广东深圳市翠园中学2026届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

广东深圳市翠园中学2026届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有一组样本数据、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，为非零常数，则（ ）
A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本标准差相同
C.两组样本数据的样本中位数相同 D.两组样本数据的样本众数相同
2．圆与圆的位置关系是（ ）
A.相离 B.内含
C.相切 D.相交
3．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
4．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
5．已知函数在处有极小值，则c的值为（ ）
A.2 B.4
C.6 D.2或6
6．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A.4 B.8
C.16 D.32
7．已知随机变量X的分布列如表所示，则（）
X
1
2
3
P
a
2a
3a
A. B.
C. D.
8．某双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，则该双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
9．如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（）

A. B.
C. D.
10．若实数满足约束条件，则最小值为（）
A.-2 B.-1
C.1 D.2
11．已知椭圆=1的离心率为，则k的值为（ ）
A.4 B.
C.4或 D.4或
12．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OM的斜率之积等于_________
14．函数的导函数___________.
15．若圆被直线平分，则值为__________
16．已知函数有三个零点，则正实数a的取值范围为_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为，数列是等差数列，其前项和为.已知，，，_____________.
（1）请写出你选择条件的序号____________；并求数列和的通项公式；
（2）求和.
18．（12分）已知命题p：实数x满足；命题q：实数x满足．若p是q的必要条件，求实数a的取值范围
19．（12分）等差数列的前n项和为，已知
（1）求的通项公式；
（2）若，求n的最小值
20．（12分）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，分别过曲线上的两点，做曲线的两条切线，且交于点，与直线交于两点

（1）求曲线的方程；
（2）求面积的最小值.
21．（12分）已知函数R)
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）求的单调区间
22．（10分）如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用平均数公式可判断A选项；利用标准差公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用众数的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，设数据、、、的平均数为，数据、、、的平均数为，
则，A错；
对于B选项，设数据、、、的标准差为，数据、、、的标准差为，

，B对；
对于C选项，设数据、、、中位数为，数据、、、的中位数为，
不妨设，则，
若为奇数，则，；
若为偶数，则，.
综上，，C错；
对于D选项，设数据、、、的众数为，则数据、、、的众数为，D错.
故选：B.
2、D
【解析】先由圆的方程得出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆心间的距离与两半径之和与差比较可得答案.
【详解】圆的圆心为 ，半径为
圆的圆心为 ，半径为
两圆心间的距离为
由，所以两圆相交.
故选：D
3、C
【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
4、A
【解析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围
【详解】解：命题“，”是假命题，
则它的否定命题“，”是真命题，
时，不等式为，显然成立；
时，应满足，解得，
所以实数的取值范围是
故选：A
5、A
【解析】根据求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.
【详解】由题意，，则，所以或.
若c=2，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.函数在处有极小值，满足题意；
若c=6，则，函数R上单调递增，不合题意.
综上：c=2.
故选：A.
6、B
【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7、C
【解析】根据分布列性质计算可得；
【详解】解：依题意，解得，所以；
故选：C
8、D
【解析】设双曲线的方程为，利用焦点为求出的值即可.
【详解】因为双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，
所以可设双曲线的方程为，
则，，
所以该双曲线方程为.
故选：D.
9、A
【解析】连接，先根据已知条件表示出，再根据求得结果.
【详解】连接，如下图所示：

因为为的中点，所以，
又因为为的中点，所以，
所以，
故选：A.
10、B
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案
【详解】由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，
有最小值为
故选：B
11、C
【解析】根据焦点所在坐标轴进行分类讨论，由此求得的值.
【详解】当焦点在轴上时，，且.
当焦点在轴上时，且.
故选：C
12、C
【解析】将方程有解，转化为方程有解求解.
【详解】解：因为方程有解，
所以方程有解，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数a的取值范围为，
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据点是弦的中点，为坐标原点，利用点差法求解.
【详解】设，且，
则，（1），（2）
得：，
，
.
又，
，
.
故答案为：
14、
【解析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解
【详解】
故答案为：
15、；
【解析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可
【详解】解：

的圆心
圆被直线平分，可知直线经过圆的圆心，
可得
解得；
故答案为：1
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题
16、
【解析】求导易得函数有两个极值点和，根据题意，由求解.
【详解】由，
可得函数有两个极值点和，
，
，
若函数有三个零点，
必有
解得或
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）选①，，；选②，，；选③，，；
（2），
【解析】（1）选条件①根据等比数列列出方程求出公比得通项公式，再由等差数列列出方程求出首项与公差可得通项公式，选②③与①相同的方法求数列的通项公式;
（2）根据等比数列、等差数列的求和公式解计算即可.
【小问1详解】
选条件① ：设等比数列的公比为q，，
，解得或，，，.
设等差数列的公差为d，，
，
解得，，
.
选条件② ：设等比数列的公比为q，，
，解得或，，，
.
设等差数列的公差为，，
，解得，，

选条件③ ：设等比数列的公比为，
，
，解得或，，，
.
设等差数列的公差为，，
，解得，

【小问2详解】
由（1）知，
，

18、
【解析】由题设得是为真时的子集，即，法一：讨论、，根据集合的包含关系求参数范围；法二：利用在恒成立，结合参变分离及指数函数的单调性求参数范围.
【详解】由，得，则命题对应的集合为，
设命题对应的集合为，是的必要条件，则，
由，得，又，
法一：若时，，则，显然成立；
若时，，则，可得，
综上：
法二：在恒成立，即，
∵在单调递减，
∴.
19、（1）
（2）12
【解析】（1）设的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）利用等差数的求和公式，得到，结合的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：设的公差为d，
因为，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为
【小问2详解】
解：由，可得，
根据二次函数的性质且，可得单调递增，
因为，所以当时，，
故n的最小值为12
20、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可得化简可得答案；
（2）求出、方程并得到、点坐标，再联立，方程求出交点和、点到的距离，可得 ，
设，与抛物线方程联立利用韦达定理得到，设，记，利用导数可得答案..
【小问1详解】
由题意可知：，
即：化简得：；
【小问2详解】
由题意可知：，，，
过点的切线斜率为，方程为：①，
令，，则，
同理：方程为：②，，
联立①②得：，的交点，，
点到的距离，
所以 ③，
设： ，则，整理得，
所以，
由韦达定理得：，，
代入③式得：，
设，记，则，
令得（舍负），
时，单调递减：
时，单调递增，
所以，当且仅当时的最小值为.
21、（1）
（2）答案见解析
【解析】(1)根据切点处的导数等于切线斜率，切点在曲线上可得切线方程；
(2)求导，分类讨论可得.
【小问1详解】
当时，，，
，则，所以在处的切线方程为
【小问2详解】
，，
当时，，函数在R上单调递增；
当时，令，则，当时，，单调递减；
当时，，单调递增
当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
22、（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量可得，即平面，再由线面垂直的性质可得答案；
（2）设直线与平面所成角的为，可得答案；
（3）由二面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，
所以，所以，
所以平面，平面，所以.
【小问2详解】
，所以，
由（1）平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的为，
所以直线与平面所成角的正弦值.
【小问3详解】
由已知为平面的一个法向量，且，
由（1）平面的一个法向量为，
所以，
由图可得平面与平面夹角的余弦值为.