2025年江苏省盐城市伍佑中学高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2025年江苏省盐城市伍佑中学高二数学第一学期期末统考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），则的值为（）
A. B.
C. D.
2．已知双曲线，且三个数1，，9成等比数列，则下列结论正确的是（）
A.的焦距为 B.的渐近线方程为
C.的离心率为 D.的虚轴长为
3．已知函数，在上随机取一个实数，则使得成立的概率为（ ）
A. B.
C. D.
4．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（ ）

A.y2＝9x B.y2＝6x
C.y2＝3x D.y2＝x
5．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）
A. B.
C. D.
6．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则等于（ ）
A. B.
C.14 D.16
7．已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）
A.2 B.5
C.1 D.0
8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是

A.3 B.4
C.5 D.6
9．命题：，否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
10．已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（）
A.－1 B.0
C.1 D.－6
11．已知，则在方向上的投影为（）
A. B.
C. D.
12．已知a，b为正实数，且，则的最小值为（）
A.1 B.2
C.4 D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．用秦九韶算法求函数，当时的值时，___________
14．设为第二象限角，若，则__________
15．已知点，，其中，若线段的中点坐标为，则直线的方程为________
16．已知点P为椭圆上的任意一点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，则的最大值为______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
18．（12分）平行六面体，

（1）若，，，，，，求长；
（2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值
19．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.
20．（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是以AC为底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.

（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且，求平面MAP与平面CAP所成角的大小.
21．（12分）已知点、分别是椭圆C：）的左、右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值.
22．（10分）已知函数．若图象上的点处的切线斜率为
（1）求a，b的值；
（2）的极值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】分析出为等腰直角三角形，可得出原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，由此可解得的值.
【详解】圆的圆心为原点，由于且，
所以，为等腰直角三角形，且圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用圆周角求参数，解题的关键在于求出弦心距，再利用点到直线的距离公式列方程求解参数.
2、D
【解析】先求得的值，然后根据双曲线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】方程表示双曲线，则，
成等比数列，则，
所以双曲线方程为，
所以，
故双曲线的焦距为，A选项错误.
渐近线方程为，B选项错误.
离心率，C选项错误.
虚轴长，D选项正确.
故选：D
3、B
【解析】首先求不等式的解集，再根据区间长度，求几何概型的概率.
【详解】由，得，解得，在区间上随机取一实数，则实数满足不等式的概率为
故选：B
4、C
【解析】过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解
【详解】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，
故选：C.

5、C
【解析】设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.
【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，
即点Q的坐标为.
故选：C
6、C
【解析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】是函数的两个不同零点，
所以，
由于数列是等比数列，
所以.
故选：C
7、C
【解析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解.
【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中，
由，可得，则切线的斜率为，
由，可得，则切线斜率为，
因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，
所以，解得或（舍去），
又由，即公共点的坐标为，
将点代入，可得.
故选：C.
8、B
【解析】循环体第一次运行后；第二次运行后；第三次运行后，第四次运行后；循环结束，输出值为4，答案选B
考点：程序框图的功能
9、D
【解析】根据给定条件利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出作答.
【详解】命题：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题：，的否定是：，.
故选：D
10、D
【解析】根据向量共面列方程，化简求得.
【详解】，所以不共线，
由于，，共面，
所以存在，使，
即，
，
，
，，
即.
故选：D
11、C
【解析】利用向量数量积的几何意义即得
【详解】,
故在方向上的投影为：
故选：C
12、D
【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.
【详解】因为a，b为正实数，且，
所以.
当且仅当，即时取等号.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、0
【解析】利用秦九韶算法的定义计算即可.
【详解】
故答案为: 0
14、
【解析】先求出，再利用二倍角公式求的值.
【详解】因为为第二象限角，若，
所以.
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15、
【解析】根据中点坐标公式求出，再根据直线的两点式方程即可得出答案.
【详解】解：由，，
得线段的中点坐标为，
所以，解得，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
16、
【解析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.
【详解】在中，由正弦定理得，
所以，，
即求的最大值，
也就是求t的最小值，
而，即最大时，
由椭圆的性质知当P为椭圆上顶点时最大，此时，，
所以，所以的最大值是1，
，所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的问题，考查正弦定理的应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）2；（2）.
【解析】（1）利用正弦定理以及逆用两角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；
（2）根据题意，由余弦定理得，再根据基本不等式求得，当且仅当时取得等号，即可求出面积的最大值.
【小问1详解】
解：由题意得，
由正弦定理得：，
即，
即，
因为，
所以
【小问2详解】
解：由余弦定理，即，
由基本不等式得：，即，
当且仅当时取得等号，
，
所以面积的最大值为
18、（1）；
（2）.
【解析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；
(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.
【小问1详解】
，，，
，
∴
，
；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵＝8，∴，
设与所成的角为，则.
19、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则①，
②，又③，
由①②③解得，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，
由，得，
所以，从而，，
直线的斜率为，故直线的方程为.
令，得，
直线斜率.
所以直线的斜率为定值.
【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）接BO，由是等边三角形得，由得出，再利用线面垂直的判断定理可得平面；
（2）建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
连接BO，由已知△ABC是以AC为底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点，则是等边三角形，，
，在中，，满足
，即是直角三角形，则，又，
平面，所以平面.
【小问2详解】
建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系如图所示，则，，，，则平面的法向量为，
由已知，得到点坐标，
，

设平面的法向量则，令，则
，即，设
平面MAP与平面CAP所成角为，则
，
则平面MAP与平面CAP所成角为.
21、（1）
（2）3
【解析】（1）根据焦点三角形的性质可求出，从而可得标准方程,
（2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用公式表示三角形面积，从而可求面积的最大值.
小问1详解】
△PF1F2面积达到最大时为椭圆的上顶点或下顶点，
而此时∠PF1F2=，故面积最大时为等边三角形，
故，因面积的最大值为，故，
故，
故椭圆的标准方程为：.
【小问2详解】
设，则由可得，
此时恒成立.
而，
到的距离为,
故的面积，
令，设，则，
故在上为增函数，故即的最大值为3.
22、（1）
（2）极大值为，极小值为
【解析】（1）求出函数的导函数，再根据图象上的点处的切线斜率为，列出方程组，解之即可得解；
（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解.
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得
，令，得
或，，

－1
（－1，3）
3

＋
0
－
0
＋

的极大值为，极小值为.