广西柳州市高级中学2026届高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

广西柳州市高级中学2026届高二数学第一学期期末检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（）
A.4 B.
C. D.2
2．某公司有320名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，320，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是（）
A.72号 B.150号
C.256号 D.300号
3．若命题p为真命题，命题q为假命题，则下列命题为真命题的是（）
A. B.
C. D.
4．已知数列中，，()，则（）
A. B.
C. D.2
5．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为（）

A.3 B.4
C.5 D.6
6．若函数，满足且，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）
A.10种 B.12种
C.16种 D.24种
8．曲线与曲线的（ ）
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.焦距相等 D.渐进线相同
9．已知直线与圆相离，则以，，为边长的三角形为（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不存在
10．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）
A. B.
C. D.
11．一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为（）
A. B.
C. D.1
12．数列满足，且，则的值为（）
A.2 B.1
C. D.-1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．写出直线一个方向向量______
14．已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是_______________
15．一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）
16．直线与两坐标轴相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点是椭圆上的一点，且椭圆的离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）两动点在椭圆上，总满足直线与的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值.
18．（12分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且的短轴长为
（1）求的方程；
（2）若直线与交于P，Q两点，，且的面积为，求k
19．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆交于、两点，、是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形面积的最大值.
20．（12分）已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点

（1）求证：平面MND⊥平面PCD；
（2）求点P到平面MND的距离
22．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.
【详解】点关于坐标原点的对称点是

故选：A
2、B
【解析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.
【详解】∵用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本
∴，即每隔16人抽取一人
∵54号被抽到
∴下面被抽到的是54+16×6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B
故选：B
3、B
【解析】根据逻辑联结词“且”，一假则假，对四个选项一一判断直接即可判断.
【详解】逻辑联结词“且”，一假则假.
因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以为假命题，为真命题.
所以，为假，故A错误；
为真，故B正确；
为假，故C错误；
为假，故D错误.
故选：B
4、A
【解析】由已知条件求出，可得数是以3为周期的周期数列，从而可得，进而可求得答案
【详解】因为，()，
所以，
所以数列的周期为3，
，
故选：A
5、A
【解析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.
【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线的交点
在圆上，
所以，
故选：A
6、C
【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.
【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.
故选：C
7、A
【解析】对中心组学习所在的阶段分两种情况讨论得解.
【详解】解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；
如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.
综合得不同的安排方案共有10种.
故选:A
8、D
【解析】将曲线化为标准方程后即可求解.
【详解】化为标准方程为，由于，则两曲线实轴长、虚轴长、焦距均不相等，而渐近线方程同为.
故选：
9、A
【解析】应用直线与圆的相离关系可得，再由余弦定理及三角形内角的性质即可判断三角形的形状.
【详解】由题设，，即，又，
所以，且，
故以，，为边长的三角形为钝角三角形.
故选：A.
10、B
【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积，分别求出即可.
【详解】如图，在单位圆中作其内接正六边形，

该正六边形是六个边长等于半径的正三角形，
其面积，圆的面积为
则所求概率.
故选：B
【点睛】此题考查几何概率模型求解，关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.
11、B
【解析】根据题意得到几何体为半径为1的球，长方体的体对角线为球的直径时，长方体体积最大，设出长方体的长和宽，得到等量关系，利用基本不等式求解体积最大值.
【详解】由题意得：此几何体为半径为1的球，长方体为球的内接长方体时，体积最大，
此时长方体的体对角线为球的直径，设长方体长为，宽为，则由题意得：，解得：，
而长方体体积为，当且仅当时等号成立，
故选：B
12、D
【解析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解.
【详解】解：由题意，数列满足，且，
可得，
可得数列是以三项为周期的周期数列，
所以.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.
【详解】由题意可知，直线可以化为，
所以直线的斜率为，直线的一个方向向量可以写为.
故答案为：.
14、
【解析】由题意，,.
故答案为.
15、②③
【解析】由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.
【详解】{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件
故答案为：②③
16、
【解析】由直线的方程求出直线的斜率以及，两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段的中点坐标，利用点斜式即可求解.
【详解】由直线可得，
所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，
令可得；令可得；即，，
所以线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，由此求得，同理求得，从而化简求得直线的斜率为定值.
【小问1详解】
由题可知，解得，
从而粚圆方程为.
【小问2详解】
证明设直线的斜率为，
则，，
联立直线与椭圆的方程，得，
整理得，
从而，于是，
由题意得直线的斜率为，
则，，
同理可求得，
于是

即直线的斜率为定值.
18、（1）
（2）或k=1.
【解析】（1）根据题意求得双曲线的焦点即知椭圆焦点，结合椭圆短轴长，可求得椭圆标准方程；
（2）将直线方程和椭圆方程联立，整理得，从而得到根与系数的关系式，然后求出弦长以及到直线PQ的距离，进而表示出，由题意得关于k的方程，解得答案.
【小问1详解】
双曲线即，
故双曲线交点坐标为 ，
由此可知椭圆焦点也为，
又的短轴长为，故 ，
所以 ，
故椭圆的方程为 ；
【小问2详解】
联立 ，整理得： ，
其 ，
设 ，则 ，
所以
= ，
点到直线PQ的距离为 ，
所以
= ，
又的面积为，则=，
解得或k=1.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据离心率的定义以及椭圆与抛物线焦点的关系，可以求出椭圆方程；
（2）根据题意，可以利用铅锤底水平高的方法求四边形APBQ的面积，即是要利用韦达定理算出.
【小问1详解】
由题意，即；
抛物线，焦点为，故，
所以椭圆C的标准方程为：.
【小问2详解】
由题意作图如下：

设AB直线的方程为：，并设点，，
联立方程：得：，
∴……①，
……②，
；
由于A，B两点在直线PQ的两边（如上图），所以，
即，将①②带入得：，
解得；即
由题意直线PQ的方程为，
联立方程解得，，
∴；
将线段PQ看做铅锤底，A，B两点的横坐标之差看做水平高，得四边形APBQ的面积为：
，
当且仅当m=0时取最大值，而，
所以的最大值为.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项法可求得.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，则，可得，
由可得，即，解得，，
故.
【小问2详解】
解：，
因此，
.
21、（1）见解析；（2）
【解析】（1）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面、平面的法向量分别为，，和，1，，算出，可得，从而得出平面平面；
（2）由（1）中求出的平面法向量，，与向量，2，，利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点到平面的距离
【详解】（1）证明：平面，，、、两两互相垂直，
如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，
，0，，，1，，
，1，，，1，，，2，
设，，是平面的一个法向量，
可得，取，得，，
，，是平面的一个法向量，同理可得，1，是平面的一个法向量，
，，
即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，可得平面平面；
（2）解：由（1）得，，是平面的一个法向量，
，2，，得，
点到平面的距离

22、（1）
（2）
【解析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；
（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可
【小问1详解】
由题意得到A＝[1，5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，
当时，即a≥时，则，
解得≤a≤1.
综上a≤1，
故实数a的取值范围是.