福州教育学院附属中学2025年高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

福州教育学院附属中学2025年高二数学第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）
A.经过点 B.经过点
C.平行于直线 D.垂直于直线
2．已知空间中四点，，，，则点D到平面ABC的距离为（ ）
A. B.
C. D.0
3．命题p：存在一个实数﹐它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是（）
A.：任意实数，它的绝对值是正数，为假命题
B.：任意实数，它的绝对值不是正数，为假命题
C.：存在一个实数，它的绝对值是正数，为真命题
D.：存在一个实数，它的绝对值是负数，为真命题
4．设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5．在数列中，，则（）
A. B.
C.2 D.1
6．若 则（ ）
A.−2 B.−1
C.1 D.2
7．春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动.”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做.“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听.从数学角度来说，“合礼”是“听”的（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．设，命题“若，则或”的否命题是（ ）
A.若，则或
B.若，则或
C.若，则且
D.若，则且
9．已知F是双曲线的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，若E的渐近线上恰好存在四个点，，，，使得，则E的离心率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．曲线上的点到直线的最短距离是（）
A. B.
C. D.1
11．有关椭圆叙述错误的是（ ）
A.长轴长等于4 B.短轴长等于4
C.离心率为 D.的取值范围是
12．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，若，则点到平面的距离为___________.

14．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是______
15．椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是___________.
16．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P到两定点A，B的距离之比满足(且，t为常数)，则点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则P点的轨迹为圆，该圆方程为_________；过点的直线交圆于两点，且，则_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2
（1）求双曲线的标准方程；
（2）经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程
18．（12分）已知函数
（Ⅰ）求的单调区间和最值；
（Ⅱ）设，证明：当时，
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，与交于点，为的中点，

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面
20．（12分）2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内，其数据分组依次为：，，，，，得到频率分布直方图如图所示，其中

（1）求，的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；
（2）学校要在参加公益劳动总时间在、这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率
21．（12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答
①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直
问题：已知直线过点M（3，5），且______
（1）求的方程；
（2）若与圆相交于点A、B，求弦AB的长
22．（10分）已知函数的两个极值点之差的绝对值为.
（1）求的值；
（2）若过原点的直线与曲线在点处相切，求点的坐标.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】依据题意作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即可求解.
【详解】如图所示：

因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：A.
2、C
【解析】根据题意，求得平面的一个法向量，结合距离公式，即可求解.
【详解】由题意，空间中四点，，，，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
所以点D到平面ABC的距离为.
故选：C.
3、A
【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断，再利用特殊值判断命题的真假；
【详解】解：因为命题p“存在一个实数﹐它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其否定为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为，所以为假命题；
故选：A
4、B
【解析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.
【详解】因为，且，所以.
所以，，
所以.
故选：B
5、A
【解析】利用条件可得数列为周期数列，再借助周期性计算得解.
【详解】∵
∴，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
∴，
故选：A.
6、B
【解析】分子分母同除以，化弦为切，代入即得结果.
【详解】由题意，分子分母同除以，可得.
故选：B.
7、B
【解析】如果不合礼，那么就不听.转化为它的逆否命题.即可判断出答案.
【详解】如果不合礼，那么就不听的逆否命题为：如果听，那么就合理.故“合礼”是“听”的必要条件.
故选：B.
8、C
【解析】根据否命题的定义直接可得.
【详解】根据否命题的定义可得命题“若，则或”的否命题是若，则且，
故选：C.
9、D
【解析】由题意以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点，则必有，又当圆M经过原点时此时以AB为直径的圆M上与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足，从而得出答案.
【详解】由题意，由得，双曲线的渐近线方程为
所以，由，
可知，，，在以AB为直径的圆M上，圆的半径为
即以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点
当圆M与渐近线相切时，圆心到渐近线的距离，
则必有，即，则双曲线E的离心率，所以
又当圆M经过原点时，，解得E的离心率为，
此时以AB为直径圆M与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足条件.
所以E的离心率的取值范围是.
故选：D
10、B
【解析】先求与平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果.
【详解】设与平行的直线与相切，
则切线斜率k=1，
∵∴，
由，得
当时,即切点坐标为P(1,0)，
则点(1,0)到直线的距离就是线上的点到直线的最短距离，
∴点(1,0)到直线的距离为：，
∴曲线上的点到直线l: 的距离的最小值为.
故选：B
11、A
【解析】根据题意求出，进而根据椭圆的性质求得答案.
【详解】椭圆方程化为：，则，则长轴长为8，短轴长为4，离心率，x的取值范围是.即A错误，B,C,D正确.
故选：A.
12、A
【解析】将已知条件转化为时恒成立，利用参数分离的方法求出a的取值范围
【详解】对任意都有恒成立，
则时，
，当时恒成立，
 ，当时恒成立，
，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
故答案为：.
14、相交
【解析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离，与半径和与差的关系比较即可知两圆位置关系.
【详解】化为，
化为，
则两圆圆心分别为：，，半径分别为：，
圆心距为，，
所以两圆相交.
故答案为：相交.
15、
【解析】根据椭圆和双曲线得定义求得，再根据，可得，从而有，求出的范围，根据，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：设，
则有，
所以，即，
又因为，所以，
所以，即，则，
由，得，所以，所以，
则，
由，得，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
因为，所以，所以，
即，
所以的取值范围是.
故答案为：.

16、 ①. ②.
【解析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求.
【详解】设，则，整理得到，
即.
因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为，
则为的中点，则，故，
解得，
故答案为：，.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意求出即可得出；
（2）利用点差法求出直线斜率即可得出方程.
【小问1详解】
∵，，∴，，
∵，∴，∴，
∴双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
设以定点为中点的弦的端点坐标为，
可得，，
由在双曲线上，可得：，
两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：

则以定点为中点的弦所在的直线方程为，即为，
联立方程得：，，符合，
∴直线的方程为：.
18、（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；最小值为，无最大值；（Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ）根据导函数的正负即可确定单调区间，由单调性可得最值点；
（Ⅱ）构造函数，利用导数可确定单调性，结合的正负可确定的零点的范围，进而得到结论.
【详解】（Ⅰ）由题意得：定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为
的最小值为，无最大值
（Ⅱ）设，则，
令得：
当时，；当时，，
在上单调递增；在上单调递减
由（Ⅰ）知：，可得：，
，可得：，即
又，当时，，
即当时，
【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数单调性和最值的求解、利用导数证明不等式等知识；利用导数证明不等式的关键是能够通过移项构造的方式，构造出新的函数，通过的单调性，结合零点所处的范围可分析得到结果.
19、（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）根据直棱柱的性质、平行四边形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可.
【小问1详解】
在直三棱柱中，，
且四边形平行四边形，又，
则为的中点，又为的中点，
故，即：，且平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
在直三棱柱中，平面，平面，
则，且，，平面，
故平面，因为平面，所以，
又在平行四边形中，，
则四边形菱形，所以，且，
平面，故平面，因为平面，
所以平面平面.
20、（1），；平均数为40.2；（2）
【解析】（1）根据矩形面积和为1，求的值，再根据频率分布直方图求平均数；（2）首先利用分层抽样，在中抽取3人，在中抽取2人，再编号，列举基本事件，求概率，或者利用组合公式，求古典概型概率.
详解】（1）依题意，，故
又因为，所以，
所求平均数为（小时）
所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2
（2）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为
又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人，则在中抽取3人，分别记为，，，在中抽取2人，分别记为，，
则从5人中随机抽取2人基本事件有，，，，，，，，，
这2人来自不同组的基本事件有：，，，，，，共6个，
所以所求的概率
解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为
又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人，则在中抽取3人，在中抽取2人，
则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为
这2人来自不同组的基本事件数为
所以所求的概率
21、（1）
（2）
【解析】(1)可依次根据直线方程的点斜式、“两直线平行，斜率相等”、“两直线垂直，斜率相乘为－1”求直线l的方程；
(2)利用垂径定理即可求圆的弦长.
【小问1详解】
选条件①：
∵直线过点(3，5)及(－1，2)，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
选条件②：
∵直线的斜率为，
直线与直线平行，∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为；
即；
选条件③：
∵直线的斜率为，
直线与直线垂直，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
【小问2详解】

圆心为(2，3)，半径为2，
圆心到直线的距离为
∴
22、（1）；（2）.
【解析】（1）求，设的两根分别为，，由韦达定理可得：，，由题意知，进而可得的值；再检验所求的的值是否符合题意即可；
（2）设，则，由列关于的方程，即可求得的值，进而可得的值，即可得点的坐标.
【详解】由可得：
设的两根分别为，，
则，，
由题意可知：，即，
所以解得：，
当时，，
由可得或，
由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以为极大值点，为极小值点，满足两个极值点之差的绝对值为，符合题意，
所以.
（2）由（1）知，，
设，则，
由题意可得：，
即，整理可得：，
解得：或，
因为即为坐标原点，不符合题意，所以，
则，
所以.