2025-2026学年河北省邢台市第一中学高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年河北省邢台市第一中学高二数学第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过，两点的直线的一个方向向量为，则（）
A.2 B.2
C.1 D.1
2．点到直线的距离为
A.1 B.2
C.3 D.4
3．直线在y轴上的截距为（）
A. B.
C. D.
4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6．方程所表示的曲线为（）
A.射线 B.直线
C.射线或直线 D.无法确定
7．在长方体，，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
8．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为
A. B.
C. D.
9．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
10．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（）
A.i B.-i
C.1 D.-1
12．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）
A B.
C. D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点）.若，则椭圆的离心率为________
14．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；
其中，所有正确结论的序号是________
15．已知曲线，
①若，则是椭圆，其焦点在轴上；
②若，则是圆，其半径为；
③若，则是双曲线，其渐近线方程为；
④若，，则是两条直线.
以上四个命题，其中正确的序号为_________.
16．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，则直线AD1与B1D所成角的余弦值为 __.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.

（1）若直线的斜率为1，求；
（2）若，求直线的方程.
18．（12分）已知两点
（1）求以线段为直径的圆C的方程；
（2）在（1）中，求过M点的圆C的切线方程
19．（12分）已知函数.
（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式：.
20．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比
（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；
（2）记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）
21．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图

（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数
22．（10分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）试讨论函数的单调性.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】应用向量的坐标表示求的坐标，由且列方程求y值.
【详解】由题设，，则且，
所以，即，可得.
故选：C
2、B
【解析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】，答案为B
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.
3、D
【解析】将代入直线方程求y值即可.
【详解】令，则，得.
所以直线在y轴上的截距为.
故选：D
4、C
【解析】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.
【详解】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，
则所求概率为.
由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，
所以，，
故.
故选：C.
5、D
【解析】分析可知函数在上为增函数，且有，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数是偶函数且在上单调递减，则该函数在上为增函数，
且，
由可得，
所以，，可得或，解得或.
因此，不等式的解集为.
故选：D.
6、C
【解析】将方程化为或，由此可得所求曲线.
【详解】由得：或，即或，
方程所表示的曲线为射线或直线.
故选：C.
7、A
【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得向量，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.
详解】如图，

由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
，，
从而，
故异面直线与所成角的余弦值是，
故选：A.
8、C
【解析】观察，奇偶相间排列，偶数位置为负，所以为，数字是奇数，满足2n-1,
所以可求得通项公式.
【详解】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，
由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为，选C.
【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式，解题的关键是培养对数字的敏锐性，属于基础题.
9、A
【解析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得
【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，
则有，，，
所以
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为
故选：A

10、D
【解析】求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
【详解】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，
当时，，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，则在上值的集合为，
因函数的值域为，于是得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
11、C
【解析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部.
【详解】由题意，，则z的虚部为1.
故选：C.
12、C
【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.
【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】由向量的数量积得，从而得，利用勾股定理和椭圆的定义可得的等式，从而求得离心率
【详解】，
所以，又，所以是直角三角形，，
，
又，，所以，，
，
所以
故答案为：
14、①②
【解析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3.
【详解】①:由于曲线，
当时，；
当时，；
当时，；
由于图形的对称性可知，没有其他的整点在曲线上，
故曲线恰好经过6个整点：

,,,,,,所以①正确；
②:由图知，到原点距离的最大值是在时，
由基本不等式，当时，，
所以即，所以②正确；
③:由①知长方形CDFE的面积为2，三角形BCE的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误；
故答案为：①②.
【点睛】找准图形的关键信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键.
15、①③④
【解析】通过m，n的取值判断焦点坐标所在轴，判断①，求出圆的半径判断②；通过求解双曲线的渐近线方程，判断③；利用，，判断曲线是否是两条直线判断④
【详解】解：①若，则，
因为方程化为：，焦点坐标在y轴，所以①正确；
②若，则C是圆，其半径为：，不一定是，所以②不正确；
③若，则C是双曲线，其渐近线方程为，化简可得，所以③正确；
④若，，方程化为，则C是两条直线,所以④正确；
故答案为：①③④
16、
【解析】以为原点，所在直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，的坐标，由向量夹角公式可得答案.
【详解】以为原点，所在直线为轴的正方向建立如图的坐标系，

∵AB＝BC＝2，CC1＝1，
∴，，，，
则，，
则，，
则cos＜，＞＝＝，
即AD1与B1D所成角的余弦值为，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）8（2）
【解析】（1）设，由，进而结合抛物线的定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离，最后求得答案；
（2）由，所以，设出直线方程并代入抛物线方程，进而结合根与系数的关系求得答案.
【小问1详解】
设，抛物线的准线方程为：，因为，由抛物线定义可知，.
直线，代入抛物线方程化简得：，则，所以.
【小问2详解】
设，代入抛物线方程化简得：，
所以，因为，所以，于是
则直线的方程为：.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）求出圆心和半径即可得到答案；
（2）根据题意先求出切线的斜率，进而通过点斜式求出切线方程.
【小问1详解】
由题意，圆心，半径，则圆C的方程为：.
【小问2详解】
由题意，，则切线斜率为-1，所以切线方程为：.
19、（1）；
（2）答案见解析.
【解析】（1）由题设可得，进而可知在恒成立，即可求参数范围.
（2）题设不等式等价于，讨论的大小并根据一元二次不等式的解法求解集即可.
【小问1详解】
当时，得，即.
由，则，
∴，即，
∴，即，
∴实数的取值范围是.
【小问2详解】
由，即，即.
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为.
综上，当时﹐不等式的解集为；当时，不等式的解集为﹔当时，不等式的解集为.
20、（1）2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃；
（2）证明见解析，，；
（3）在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【解析】(1)根据给定条件设第n分钟后的水温为，探求出与的关系即可计算作答.
(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出的通项公式.
(3)由(2)的结论列不等式，借助对数函数的性质求解即得.
【小问1详解】
设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记，
依题意，，当时，，则有，解得，
因此，，即有，，
所以2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃.
小问2详解】
由(1)知，，时，，，则有，即，
而，于是得是以为首项，为公比的等比数列，
则有，即，
所以是等比数列，的通项公式是，.
【小问3详解】
由(2)及已知得：，即，整理得，
两边取常用对数得：，而，
解得，即，
所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可推理作答.
21、（1）；（2）众数是，中位数为
【解析】（1）利用频率之和为一可求得的值；（2）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数
试题解析：（1）由直方图的性质可得，
∴
（2）月平均用电量的众数是，
∵，
月平均用电量的中位数在内，
设中位数为，由，可得，
∴月平均用电量的中位数为224
考点：频率分布直方图；中位数；众数
22、（1）
（2）详见解析.
【解析】（1）由，求导，得到，写出切线方程；
（2）求导，再分，，讨论求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以，则，
所以，
所以曲线在点处的切线方程是，
即；
【小问2详解】
因为，
所以，
当时，成立，则在上递减；
当时，令，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增；
综上：当时，在上递减；
当时，在上递减，在上递增；