值为，描出五个关键点，得到一个周期内的图象. 三角函数图象变换路线： . 或： . 单调性：的增区间，把“”代入到增区间，即求解. 整体思想：把“”看成一个整体，代入与的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.第二部分 平面向量1. 向量与数量：在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量称为数量. 向量常用有向线段来表示，记为或（起点A，终点B）. 向量的大小叫做向量的长度（或模），记为或. 规定长度为0的向量叫做零向量，记为；长度等于1个单位的向量称为单位向量.2. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作，并规定零向量平行于任意一个向量. 平行向量都可以移到同一直线上，因而也叫共线向量. 方向相同且长度相等的向量称为相等向量，记作. 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为，规定零向量的相反向量仍是零向量. 3. 向量加减法：向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.如图所示，已知非零向量，在平面内任取一点O， 作，则向量. 若作，则向量.向量的加减法满足：交换律；结合律.向量不等式：对于任意两个向量，有.向量加法多边形法则：向量首尾相接，结果首尾连.4. 向量数乘运算：实数与向量的乘积仍然是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作，并规定： ；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 数乘运算满足下列运算律：分配律、；结合律.对于任意向量，以及任意实数，恒有.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.5. 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.向量夹角：对两个非零向量，在平面内任取一点O，作，则叫做向量与夹角. 当与夹角是90时，与垂直，记作.正交分解：依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量，均可分解为不共线的两个向量与，使. 若把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，则对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x、y，使得. 即平面内的任意向量都可由x、y唯一确定，把有序数对（x,y）叫做向量的坐标，记作，式子叫做向量的坐标表示.6. 平面向量的数量积运算：，其中是与的夹角，叫做向量在方向上的投影. 的几何意义：数量等于的长度与在的方向上的投影的乘积. 把记作，有性质，从而. 数量积运算满足下列运算律：交换律：；数乘结合律：；分配律：. 力作功： 一个物体在力的作用下产生位移，那么力所作的功，其中是与的夹角，从而.7. 平面向量的坐标运算：设，则加减法：，；数乘：；向量数量积：；模：；距离：；夹角： .8. 向量共线：设，其中，若共线，当且仅当存在实数，使，即. 由此可证明平行问题、三点共线等.9. 向量垂直：对于平面内任意两个非零向量， . 设，则. 10. 线段定比分点的坐标：已知点，点是线段上的一个分点，且，则有，即，由此得到 . 若，得到线段中点坐标公式.11.向量知识与平面几何的联系：平面几何问题向 量 方 法求线段AB的长度转化为求向量的长度：.求两条线段的夹角由数量积求夹角或.证明两条直线垂直转化为两个非零向量的数量积为0，即.证明两条直线平行转化为证明两个非零向量共线，即12. 向量法解决平面几何问题三步曲：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等；（3）把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.