四川成都青羊区外国语学校2025年数学高二上期末质量检测模拟试题含解析.doc

四川成都青羊区外国语学校2025年数学高二上期末质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以下说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位
③线性回归方程必过
④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；
⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。
其中错误的个数是（）
A.0 B.1
C.2 D.3
2．已知且，则的值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
3．若圆与圆外切，则（ ）
A. B.
C. D.
4．某救援队有5名队员，其中有1名队长，1名副队长，在一次救援中需随机分成两个行动小组，其中一组2名队员，另一组3名队员，则正、副队长不在同一组的概率为（）
A. B.
C. D.
5．已知一组数据为：2，4，6，8，这4个数的方差为（）
A.4 B.5
C.6 D.7
6．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（）

A.1 B.2
C.-1 D.-2
7．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C方程为（）
A. B.
C. D.
8．2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”，并在轨驻留3个月，开展舱外维修维护，设备更换，科学应用载荷等一系列操作．已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近地点与地面的距离大约是，远地点与地面的距离大约是，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约是（ ）

A. B.
C. D.
9．复数的虚部为（）
A. B.
C. D.
10．对数的创始人约翰·奈皮尔（John Napier，1550-1617）是苏格兰数学家．直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，特别是大数的连乘，需要花费很长时间．基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法．现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4．那么的数位是（）（注）
A.6 B.7
C.606 D.607
11．直线平分圆的周长，过点作圆的一条切线，切点为，则（）
A.5 B.
C.3 D.
12．已知点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．半径为R的圆外接于，且，若，则面积的最大值为________.
14．设P为圆上一动点，Q为直线上一动点，O为坐标原点，则的最小值为___
15．与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是________
16．若复数z=为纯虚数（），则|z|=_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在棱长为的正方体中，为中点

（1）求二面角的大小；
（2）探究线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由
18．（12分）如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是△的中线，点E是棱的中点

（1）证明：∥平面
（2）若平面平面，且，求平面与平面夹角余弦值
（3）在（2）条件下，求点D到平面的距离
19．（12分）已知圆C经过、两点，且圆心在直线上
（1）求圆C的方程；
（2）若直线经过点且与圆C相切，求直线的方程
20．（12分）已知椭圆一个顶点恰好是抛物线的焦点，椭圆C的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）从椭圆C在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P，若椭圆C上有两个点A，B使得的平分线垂直于坐标轴，且点B与点A的横坐标之差为，求直线AP的方程.
21．（12分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，点M在抛物线C的准线上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM

（1）当λ＝3时，求|AB|的值；
（2）当λ∈[]时，求|+|的最大值
22．（10分）已知函数图像在点处的切线方程为.
（1）求实数、的值；
（2）求函数在上的最值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.
2、C
【解析】由空间向量数量积的坐标运算求解
【详解】由已知，解得
故选：C
3、C
【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，圆与圆
可得，，
因为两圆相外切，可得，解得
故选：C.
4、C
【解析】求出基本事件总数与正、副队长不在同一组的基本事件个数，即可求出答案.
【详解】基本事件总数为
正、副队长不在同一组的基本事件个数为
故正、副队长不在同一组的概率为.
故选：C.
5、B
【解析】根据数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由平均数的计算公式，可得，
所以这4个数的方差为
故选：B.
6、D
【解析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】四面体所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，
，
所以.
故选：D
7、C
【解析】设出圆心坐标，根据垂直直线的斜率关系求得圆心坐标，结合两点距离公式得半径，即可得圆方程
【详解】设圆心为，则圆心与点的连线与直线l垂直，即，
则点，所以圆心为，半径，
所以方程为，
故选：C
8、A
【解析】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，根据题意列出方程组，解方程组即可.
【详解】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为，其中，
根据题意有，，
所以，，
所以椭圆的离心率
故选：A
9、D
【解析】直接根据.复数的乘法运算结合复数虚部的定义即可得出答案
【详解】解：，
所以复数的虚部为.
故选：D.
10、D
【解析】根据已知条件，设，则，求出t的范围，即可判断其数位.
【详解】设，则，则，则，
，的数位是607.
故选：D.
11、B
【解析】根据圆的性质，结合圆的切线的性质进行求解即可.
【详解】由，
所以该圆的圆心为，半径为，
因为直线平分圆的周长，
所以圆心在直线上，故，
因此，，所以有，
所以，
故选：B
12、C
【解析】分析可知圆的圆心为抛物线的焦点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.
【详解】设点的坐标为，有，
由圆的圆心坐标为，是抛物线的焦点坐标，有，
由圆的几何性质可得，
又由，可得的最小值为
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用正弦定理将已知条件转化为边之间的关系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面积公式，结合两角差的正弦函数公式和二倍角公式得，再利用辅助角公式得，最后利用函数的值域计算得结论.
【详解】因为
所以由正弦定理得：，
即，
所以由余弦定理可得：，
又，
故.
由正弦定理得：，，
所以

，
所以当时，S最大，.
若，则面积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，函数的图象与性质，属于中档题.
14、4
【解析】取点，可得，从而，，从而可求解
【详解】解：由圆，得圆心，半径，
取点A（3，0），则，
又，∴，∴，
∴，当且仅当直线时取等号
故答案为：

15、平行，相交或者异面
【解析】由空间中两直线的位置关系求解即可
【详解】由题意与同一条直线都相交的两条直线的位置关系可能是：
平行，相交或者异面，
故答案为：平行，相交或者异面，
16、
【解析】利用复数z=为纯虚数求出a，即可求出|z|.
【详解】z=.
由纯虚数的定义知，，解得.
所以.故|z|=.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）点为线段上靠近点的三等分点
【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出点的坐标，求出两个平面的法向量代入公式求解即可；
（2）假设存在，设，利用相等向量求出坐标，利用线面平行的向量法代入公式计算即可.
【小问1详解】
如下图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．所以，
设平面的法向量，所以，即，
令，则，，所以，
连接，因为，，，平面，
平面，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
所以，
由图知，二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
【小问2详解】
假设在线段上存在点，使得平面，
设，，
，
因为平面，所以，即
所以，即解得
所以在线段上存在点，使得平面，
此时点为线段上靠近点的三等分点
18、（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】（1）连接、，平行四边形的性质、线面平行的判定可得平面、平面，再根据面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性质可证结论；
（2）取的中点为，连接，证明出平面，，以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值.
（3）利用等体积法，求D到平面的距离
【小问1详解】
连接、，由、分别是棱、的中点，则，
平面，平面，则平面
又，且，
∴且，四边形是平行四边形，则，
平面，平面，则平面
又，可得平面平面．又平面
∴平面
【小问2详解】
由知：，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面
取的中点为，连接、，
由且，故四边形为平行四边形，
故，则△为等边三角形，故，
以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

易知，，
所以、、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，令，得
设平面的法向量为，则，令，得
设平面与平面所成的锐二面角为．则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为
【小问3详解】
由（2）知：平面，则是三棱锥的高且，
四边形为平行四边形，又，即为菱形，
∴，而，则，且，
∴，故.

又，由上易知：△为等腰三角形且，
∴，则D到平面的距离.
19、（１） ；（２）
【解析】（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦的垂直平分线的方程与联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线斜率不存在时，与圆相切，方程为；当直线斜率存在时，设斜率为，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出的值.
试题解析：（1）依题意知线段的中点坐标是，直线的斜率为，
故线段的中垂线方程是即，
解方程组得，即圆心的坐标为，
圆的半径，故圆的方程是
（2）若直线斜率不存在，则直线方程是，与圆相离，不合题意；若直线斜率存在，可设直线方程是，即，因为直线与圆相切，所以有，
解得或
所以直线的方程是或.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由题意可得关于参数的方程，解之即可得到结果；
（Ⅱ）设直线AP的斜率为k，联立方程结合韦达定理可得A点坐标，同理可得B点坐标，结合横坐标之差为，可得直线方程.
【详解】（Ⅰ）由抛物线方程可得焦点为，
则椭圆C的一个顶点为，即.
由，解得.
∴椭圆C的标准方程是；
（Ⅱ）由题可知点，
设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为，
设，，直线AP的方程为，即.
联立方程组
消去y得.
∵P，A为直线AP与椭圆C的交点，
∴，即.
把换成，得.
∴，解得，
当时，直线BP的方程为，经验证与椭圆C相切，不符合题意；
当时，直线BP的方程为，符合题意.
∴直线AP得方程为.
【点睛】关键点点睛：两条直线关于直线对称，两直线的倾斜角互补，斜率互为相反数.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由面积之比可得向量之比，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，与向量的关系可得的A，B的横坐标的关系联立求出直线AB的斜率，再由抛物线的性质可得焦点弦的值；
（2）由（1）的解法类似的求出AB的中点N的坐标，可得直线AB的斜率与λ的关系，再由λ的范围，求出直线AB的斜率的范围，由题意设直线MF的方程，令y＝﹣1求出M的横坐标，进而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值
【小问1详解】
当λ＝3时，即S△AFM＝3S△BFM，由题意可得＝3，
因为抛物线C：x2＝4y的焦点为F（1，0），准线方程为y＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，
联立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，
显然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，
由＝3，则（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，
①③联立可得x2＝﹣2k，x1＝6k，代入②中可得﹣12k2＝﹣4，
解得k2＝，
由抛物线的性质可得|AB|＝y1+y2+2＝4×+2＝，
所以|AB|的值为；
【小问2详解】
由（1）可得AB中点N（2k，2k2+2），由＝λ，则x1＝﹣λx2④，
同（1）的算法：①②④联立4k2λ＝（1﹣λ）2，因为λ∈[]，
所以4k2＝λ+﹣2，
令y＝λ+，λ∈[]，
则函数y先减后增，所以λ＝2或时，y最大且为2+，此时4k2最大，且为，
所以k2的最大值为：，
直线MF的方程为：y＝﹣x+1，令y＝﹣1，可得x＝2k，
即M（2k，﹣1），
因为|+|＝2||，而|NM|＝|2k2+2+1|＝2k2+3≤2×+3＝，
所以|+|的最大值为
22、（1）a=3，b=-9.
（2）最小值=-24，最大值=8.
【解析】由曲线在的值以及切线斜率容易确定a与b的值；
根据导数很容易确定函数单调区间以及极值点.
【小问1详解】
，，
，由于切线方程是，
当x=1时，y=-8，即，即=-8……①；
又切线的斜率为-12，∴……②；
联立①②得.
【小问2详解】
由（1）得：，；
当时，，导函数图像如下：

在时，单调递增，时，单调递减，
时单调递增；
∴在x=-1有极大值，x=3有极小值；
在区间内：
在x=-1有最大值；
在x=3有最小值.