天津市耀华中学2025-2026学年高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

天津市耀华中学2025-2026学年高二数学第一学期期末联考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）
A. B.
C. D.
2．已知函数在处取得极小值，则（ ）
A. B.
C. D.
3．已知直线和互相平行，则实数的取值为（　　）
A 或3 B.
C. D.1或
4．双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
5．若复数z满足（其中为虚数单位），则（ ）
A. B.
C. D.
6．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）
A. B.
C. D.
7．已知双曲线的左右焦点分别是和，点关于渐近线的对称点恰好落在圆上，则双曲线的离心率为（）
A. B.2
C. D.3
8．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（ ）

A. B.
C. D.
9．若，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
10．已知中，内角，，的对边分别为，，，，.若为直角三角形，则的面积为（ ）
A. B.
C.或 D.或
11．函数，则的值为（）
A B.
C. D.
12．如图所示，已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为3，则椭圆的方程为（ ）

A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线的焦点到准线的距离是______.
14．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为______
15．如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______

16．双曲线的离心率为____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与所成角的余弦值.
18．（12分）已知圆.
（1）若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）求与圆和直线都相切的最小圆的方程.
19．（12分）已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.
（1）求的方程；
（2）为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B，C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四边形AOBC的面积.
20．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
21．（12分）设或，
（1）若时，p是q的什么条件？
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围
22．（10分）如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点.

（1）求证：平面PBC；
（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解.
【详解】，，，
令，解得：，
而，故函数关于点对称，
，

，
故选：B.
2、A
【解析】由导数与极值与最值的关系，列式求实数的值.
【详解】
由条件可知，，，
解得：，，
检验，时，
当，得或，函数的单调递增区间是和，
当，得，所以函数的单调递减区间是，
所以当时，函数取得极小值，满足条件.
所以.
故选：A
3、B
【解析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.
【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，
∴
解得 m=﹣1，
故选B
【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：
已知，
，
则，

4、A
【解析】直接求出，，进而求出渐近线方程.
【详解】中，，，所以渐近线方程为，故.
故选：A
5、B
【解析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】，因此，.
故选：B
6、A
【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.
【详解】如图示：连接OF,

因为P为EF中点，，F为BC的中点，
则

，
故选：A
7、B
【解析】首先求出F1到渐近线的距离,利用F1关于渐近线的对称点恰落在圆上,可得直角三角形,利用勾股定理得到关于ac的齐次式，即可求出双曲线的离心率
【详解】由题意可设,则到渐近线的距离为.
设关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,
∴MF1=2b,A为F1M的中点.
又O是F1P的中点,∴OA∥F2M,
∴为直角,
所以△为直角三角形，由勾股定理得：，
所以，所以，
所以离心率
故选:B.
8、D
【解析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得 和的周长，再根据光速相同，且 求解.
【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，
两式相减得 ，
所以 的周长为 ，
在图②中，的周长为，
因为光速相同，且 ，
所以 ，即 ，
所以，
即的长轴长与的实轴长之比为，
故选：D
9、C
【解析】由二项分布的方差公式即可求解.
【详解】解：因为，所以.
故选：C.
10、C
【解析】由正弦定理化角为边后，由余弦定理求得，然后分类讨论：或求解
【详解】由正弦定理，可化为：
，即，
所以，，所以，
又为直角三角形，
若，则，，，，
若，则，，，
故选：C
11、B
【解析】求出函数的导数，代入求值即可.
【详解】函数,故，
所以，
故选：B
12、D
【解析】由题设可得，直线的方程为，点线距离公式表示到直线的距离，又联立解得即可得出答案.
【详解】且，则△是等边三角形，
设，则①，
∴直线方程为，即，
∴到直线的距离为②，
又③，
联立①②③，解得，，故椭圆方程为.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.
14、
【解析】由题意得到为直角三角形．设，，根据椭圆的离心率，定义，直角三角形的面积公式，勾股定理建立方程的方程组，消元后可求得的值.
【详解】由题可知，∴,
又，代入上式整理得，
由得为直角三角形
又的面积为4，设，，
则解得
所以椭圆的标准方程为
15、
【解析】根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果
【详解】如图所示：

棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到，
设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点，
所以，而，
同理，
故棱锥的体积的为，
即棱锥与棱锥的体积之比为
故答案为：.
16、
【解析】由题意得：
考点：双曲线离心率

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）；
【解析】（1）证明，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；
（2）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，根据可得出，求出的值，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值.
【详解】（1）为的中点，且，则，
又因为，则，故四边形为平行四边形，
因为，故四边形为矩形，所以，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
因为平面，因此，平面平面；
（2）连接，由（1）可知，平面，，为的中点，则，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则、、、、，
设，
,
因为，则，解得，
，
，则.
因此，直线与所成角的余弦值为.
18、（1）或；
（2）.
【解析】（1）根据题意设出直线的方程，然后根据直线与圆相切，即可求出答案；
（2）首先根据题意判断出最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，
然后设出最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，从而可求出答案.
【小问1详解】
因为直线不过原点，设直线的方程为，
圆的标准方程为，
若直线与圆相切，则，即，解得或者3，
所以直线的方程为或者；
【小问2详解】
因为，所以直线与圆相离，
所以所求最小圆的圆心一定在圆的圆心到直线的垂线段上，
即最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，
设最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，
所以，即，
解得(舍)或，
所以最小的圆的方程为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意，结合抛物线定义，可求得，即得抛物线方程；
（2）由题意推出四边形AOBC是菱形.，设，根据抛物线的对称性，可表示出B,C的坐标，从而利用向量的坐标运算，求得所设参数值，进而求得答案.
【小问1详解】
的准线为：，作于R，

根据抛物线的定义有，所以，
因为在的内侧，所以当P，Q，R三点共线时，取得最小值，
此时，解得，
所以的方程为.
小问2详解】
因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.
由，得轴，设点，则，
由抛物线的对称性知，，，.
由，得，解得,
所以在菱形中，，边上的高，
所以菱形的面积.
20、（1）0.006；（2）；（3）.
【解析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；
（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为；
（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.
【详解】（1）因为，
所以
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为；
受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是

又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，
故所求的概率为
【点睛】本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.
21、（1）充要条件；
（2）.
【解析】（1）根据解一元二次不等式的方法，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可；
（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，解得或，
显然p是q的充要条件；
【小问2详解】
，
当时，该不等式的解集为全体实数集，显然由，但不成立，因此p是q的充分不必要条件，不符合题意；
当时，该不等式的解集为：，显然当时，不一定成立，
因此p不是q的必要不充分条件，
当时，该不等式解集为：，要想p是q的必要不充分条件，
只需，而，所以，
因此a的取值范围为：.
22、（1）证明见解析
（2）存在，且
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）设，利用直线与平面所成角的正弦值列方程，化简求得.
【小问1详解】
设是的中点，连接，由于，
所以四边形是矩形，所以，
由于平面，所以，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
，且平面，所以平面.
【小问2详解】
，设，
则，，
，
设直线与平面所成角为，
则，，
两边平方并化简得，解得或（舍去）.
所以存在，使直线与平面所成角的正弦值是，且.