《材料力学》压杆稳定习题解.doc

第九章 压杆稳定 习题解习题9-1 在9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得公式又是否相同。解： 挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：。 习题9-2 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为：。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 原压相的相当长度的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。（a）（b）（c）（d）（e）（f）（下段）；（上段）故图e所示杆最小，图f所示杆最大。习题9-3 图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。 螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为的压杆是否偏于安全？解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素，其临界力为：。但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素，因此，不能用来计算临界力。 为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度，且无侧向位移，则：令，得： 微分方程的通解为： 由边界条件：，；，解得： ，整理后得到稳定方程：用试算法得： 故得到压杆的临界力：。因此，长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C有关，C越小，则值越大。当时，。 螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度，则： ，。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。习题9-4 试推导两端固定、弯曲刚度为，长度为的等截面中心受压直杆的临界应力的欧拉公式。 解：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用表示，下标表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象，则的转向为逆转。，令，则 上述微分方程的通解为：.(a)边界条件： ；： ；。 ：；。把A、B的值代入（a）得： 边界条件： ；：， ： 以上两式均要求：， 其最小解是：，或。故有：，因此：。习题9-5 长的10号工字钢，在温度为时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数，。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性？解： 习题9-6 两根直径为的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力的算式。解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳： （b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。 （c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳 故面外失稳时最小：。习题9-7 图示结构ABCD由三根直径均为的圆截面钢杆组成，在B点铰支，而在A点和C点固定，D为铰接点，。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。解：杆DB为两端铰支 ，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取 。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 习题9-8 图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的角（假设）。解：要使设计合理，必使AB杆与BC杆同时失稳， 即：习题9-9 下端固定、上端铰支、长的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力，试求压杆的许可荷载。解：查型钢表得： 习题9-10 如果杆分别由下列材料制成：（1）比例极限，弹性模量的钢；（2），含镍3.5%的镍钢；（3），的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解：（1） （2） （3） 习题9-11 两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm150mm的正方形，长度 ，强度许用应力。试求木柱的许可荷载。解： 由公式（9-12a）： A习题9-12 图示结构由钢曲杆AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。已知结构所有的连接均为铰连接，在B点处承受竖直荷载，木材的强度许用应力。试校核BC杆的稳定性。解：把BC杆切断，代之以轴力N，则由公式（912b）得：因为，所以压杆BC稳定。习题9-13 一支柱由4根的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长，压力为。若材料为Q235钢，强度许用应力，试求支柱横截面边长a的尺寸。解： （查表： ， ），查表得： m4= mm习题9-14 某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，。若按两端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。解：由型钢表查得 角钢： 得 查表： 故 习题9-15 图示结构中，BC为圆截面杆，其直径；AC边长的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A端固定，B、C为球形铰。两杆的材料均为Q235钢，弹性模量，可各自独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全系数，试求所能承受的许可压力。解：BC段为两端铰支， AB杆为一端固定，一端铰支， 故 习题9-16 图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度等级为TC15。若架上受集度为 的均布荷载作用，AB两端为柱形铰，材料的强度许用应力 ，试求撑杆所需的直径d。解：取以上部分为分离体，由 ，有设 ， m则 求出的 与所设 基本相符，故撑杆直径选用 m。习题9-17 图示结构中杆AC与CD均由Q235钢制成，C，D两处均为球铰。已知 mm， mm， mm； ， ， ；强度安全因数 ，稳定安全因数 。试确定该结构的许可荷载。解：（1）杆CD受压力 梁BC中最大弯矩 （2）梁BC中 （3）杆CD （Q235钢的 = （由梁力矩平衡得） 故，由（2）、（3）可知，习题9-18 图示结构中，钢梁AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根角钢组成，杆CD符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度。梁及柱的材料均为Q235钢，。试验算梁和立柱是否安全。解：（1）求多余约束力把CD杆去掉，代之以约束反力。由变形协调条件可知，查型钢表得：16号工字钢的，L形角钢的面积：，（2）梁的强度校核 （） AC段：； 令 ，得：当时， CB段： x00.7671233.2334M0.000 14.119 12.817 -22.367 12.817 14.119 0.000 因为 所以 符合正应力强度条件，即安全。（3）立桩的稳定性校核 由柔度查表得稳定因素 因为， ，而且， 所以压杆会失稳。不安全。16 / 16