用拟从属关系定义的非Baz...levic函数类的系数估计_傅秀莲.pdf

第 33 卷第 1 期广东石油化工学院学报Vol 33No 12023 年 2 月Journal of Guangdong University of Petrochemical TechnologyFebruary 2023用拟从属关系定义的非 Bazilevic 函数类的系数估计傅秀莲，孔宇彦(广东工贸职业技术学院 计算机与信息工程学院，广东 广州 510510)摘要:用拟从属定义了新的非 Bazilevic 函数类，应用解析函数的基本不等式和分析技巧，得到了该函数的系数 a2和 a3的有界估计以及 Fekete Szeg 不等式，推广了一些已有的结论。关键词:拟从属;非 Bazilevic 函数;系数估计;Fekete Szeg 不等式中图分类号:O174 51文献标识码:A文章编号:2095 2562(2023)01 0048 04对于复数集合 C，用 A 表示在单位圆盘 D=z zC，|z|1 内具有如下形式:f(z)=z+n=2anzn的全体解析函数所成的函数类。用 S 表示在 A 中全体单叶函数族。1970 年，obertson1 引入拟从属的定义，如下:设 f(z)和 g(z)在 D 内解析，如果存在 D 内的解析函数h(z)和 w(z)，使得 f(z)/h(z)在 D 内解析且|h(z)|1 和 w(0)=0，|w(z)|1 满足 f(z)=h(z)g(w(z)，则称函数 f(z)在 D 内拟从属于 g(z)，记为 f(z)qg(z)。当 h(z)1 时，f(z)=g(w(z)，此时称函数 f(z)在 D 内从属于 g(z)，记为 f(z)g(z)。当 w(z)=z 时，f(z)=h(z)g(z)，此时函数 f(z)在 D 内优于 g(z)，记为 f(z)g(z)。显然，从属关系和优于关系是拟从属的两种特殊情形。1998 年，Obradovic2 引入了非 Bazilevic 函数，定义如下:设函数 f(z)A，若满足不等式 e f(z)zf(z)1+0，zD，0 1，则 f(z)称为非 Bazilevic 函数。文献 3 6 研究了拟从属子类的 Fekete Szeg7 不等式，得到很多不同的结果。其中，郭栋等6 结合了非 Bazilevic 函数和拟从属定义，给出了 Nq(，)函数类，定义如下:设 0 1，若函数 f(z)A 满足f(z)(zf(z)1+1q(z)1，则称 f(z)Nq(，)。本文给出 Nq(，)的推广函数类 Nq(，)，结合微分从属理论，应用解析函数的基本不等式和分析技巧，计算得到了推广函数 Nq(，)的系数 a2和 a3的有界估计和 Fekete Szeg 不等式，并推广了一些已有的结论。函数类 Nq(，)的定义如下:定义 1设 0 1，C，zD，函数 f(z)A 且满足下列式子(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+1q(z)1(1)则记 f(z)Nq(，)。在定义 1 中，若取参数 =1，可得 Nq(，1，)=Nq(，)。1预备知识为了得出本文主要结果，需要以下引理。收稿日期:2022 09 21;修回日期:2022 11 01基金项目:广东省自然科学基金(2021A1515010058);广东工贸职业技术学院科研项目(2019 ZK 07)作者简介:傅秀莲(1979)，女，广东广州人，硕士，副教授，主要研究方向为复分析及其应用。引理 1设 h(z)=c0+c1z+c2z2+在 D 内解析，且|h(z)|1，则|c0|1，|c1|1|c0|28。引理 2设 w(z)=w1z+w2z2+在 D 内解析，且|w(z)|1，则对任意实数 t 有|w1|1，|w2 tw21|max 1，|t|。当函数 w(z)=z2或者 w(z)=z 时，等号成立9。2主要结果为了方便叙述，本文规定 w(z)=w1z+w2z2+，h(z)=c0+c1z+c2z2+，(z)=1+B1z+B2z2+(B10，Bn)。我们有下面的结论:定理 1设函数 f(z)由式 f(z)=z+n=2anzn给出，若 f(z)Nq(，)，为复数，则有|a2|B1|+|，|a3|B1|+2|1+max 1，|B2B1|+|(+1)(+2)2(+)2|B1(2)|a3 a22|B1|+2|1+max 1，|B2B1|+|(1+2)(+2)2(+)2|B1(3)且对所有的 等号都成立。证明:因为 f(z)Nq(，)，则由定义可知，存在满足|h(z)|1，w(0)=0 和|w(z)|1 的两个解析函数 h(z)和 w(z)，使得(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+1=h(z)(w(z)1)(4)将 f(z)=z+n=2anzn，代入式(4)的左边，经过计算可得(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+1=(+)a2z+(+2)a3+(+2)(+1)2a22 z2+(5)把 h(z)，(z)和 w(z)的幂级数展开式代入式(4)的右边，经过计算可得h(z)(w(z)1)=B1c0w1z+B1c1w1+c0(B1w2+B2w21)z2+(6)结合式(4)式(6)，可得(+)a2=B1c0w1;(+2)a3+0 5(+2)(+1)a22=B1c1w1+c0(B1w2+B2w21)(7)对式(7)应用引理 1 和引理 2，可得|a2|B|+|结合式(7)可得a3=B1(+2)c1w1+c0 w2(B2B1+(+1)(+2)2(+2)2B1c0)w21(8)a3 a22=B1(+2)c1w1+c0 w2(B2B1+(1+2)(+2)2(+)2)w21(9)对式(8)和式(9)应用引理 1 和引理 2，可得(式(8)、式(9)中，a3改为|a3|，a3 a22改为|a3 a22|)|a3|B1|+2|1+|w2B2B1+(+1)(+2)2(+2)2B1c0 w21|B1|+2|1+max 1，|B2B1+(+1)(+2)2(+)2B1c0|B1|+2|1+max 1，|B2B1|+|(+1)(+2)2(+)2|B1 ，|a3 a22|B1(+2)1+|w2B2B1+(1+2)(+2)2(+)2B1c0 w21|B1|+2|1+max 1，|B2B1+(1+2)(+2)2(+)2B1c0|94第 1 期傅秀莲等:用拟从属关系定义的非 Bazilevic 函数类的系数估计B1|+2|1+max 1，|B2B1|+|(1+2)(+2)2(+)2|B1 当满足(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+1=(1+z)(z2)1)或(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+1=(1+z)(z)1)时，式(3)和式(4)等号成立。定理 1 得证。令 h(z)=1，由定理 1 的证明过程可得推论 1。推论 1设函数 f(z)由式 f(z)=z+n=2anzn给出，为复数，若 f(z)满足(1+)(zf(z)f(z)(zf(z)1+(z)，则有|a2|B1|+|，|a3|B1|+2|max 1，|B2B1|+|(+1)(+2)2(+)2|B1|a1 a22|B1|+2|max 1，|B2B1|+|(1+2)(+2)2(+)2|B1 且对所有的 等号都成立。在定理 1 中，取 =0 可得推论 2。推论 2设函数 f(z)由式 f(z)=z+n=2anzn给出，若 f(z)Nq(，0，)，为复数，则有|a2|B1，|a3|B1 1+max 1，|B2B1|+|+1|2B1|a3 a22|B1 1+max 1，|B2B1|+|1+2|2B1 且对所有的 等号都成立。在定理 1 中，取 =1，可以得到文献 6 的定理 1。3结语定义了非 Bazilevic 函数类 Nq(，)，结合微分从属理论，应用解析函数的基本不等式和分析技巧，经过计算，得到了该函数的系数 a2和 a3的有界估计和 Fekete Sze 不等式，推广了一些已有的结论。参考文献 1OBETSON M S Quasi subordination and coefficient conjectures J Bulletin of the American Mathematical Society，1970，76:1 9 2OBADOVIC M A class of univalent functions J Hokkaido Math J，1998(2):329 335 3敖恩，李书海，斯琴其木格，等 用广义 Slgean 算子定义的复阶 P 叶解析函数的 Fekete Szeg 不等式 J 数学的实践与认识，2018(1):303 311 4MAGESH N，YAMINI J Fekete Szeg inequalities associated with kthroot transformation based on quasi sorbordination J Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis，2017，16:7 15 5SAHOO P Fekete Szeg Problems for Certain Class of Analytic Functions Associated with Quasi Subordination J Journalof Mathematics andApplicatons，2017，40:161 170 6郭栋，李宗涛 由拟从属定义的 Non Bazilevic 函数类的 Fekete Szeg 不等式 J 伊犁师范学院学报(自然科学版)，2019(3):1 4 7FEKETEM，SZEG G Eine Bermrkung uberungerade schlichte funktionen J J London Math Soc，1993，8:85 89 8KEOGH F，MEKES E P A coefficient inequality for certain classes of analytic functions J Proc Amer Math Soc，1969，20:8 1205广东石油化工学院学报2023 年 9MAW C，MINDAD Aunifined treatment of some special classes of univalent functions J In Proceedings of the Conference onComplexAnalysis，1994，1:157 169Coefficient Estimates of Non Bazilevic Functions Defined byQuasi subordinationFU Xiulian，KONG Yuyan(College of Computer and Information Engineering，Guangdong Polytechnic of Industry and Commerce，Guangzhou 510510，China)Abstract:A new subclass of non Bazilevic type function is defined by quasi subordination By the fundamental inequalities ofanalytic functions and analytical techniques，the corresponding bound estimates of the a2and a3coefficients，and the fekete Szeginequality are obtained，which generalizes some earlier worksKey words:bi univalent function;non Bazilevic function;coefficient estimates;Fekete Szeg inequality(责任编辑:黄容)(上接第 47 页)Mayfly Optimization Algorithm with Adaptive OppositionLearning and Hybrid Gravitational SearchTONG Lin，WU Yun，WU Xueyan，WU Xiao，JIANG Jiayu(College of Science，Jiujiang University，Jiujiang 332005，China)Abstract:To address the shortcomings of the mayfly optimization algorithm(MA)，which has a weak global exploration capabilityand easily falls into local optimum，two improvement strategies are proposed:updating the velocity equation of mayflies by using thegravitational search algorithm to enhance the global exploration capability and local exploitation capability of the MA algorithm;exe-cuting a adaptive opposition learning strategy on the mayfly population to improve the convergence speed and solution accuracy of thealgorithm Firstly，six variants of the algorithm are obtained by introducing the two strategies into the male and female populationsrespectively Then，12 test functions are selected and numerical experiments are conducted，and the results show that the variant ofthe algorithm which mixes the male mayfly with the gravitational search algorithm and introduces adaptive opposition learning strategyinto the female mayfly has the best performance，and is named the GSA OMA algorithm Finally，the GSA OMA algorithm iscompared experimentally with eight meta heuristic optimization algorithms，and the results show that the GSA OMA algorithm hasbetter optimization finding accuracy and convergence speedKey words:mayfly optimization algorithm;gravitational search algorithm;adaptive opposition learning(责任编辑:黄容)15第 1 期傅秀莲等:用拟从属关系定义的非 Bazilevic 函数类的系数估计