2025年上海市五爱中学高一数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2025年上海市五爱中学高一数学第一学期期末统考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）
①；②；③；④
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
2．已知全集，集合，，则∁U(A∪B ) =
A. B.
C. D.
3．设，，，则、、的大小关系是
A. B.
C. D.
4．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知角α的终边过点P(4，－3)，则sinα＋cosα的值是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数对任意实数都满足，若，则
A.-1 B.0
C.1 D.2
7．函数，其部分图象如图所示，则（）

A. B.
C. D.
8．设，且，则（）
A. B.
C. D.
9．函数f（x）=+的定义域为（　　）
A. B.
C. D.
10．不等式的解集是（）
A B.
C.或 D.或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则该扇形的弧长为_____cm
12．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程是__________
13．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为__________
14．已知，，与的夹角为60°，则________.
15．已知函数是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则时，__________，函数在区间上的零点个数为 __________
16．设函数，若函数在上的最大值为M，最小值为m，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，求的值
18．已知集合A={x|x2-px+q=0}，B={x|x2-x-6=0}
（Ⅰ）若A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）若∅AB，且p+q＞0，求p，q的值
19．已知幂函数的图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）用定义证明：函数在区间上单调递增.
20．已知的内角满足，若，且，满足：，，，为，的夹角，求
21．（1）化简与求值：lg5＋lg2＋＋21n（π-2）0：
（2）已知tanα＝3．求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】对每个函【解析】判断奇偶性及单调性即可.
【详解】对于①，，奇函数，在和上分别单增，不满足条件；
对于②，，偶函数，不满足条件；
对于③，，奇函数，在R上单增，符合题意；
对于④，，奇函数，在R上单增，符合题意；
故选：D
2、C
【解析】, ,
,∁U(A∪B )=
故答案为C.
3、B
【解析】详解】，，，
故选B
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小
4、C
【解析】根据幂函数和指数函数的单调性比较判断
【详解】∵，，∴.
故选：C
5、A
【解析】由三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得sinα+cosα的值
【详解】∵知角α的终边经过点P（4，-3），
∴sinα，cosα，
∴sinα+cosα
故选：A
6、A
【解析】由题意首先确定函数的周期性，然后结合所给的关系式确定的值即可.
【详解】由可得，
据此可得：，即函数是周期为2的函数，
且，据此可知.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7、C
【解析】利用图象求出函数的解析式，即可求得的值.
【详解】由图可知，，函数的最小正周期为，则，
所以，，由图可得，
因为函数在附近单调递增，
故，则，
，故，所以，，
因此，.
故选：C.
8、C
【解析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围.
【详解】

即

故选：C
【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目.
9、C
【解析】根据分母部位0，被开方数大于等于0构造不等式组，即可解出结果
【详解】利用定义域的定义可得 ，解得，即，
故选C
【点睛】本题考查定义域的求解，需掌握：
分式分母不为0，②偶次根式被开方数大于等于0，③对数的真数大于0.
10、D
【解析】将分式不等式移项、通分，再转化为等价一元二次不等式，解得即可；
【详解】解：∵，，即，等价于且，解得或，∴所求不等式的解集为或，
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用扇形的弧长公式求弧长即可.
【详解】由弧长公式知：该扇形的弧长为(cm).
故答案为：
12、
【解析】，，中点坐标为，圆的半径以为直径的圆的标准方程为，故答案为.
13、
【解析】联立方程组求得交点的坐标为，根据题意求得所求直线的斜率为，结合点斜式可得所求直线的方程.
【详解】联立方程组，得交点，
因为所求直线垂直于直线，故所求直线的斜率，
由点斜式得所求直线方程为，即.
故答案为：.
14、10
【解析】由数量积的定义直接计算.
【详解】.
故答案为：10.
15、 ①. ②.5
【解析】（1）当时，，
∴，
又函数是奇函数，
∴
故当时，
（2）当时，令，得，即，
解得，即，
又函数为奇函数，故可得，且
∵函数是以3为周期的函数，
∴，，
又，
∴
综上可得函数在区间上的零点为，共5个
答案：，5
16、2
【解析】令，证得为奇函数，从而可得在的最大值和最小值之和为0，进而可求出结果.
【详解】设，定义域为,
则，
所以，
即，所以为奇函数，
所以在的最大值和最小值之和为0，
令，则
因为，
所以函数的最大值为，最小值为，
则，
∴
故答案为：2.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2），
【解析】（1）先求得，然后对除以，再分子分母同时除以，将表达式变为只含的形式，代入的值，从而求得表达式的值.（2）利用诱导公式化简已知条件，平方相加后求得的值，进而求得的值，接着求得的值，由此求得的大小.
【详解】（1）

（2）由已知条件，得 ，两式求平方和得，即，所以．又因为，所以，
把代入得．考虑到，得．因此有，
【点睛】本小题主要考查利用齐次方程来求表达式的值，考查利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，考查特殊角的三角函数值.形如，或者的表达式，通过分子分母同时除以或者，转化为的形式.
18、（Ⅰ）{3，1}（Ⅱ）p=6，q=9
【解析】（Ⅰ）可求出B={-2，3}，根据A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}，即可求出集合A；
（Ⅱ）根据条件∅AB即可得出A={-2}，或{3}，再根据p+q＞0即可求出p，q的值
【详解】（Ⅰ）B={-2，3}；
∵A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}；
∴A={3，1}；
（Ⅱ）∵∅AB；
∴A={-2}，或A={3}；
①若A={-2}，则；
∴p+q=0，不满足p+q＞0；
∴A≠{-2}；
②若A={3}，则；
满足p+q＞0；
∴p=6，q=9
【点睛】考查描述法的定义，交集、并集的概念及运算，以及真子集的定义，韦达定理
19、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)设幂函数，由得α的值即可；
(2)任取且，化简并判断的正负即可得g(x)的单调性.
小问1详解】
设，则，解得，∴；
【小问2详解】
由(1)可知，任取且，
则
，
∵，则，，
故，因此函数在上为增函数.
20、
【解析】本题主要是考查了向量的数量积的性质和三角函数中恒等变换的综合运用．先利用得到cosB,然后结合向量的数量积公式以及两角和的正弦公式得到结论.
【详解】解：由题意得：
，即
又

又是的内角，故可知
又

21、（1）；（2）-2
【解析】（1）利用根式和对数运算求解；
（2）利用诱导公式和商数关系求解.
【详解】解：（1），
，
，
；
（2）原式，
，
因为，
所以原式.