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高考高分之路对一道高考题解法的探究靳康杰(东北师范大学信息科学与技术学院 1 3 0 1 1 7)【摘要】针对2 0 2 1年新高考卷第7小题做进一步深入的探讨.【关键词】高考试题;反思题目(2 0 2 1年新高考卷第7小题)若过点(a,b)可以作y=ex的两条切线,则()(A)eaa (B)eab(C)0aeb (D)0b0在R上恒成立,所以y=ex在R上单调递增,且y=ex0在R上恒成立.做出函数y=ex的图像,可知点N a,b 若在x轴下方只能作出y=ex的一条切线,如图1所示.由于y 0在R上恒成立,若点(a,b)在x轴上时,则该点与其中一个切点的连线的斜率等于0,这与导函数y 0恒成立矛盾,即点(a,b)必须在x轴上方.图1若点A1(a,b)在曲线y=ex的上方,此时切线不存在,如图2所示;若点A2(a,b)在曲线y=ex上,只有一条切线,如图3所示;若点A3(a,b)在曲线y=ex的下方,且在x轴上方,此时有两条切线,如图4所示.由数形结合可知0bea,故选D.反思 解完题目自然会产生这样的问题:点在什么位置时,可以作曲线的一条切线?在什么位置时,有两条切线?在什么位置时,不能作曲线的切线?下面做一剖析.图2图3图4简析 设过点a,b 作曲线y=ex的切线L,352 0 2 3年1 1月上高考高分之路 数理天地 高中版切点为M(x0,ex0),如图5所示.则L:y-ex0=ex0(x-x0)图5因L过点(a,b),所以b-ex0=ex0(a-x0)即(x0-a-1)ex0+b=0 *所以过点(a,b)作曲线y=ex的切线条数即为方程*有几个不相等的根,即g(x0)=(x0-a-1)ex0+b的零点个数g(x0)=(x0-a)ex0,令g(x0)=0,则x0=a当x0(-,a)时,g(x0)0所 以g x0 在-,a 上 单 调 递 减,在a,+上单调递增所以当x0=a时,gx0 取最小值gx0 =b-ex0(1)当b ea时,g x0 0,g x0 无零点,不符合题意(2)当b=ea时,g x0 =0,g x0 有且仅有一个零点,不符合题意(3)当bea时,g a 0且当x0-时,g x0 b;当x0+时,g x0 +若b0因为x0-时,g x0 b0又g x0 在-,a 上单调递减所以当x0-,a 时,g x0 0因为x0 -时,g x0 b0;x0=a时,g x0 =b-ea0;x0+时,g x0 +且g x0 在-,a 上 单 调 递 减,在a,+上单调递增所以g x0 在-,a 上 有 一 个 零 点,在a,+上有一个零点.综上所述,当b0时或者当b=ea时,只能作一条切线;当0bea时,不能作曲线的切线.参考文献:2 0 2 1年新高考卷第7小题 数理天地2 0 2 4年杂志扩版启事 数理天地 杂志自2 0 2 2年改版以来,受到广大作者和读者的肯定和支持,因当前版面有限,无法满足日益增长的投稿需求。为更好的支持数理教育事业的发展,经研究决定2 0 2 4年由9 6页扩版到1 2 8页,我刊特此加大编辑力量的投入,组建社外审稿队伍,以更高质量更好内容回馈广大读者。45 数理天地 高中版高考高分之路2 0 2 3年1 1月上