2025年湖南省邵阳市第二中学高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025年湖南省邵阳市第二中学高二数学第一学期期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1=1；②a4=4； ③S3=9；④S5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ）
A.① B.②
C.③ D.④
2．已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且，则的面积等于（ ）
A.6 B.
C. D.
3．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）
A. B.
C. D.
4．已知双曲线C：-＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点，且MF1NF1，则双曲线C的离心率是（ ）
A.2 B.
C. D.
5．圆的圆心和半径分别是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知两个向量，，且，则的值为（）
A.-2 B.2
C.10 D.-10
7．已知，，，则，，的大小关系是
A. B.
C. D.
8．已知函数，则函数在点处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
9．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）
A. B.
C. D.
10．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（）
A. B.
C. D.
11．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（）
A. B.
C. D.
12．双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线；
②抛物线焦点坐标是；
③过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；
④曲线与曲线（且）有相同的焦点
其中真命题的序号为______（写出所有真命题的序号．）
14．曲线在x=1处的切线方程为__________.
15．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是___________
16．二项式的展开式中，项的系数为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）求函数在区间上的最大值和最小值
18．（12分）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线的距离为
（1）求圆的方程；
（2）若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且，求直线的方程
19．（12分）如图①，直角梯形中，，，点，分别在，上，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，如图②，平面平面，.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：

（1）求该公司员工年龄的极差和第25百分位数；
（2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由；
21．（12分）若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，求实数a的值
22．（10分）已知椭圆的焦点为，且长轴长是焦距的倍
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为 1 的直线与椭圆相交于两点，已知点，求面积的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据等差数列通项公式及求和公式的基本量计算，对比即可得出结果.
【详解】设等差数列{an}的公差为，
，，，即，
即.
当，时，①③④均成立，②不成立.
故选：B
2、B
【解析】根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解
【详解】由与是椭圆上一点，∴，
两边平方可得，即，
由于，，∴根据余弦定理可得，
综上可解得，∴的面积等于，
故选：B
3、C
【解析】设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.
【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，
即点Q的坐标为.
故选：C
4、C
【解析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.
【详解】设双曲线的右焦点为F2，过原点倾斜角为的直线为，设M、N分别在第三、第一象限，
由双曲线和直线的对称性可知：M、N两点关于原点对称，而MF1NF1，因此四边形是矩形，而，
所以是等边三角形，故，因此，
因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：
，由矩形的性质可知：，
由双曲线的定义可知：，
故选：C
【点睛】关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.
5、B
【解析】将圆的方程化成标准方程，即可求解.
【详解】解：.
故选：B.
6、C
【解析】根据向量共线可得满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项.
【详解】因为，故存在常数，使得，
所以，故，所以，
故选：C.
7、B
【解析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小
【详解】对于的大小：，，明显；
对于的大小：构造函数，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
即
对于的大小：，，，
故选B
【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目
8、C
【解析】依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程即可解决.
【详解】
则，又
则函数在点处的切线方程为，即
故选：C
9、B
【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积，分别求出即可.
【详解】如图，在单位圆中作其内接正六边形，

该正六边形是六个边长等于半径的正三角形，
其面积，圆的面积为
则所求概率.
故选：B
【点睛】此题考查几何概率模型求解，关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.
10、A
【解析】由椭圆方程可求得坐标，由此求得抛物线方程；设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，根据可得，由此构造方程求得，根据直线过定点的求法可求得定点.
【详解】由椭圆方程知其焦点坐标为，又抛物线焦点，
，解得：，则抛物线的方程为，
由题意知：直线斜率不为，可设，
由得：，则，即，
设，，则，，，
，，解得：或；
又与坐标原点不重合，，，
当时，，直线恒过定点.
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
11、A
【解析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.
【详解】由椭圆的对称性可知，,
所以，
又椭圆方程为，所以，解得，
所以，
故选：A
12、C
【解析】分析可知，利用双曲线的离心率公式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】由题意有，，则，解得：
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、②④##④②
【解析】利用双曲线定义判断命题①；写出抛物线焦点判断命题②；分析点P满足的关系判断命题③；按取值讨论计算半焦距判断命题④作答.
【详解】对于①，因双曲线定义中要求，则命题①不正确；
对于②，抛物线化为：，其焦点坐标是，命题②正确；
对于③，令定圆C的圆心为C，因，则点P是弦AB的中点，当P与C不重合时，有，
点P在以线段AC为直径的圆上，当P与C重合时，点P也在以线段AC为直径的圆上，
因此，动点P的轨迹是以线段AC为直径的圆(除A点外)，则命题③不正确；
对于④，曲线的焦点为，
当时，椭圆中半焦距c满足：，其焦点为，
当时，双曲线中半焦距满足：，其焦点为，
因此曲线与曲线（且）有相同的焦点，命题④正确，
所以真命题的序号为②④.
故答案为：②④
【点睛】易错点睛：椭圆长短半轴长分别为a，b，半焦距为c满足关系式：；双曲线的实半轴长、
虚半轴长、半焦距分别为、、满足关系式：，在同一问题中出现认真区分，不要混淆.
14、
【解析】根据导数的几何意义求切线方程的斜率并求出，再由点斜式写出切线方程即可.
【详解】由题设，，则，而，
所以在x=1处的切线方程为，即.
故答案为：.
15、
【解析】先由，根据椭圆的定义，求出，，再由余弦定理，根据，即可列式求出离心率.
【详解】因为点在椭圆上，
所以，
又，所以，
因，
在中，由，根据余弦定理可得
，
解得（负值舍去）
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，属于常考题型.
16、80
【解析】利用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为：，
令，所以项的系数为，
故答案为：80

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、，
【解析】先求导函数，再根据导函数得到单调区间，比较极值和端点值,即可得到最大值和最小值.
【详解】解：依题意，，
令，得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以，
18、（1）或
（2）或
【解析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得的值，即可得出圆的标准方程；
（2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，
因为圆心到直线的距离为，解得，
所以圆心的坐标为或，半径为，
因此，圆的标准方程为或.
【小问2详解】
解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为.
因为，所以圆心到直线的距离.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意；
所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
所以，直线的方程为或，即或.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据，，，，易证，再根据平面平面，，得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）根据（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，设二面角的大小为，由求解.
【小问1详解】
解：因为，，，
所以，，
又，所以是等腰直角三角形，即，
所以.
由平面几何知识易知，
所以，即.
又平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，
所以.
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，F（1，0，0），
则，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
取，则.
由，，，
得平面，
所以平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，
由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为.
20、（1）极差为；第25百分位数为
（2）事件和相互独立，理由见解析
【解析】（1）根据定义直接计算极差和百分位数得到答案.
（2）计算得到，，，即，得到答案.
【小问1详解】
员工年龄的极差为，，故第25百分位数为.
【小问2详解】
，，，故，
故事件和相互独立.
21、或3
【解析】设出切点，先求和平行且和函数相切的切线，再将切线和联立，求出的值.
【详解】设公共切线曲线上的切点坐标为，根据题意，得公共切线的斜率，所以，所以与函数的图像相切的切点坐标为，故可求出公共切线方程为
由直线和函数的图像也相切，得方程，
即关于x的方程有两个相等的实数根，
所以，解得或3
22、（1）；
（2）1.
【解析】(1)根据给定条件求出椭圆半焦距c，长短半轴长a，b即可得解.
(2)设出直线的方程，再与椭圆C的方程联立，求出弦AB长及点P到直线的距离，然后求出面积的表达式并求其最大值即得.
【小问1详解】
设椭圆的标准方程为，依题意，半焦距，，即，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
依题意，设直线，，
由消去y并整理得：，
由，解得，
则有，，
于是得，
而点到直线的距离为，
因此，的面积，
当且仅当，即时取“=”，
所以面积最大值为1.
【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离 ；
直线l：x=my+t上两点间的距离 .