2023年广东省广州市数学中考试卷（含答案）.docx

2023 年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）﹣（﹣2023）＝（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
2．（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）

A． B． C． D．
3．（3 分）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为 10，11，9，10，12．下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A．众数为 10 B．平均数为 10

C．方差为 2 D．中位数为 9

4．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a2＝a4（a≠0）
C．a3•a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0）

5．（3 分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）

A． B．
C． D．
6．（3 分）已知正比例函数 y1＝ax 的图象经过点（1，﹣1），反比例函数 y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数 y＝ax+b 的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3 分）如图，海中有一小岛 A，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，渔船从 B 点出发由西向东航行 10nmile

到达 C 点，在 C 点测得小岛 A 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 A 的距离为（ ）n mile．

A． B． C．20 D．
8．（3 分）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速 60km/h，动车提速后行驶 480km 与提速前行驶 360km 所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为 x km/h，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3 分）如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，若⊙I 的半径为 r，∠A＝α，则（BF+CE
﹣BC）的值和∠FDE 的大小分别为（ ）

A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
10．（3 分）已知关于 x 的方程 x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0 有两个实数根，则的化简结果是
（ ）

A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
11．（3 分）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至 2023 年 5 月底，某市已建成安全充电端口逾

280000 个，将 280000 用科学记数法表示为 ．
12．（3 分）已知点 A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线 y＝x2﹣3 上，且 0＜x1＜x2，则 y1 y2.（填“＜”或“＞”
或“＝”）

13．（3 分）2023 年 5 月 30 日是第 7 个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有 100 件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则 a 的值为 .若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为 °．

14．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上，且 BE＝1，F 为对角线 BD 上一动点，连接 CF， EF，则 CF+EF 的最小值为 ．

15．（3 分）如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，AE＝12，DF＝5，则点 E
到直线 AD 的距离为 ．

16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点 M 是边 AC 上一动点，点 D，E 分别是 AB， MB 的中点，当 AM＝2.4 时，DE 的长是 .若点 N 在边 BC 上，且 CN＝AM，点 F，G 分别是 MN，
18．（4 分）如图，B 是 AD 的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．

19．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（﹣2，0），B（0，2），所在圆的圆心为 O．将向右平移

5 个单位，得到（点 A 平移后的对应点为 C）．

（1） 点 D 的坐标是 ，所在圆的圆心坐标是 ；

（2） 在图中画出，并连接 AC，BD；

（3） 求由，BD，，CA 首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留 π）

AN 的中点，当 AM＞2.4 时，四边形 DEFG 面积 S 的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4 分）解方程：x2﹣6x+5＝0．

20．（6 分）已知 a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．
（1） 因式分解 A；

（2） 在 A，B，C 中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．

21．（8 分）甲、乙两位同学相约打乒乓球．

（1） 有款式完全相同的 4 个乒乓球拍（分别记为 A，B，C，D），若甲先从中随机选取 1 个，乙再从余下的球拍中随机选取 1 个，求乙选中球拍 C 的概率；
（2） 双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
23．（10 分）如图，AC 是菱形 ABCD 的对角线．

（1） 尺规作图：将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE，点 B 旋转后的对应点为 D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图中，连接 BD，CE．

①求证：△ABD∽△ACE；

②若 tan∠BAC＝ ，求 cos∠DCE 的值．

22．（10 分）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用 y（1 元）

与该水果的质量 x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用 y2（元）与该水果的质量 x（千克） 之间的函数解析式为 y2＝10x（x≥0）．
（1） 求 y1 与 x 之间的函数解析式；
（2） 现计划用 600 元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？

24．（12 分）已知点 P（m，n）在函数 y＝﹣（x＜0）的图象上．
（1） 若 m＝﹣2，求 n 的值；

（2） 抛物线 y＝（x﹣m）（x﹣n）与 x 轴交于两点 M，N（M 在 N 的左边），与 y 轴交于点 G，记抛物线的顶点为 E．
①m 为何值时，点 E 到达最高处；
②设△GMN 的外接圆圆心为 C，⊙C 与 y 轴的另一个交点为 F，当 m+n≠0 时，是否存在四边形 FGEC 为平行四边形？若存在，求此时顶点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AD 上一动点（不与点 A，D 重合）．边 BC 关于 BE 对称的线段为

BF，连接 AF．

（1） 若∠ABE＝15°，求证：△ABF 是等边三角形；
（2） 延长 FA，交射线 BE 于点 G．

①△BGF 能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE 的度数；如果不能，请说明理由；
②若 ，求△BGF 面积的最大值，并求此时 AE 的长．

2023 年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）﹣（﹣2023）＝（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【分析】根据负数的相反数是正数解答即可．

【解答】解：﹣（﹣2023）＝2023， 故选：B．
【点评】本题考查相反数等知识，掌握相反数的概念是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数数是 0．
2．（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三视图判断圆柱上面放着小圆锥，确定具体位置后即可得到答案．

【解答】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验．

3．（3 分）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为 10，11，9，

10，12．下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A．众数为 10 B．平均数为 10

C．方差为 2 D．中位数为 9
【分析】分别根据众数、平均数、方差以及中位数的定义判断即可．
【解答】解：在 10，11，9，10，12 中，10 出现的次数最多，故众数为 10；

把数据 10，11，9，10，12 从小到大排列，排在中间的数是 10，故中位数是 10；
数据 10，11，9，10，12 的平均数为＝10.4，
方差为： [2×（10﹣10.4）2+（11﹣10.4）2+（9﹣10.4）2+（12﹣10.4）2]＝1.04，
所以这组数据描述正确的是众数为 10． 故选：A．
【点评】本题主要考查众数、平均数、中位数以及方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数和方差的定义．

4．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a2＝a4（a≠0）
C．a3•a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0）
【分析】直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
B．a8÷a2＝a6（a≠0），故此选项不合题意；
C．a3•a5＝a8，故此选项符合题意；
D．（2a）﹣1＝（a≠0），故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3 分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）

A． B．
C． D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．

【解答】解： ，

解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

故选：B．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
6．（3 分）已知正比例函数 y1＝ax 的图象经过点（1，﹣1），反比例函数 y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数 y＝ax+b 的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据正比例函数的性质可以判断 a 的正负，根据反比例函数的性质可以判断 b 的正负，然后即可得到一次函数 y＝ax+b 的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵正比例函数 y1＝ax 的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函数 y1＝ax 的图象经过第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函数 y2＝的图象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函数 y＝ax+b 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出 a、b 的正负情况．
7． （3 分）如图，海中有一小岛 A，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，渔船从 B 点出发由西向东航行10nmile 到达 C 点，在 C 点测得小岛 A 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 A 的距离为（ ）n mile．

A． B． C．20 D．

【分析】连接 AC，根据题意可得：AC⊥CB，然后在 Rt△ACB 中，利用锐角三角函数的定义求出 AC 的长，即可解答．

【解答】解：连接 AC，

由题意得：AC⊥CB，
在 Rt△ACB 中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝10 海里，
∴AC＝BC•tan60°＝10（海里），
∴此时渔船与小岛 A 的距离为 10海里，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

8．（3 分）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速 60km/h，动车提速后行驶 480km 与提速前行驶360km 所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为 x km/h，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据动车提速前后速度间的关系，可得出动车提速前的平均速度为（x﹣60）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合动车提速后行驶 480km 与提速前行驶 360km 所用的时间相同，即可列出关于 x 的分式方程，此题得解．

【解答】解：∵随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速 60km/h，且动车提速后的平均速度为 x km/h，
∴动车提速前的平均速度为（x﹣60）km/h．
根据题意得：＝ ． 故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

9．（3 分）如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，若⊙I 的半径为 r，∠A＝α，
则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE 的大小分别为（ ）
A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
【分析】如图，连接 IF，IE．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．

【解答】解：如图，连接 IF，IE．

∵△ABC 的内切圆⊙I 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，
∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，
∴∠EIF＝180°﹣α，
∴∠EDF＝ ∠EIF＝90°﹣ α．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．

10．（3 分）已知关于 x 的方程 x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0 有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
【分析】首先根据关于 x 的方程 x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0 有两个实数根，得判别式 Δ＝[﹣（2k﹣2）]2
﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得 k≤1，据此可对 进行化简．
【解答】解：∵关于 x 的方程 x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0 有两个实数根，
∴判别式 Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，
整理得：﹣8k+8≥0，

∴k≤1，
∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，

∴
＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）
＝﹣1． 故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）

11．（3 分）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至 2023 年 5 月底，某市已建成安全充电端口逾 280000 个，将 280000 用科学记数法表示为 2.8×105 ．
【分析】运用科学记数法知识对 280000 进行改写．

【解答】解：280000＝2.8×105，
故答案为：2.8×105．
【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．

12．（3 分）已知点 A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线 y＝x2﹣3 上，且 0＜x1＜x2，则 y1 ＜ y2.（填“＜”
或“＞”或“＝”）

【分析】依据题意，求出抛物线 y＝x2﹣3 的对称轴 x＝0，从而由二次函数的性质，根据抛物线开口向下，故当 x＞0 时 y 随 x 的增大而减小，进而判断得解．

【解答】解：由题意得抛物线 y＝x2﹣3 的对称轴 x＝0，又 a＝1＞0，

∴抛物线 y＝x2﹣3 开口向上．
∴当 x＞0 时 y 随 x 的增大而增大．
∴对于 A、B 当 0＜x1＜x2 时，y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．
13．（3 分）2023 年 5 月 30 日是第 7 个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100 件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则 a 的值为 30 .
若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为 36 °．

【分析】根据直方图中的数据，可以计算出 a 的值，然后即可计算出“一等奖”对应扇形的圆心角度数．
【解答】解：由条形统计图可得，a＝100﹣10﹣50﹣10＝30，“一等奖”对应扇形的圆心角度数为：360°×＝36°， 故答案为：30，36．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

14．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上，且 BE＝1，F 为对角线 BD 上一动点，连接 CF，EF，则 CF+EF 的最小值为 ．

【分析】如图，连接 AE 交 BD 于一点 F，根据正方形的性质得到点 A 与点 C 关于 BD 对称，求得 AF＝ CF，推出 AF+EF＝AE，此时 CF+EF 最小，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接 AE 交 BD 于一点 F，

∵四边形 ABCD 是正方形，
∴点 A 与点 C 关于 BD 对称，
∴AF＝CF，
∴AF+EF＝AE，此时 CF+EF 最小，
∵正方形 ABCD 的边长为 4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点 E 在 BC 上且 BE＝1，

∴AE＝ ＝ ＝ ， 故 CF+EF的最小值为．
故答案为：
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．

15．（3 分）如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，AE＝12，DF＝5，
则点 E 到直线 AD 的距离为 ．

【分析】过 E 作 EH⊥AD 于 H，由角平分线的性质得到 DE＝DF＝5，由勾股定理求出 AD＝ ＝13，由三角形面积公式得到 13EH＝12×5，因此 EH＝，即可得到点 E 到直线 AD 的距离．
【解答】解：过 E 作 EH⊥AD 于 H，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，
∴DE＝DF＝5，
∵AE＝12，

∴AD＝ ＝13，
∵△ADE 的面积＝AD•EH＝ AE•DE，
∴13EH＝12×5，
∴EH＝ ，
点 E 到直线 AD 的距离为 ．
故答案为：．

【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由三角形的面积得到 AD•EH＝ AE•DE．
16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点 M 是边 AC 上一动点，点 D，E 分别是 AB，MB 的中点，当 AM＝2.4 时，DE 的长是 1.2 .若点 N 在边 BC 上，且 CN＝AM，点 F，G 分别是 MN，AN 的中点，当 AM＞2.4 时，四边形 DEFG 面积 S 的取值范围是 3≤S≤4 ．

【分析】依据题意，根据三角形中位线定理可得 DE＝AM＝1.2；设 AM＝x，从而 DE＝x，由 DE∥AM，且 DE＝AM，又 FG∥AM，FG＝AM，进而 DE∥FG，DE＝FG，从而四边形 DEFG 是平行四边形， 结合题意可得 DE 边上的高为（4﹣x），故四边形 DEFG 面积 S＝4x﹣x2，进而利用二次函数的性质可得 S 的取值范围．
【解答】解：由题意，点 D，E 分别是 AB，MB 的中点，

∴DE 是三角形 ABM 的中位线．
∴DE＝ AM＝1.2．
如图，

设 AM＝x，
∴DE＝ AM＝ x．
由题意得，DE∥AM，且 DE＝ AM，
又 FG∥AM，FG＝AM，
∴DE∥FG，DE＝FG．
∴四边形 DEFG 是平行四边形．
由题意，GF 到 AC 的距离是x，BC＝ ＝8，
∴DE 边上的高为（4﹣x）．
∴四边形 DEFG 面积 S＝2x﹣x2，＝﹣ （x﹣4）2+4．
∵2.4＜x≤6，
∴3≤S≤4．
故答案为：1.2；3≤S≤4．

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程：x2﹣6x+5＝0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x1＝1，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

18．（4 分）如图，B 是 AD 的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．
【分析】先证出 AB＝BD，再由平行线证出同位角相等∠ABC＝∠D，然后由 SAS 证明△ABC≌△BDE，得出对应角相等即可．
【解答】证明：∵B 是 AD 的中点，
∴AB＝BD，
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC 和△BDE 中，

，

∴△ABC≌△BDE（SAS），
∴∠C＝∠E．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（﹣2，0），B（0，2），所在圆的圆心为 O．将向右平移 5 个单位，得到（点 A 平移后的对应点为 C）．
（1）点 D 的坐标是 （5，2） ，所在圆的圆心坐标是 （5，0） ；

（2） 在图中画出，并连接 AC，BD；

（3） 求由，BD，，CA 首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留 π）
【分析】（1）由平移的性质知即可求解；

（2） 在图中画出，并连接 AC，BD 即可；

（3） 由封闭图形的周长＝ + +2BD，即可求解．
【解答】解：（1）如图，由平移的性质知，点 D（5，2），所在圆的圆心坐标是（5，0），故答案为：（5，2）、（5，0）；
（2）在图中画出，并连接 AC，BD，如图

（3） 和 长度相等，均为 ×2πr＝ ×2＝π， 而 BD＝AC＝5，
则封闭图形的周长＝ + +2BD＝2π+10．
【点评】本题为圆的综合题，涉及到图象的平移、周长的计算，弧长的计算等，是一道基础题．

20．（6 分）已知 a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．
（1） 因式分解 A；

（2） 在 A，B，C 中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【分析】（1）应用提公因式法与平方差公式，即可解决问题；

（2）把分式的分母，分子分别因式分解，然后约分，即可得到答案．

【解答】解：（1）2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2）；

（2）选 A，B 两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），

＝
＝ ．
【点评】本题考查提公因式法与公式法的综合应用，关键是掌握因式分解的方法，分式化简的方法．

21．（8 分）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1） 有款式完全相同的 4 个乒乓球拍（分别记为 A，B，C，D），若甲先从中随机选取 1 个，乙再从余

下的球拍中随机选取 1 个，求乙选中球拍 C 的概率；
（2） 双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍 C 的结果数除以总的结果数即可；
（2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平．
【解答】解：（1）画树状图如下：

一共有 12 种等可能的结果，其中乙选中球拍 C 有 3 种可能的结果，
∴P（乙选中球拍 C）＝；
（2）公平．理由如下：
画树状图如下：

一共有 4 种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有 2 种可能的结果，
∴P（甲先发球）＝，
P（乙先发球）＝，
∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），
∴这个约定公平．
【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．

22．（10 分）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用 y1（元）与该水果的质量 x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用 y2（元）与该水果的质量 x（千克）之间的函数解析式为 y2＝10x（x≥0）．
（1） 求 y1 与 x 之间的函数解析式；
（2） 现计划用 600 元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？

【分析】（1）用待定系数法，分段求出函数解析式即可；

（2）把 y＝600 分别代入 y1，y2 解析式，解方程即可．
【解答】解：（1）当 0≤x≤5 时，设 y1 与 x 之间的函数解析式为 y1＝kx（k≠0），把（5，75）代入解析式得：5k＝75， 解得 k＝15，
∴y1＝15x；
当 x＞5 时，设 y1 与 x 之间的函数解析式为 y1＝mx+n（m≠0），
把（5，75）和（10，120）代入解析式得 ，
解得 ，
∴y1＝9x+30，
综上所述，y1 与 x 之间的函数解析式为 y1＝；
（2）在甲商店购买：9x+30＝600，
解得 x＝63，
∴在甲商店 600 元可以购买 63千克水果； 在乙商店购买：10x＝600，
解得 x＝60，

∴在乙商店 600 元可以购买 60 千克，
∵63＞60，
∴在甲商店购买更多一些．
【点评】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是根据等量关系列出方程．

23．（10 分）如图，AC 是菱形 ABCD 的对角线．

（1） 尺规作图：将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE，点 B 旋转后的对应点为 D（保留作图痕迹， 不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接 BD，CE．
①求证：△ABD∽△ACE；
②若 tan∠BAC＝，求 cos∠DCE 的值．

【分析】（1）由菱形的性质可知 AD＝AB，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE，也就是以 AD 为一边在菱形 ABCD 外作一个三角形与△ABC 全等，第三个顶点 E 的作法是：以点 D 为圆心，BC 长为半径作弧，再以点 A 为圆心，AC 长为半径作弧，交前弧于点 E；
（2）①由旋转得 AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，则＝，∠BAD＝∠CAE，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△ACE；
②延长 AD 交 CE 于点 F，可证明△ABC≌△ADC，得∠BAC＝∠DAC，而∠BAC＝∠DAE，所以∠DAE＝
∠DAC，由等腰三角形的“三线合一”得 AD⊥CE，则∠CFD＝90°，设 CF＝m，CD＝AD＝x，则＝tan∠DAC
＝tan∠BAC＝ ，所以 AF＝3m，DF＝3m﹣x，由勾股定理得 m2+（3m﹣x）2＝x2，求得 CD＝x＝m，
则 cos∠DCE＝＝ ．
【解答】解：（1）如图 1，作法：1．以点 D 为圆心，BC 长为半径作弧，

2. 以点 A 为圆心，AC 长为半径作弧，交前弧于点 E，
3. 连接 DE、AE，

△ADE 就是所求的图形．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD＝AB，
∵DE＝BC，AE＝AC，
∴△ADE≌△ABC（SSS），
∴△ADE 就是△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到图形．
（2）①如图 2，由旋转得 AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，

∴ ＝ ，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
②如图 2，延长 AD 交 CE 于点 F，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AE＝AC，
∴AD⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
设 CF＝m，CD＝AD＝x，
∵ ＝tan∠DAC＝tan∠BAC＝ ，
∴AF＝3CF＝3m，
∴DF＝3m﹣x，
∵CF2+DF2＝CD2，
∴m2+（3m﹣x）2＝x2，
∴解关于 x 的方程得 x＝m，
∴CD＝ m，
∴cos∠DCE＝ ＝ ＝ ，

∴cos∠DCE 的值是 ．

【点评】此题重点考查尺规作图、旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
24．（12 分）已知点 P（m，n）在函数 y＝﹣（x＜0）的图象上．
（1） 若 m＝﹣2，求 n 的值；
（2） 抛物线 y＝（x﹣m）（x﹣n）与 x 轴交于两点 M，N（M 在 N 的左边），与 y 轴交于点 G，记抛物线

的顶点为 E．
①m 为何值时，点 E 到达最高处；
②设△GMN 的外接圆圆心为 C，⊙C 与 y 轴的另一个交点为 F，当 m+n≠0 时，是否存在四边形 FGEC
为平行四边形？若存在，求此时顶点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把 m＝﹣2 代入 y＝﹣（x＜0）得 n＝﹣＝1，即可求解；
（2）①x＝，得 y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，即可求解；
②求出直线 TS 的表达式为：y＝﹣m（x﹣m）﹣1，得到点 C 的坐标为：（，﹣）；由垂径定理知，点 C 在 FG 的中垂线上，则 FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3；由四边形 FGEC 为平行四边形，则 CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣﹣yE，求出 yE＝﹣，进而求解．
【解答】解：（1）把 m＝﹣2 代入 y＝﹣（x＜0）得 n＝﹣＝1；
故 n 的值为 1；

（2）①在 y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令 y＝0，则（x﹣m）（x﹣n）＝0，解得 x＝m 或 x＝n，
∴M（m，0），N（n，0），
∵点 P（m，n）在函数 y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴mn＝﹣2，
令 x＝，得 y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，
即当 m+n＝0，且 mn＝﹣2，
则 m2＝2，解得：m＝﹣（正值已舍去），
即 m＝﹣时，点 E 到达最高处；

②假设存在，理由：
对于 y＝（x﹣m）（x﹣n），当 x＝0 时，y＝mn＝﹣2，即点 G（0，﹣2），
由①得 M（m，0），N（n，0），G（0，﹣2），E（，﹣（m﹣n）2 ），对称轴为直线 x＝，
由点 M（m，0）、G（0，﹣2）的坐标知，tan∠OMG＝＝，
作 MG 的中垂线交 MG 于点 T，交 y 轴于点 S，交 x 轴于点 K，则点 T（m，﹣1），
则 tan∠MKT＝﹣m，
则直线 TS 的表达式为：y＝﹣m（x﹣ m）﹣1． 当 x＝时，y＝﹣ m（x﹣ m）﹣1＝﹣ ， 则点 C 的坐标为：（，﹣）．
由垂径定理知，点 C 在 FG 的中垂线上，则 FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3．
∵四边形 FGEC 为平行四边形，

则 CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣ ﹣yE，
解得：yE＝﹣ ，
即﹣ （m﹣n）2＝﹣ ，且 mn＝﹣2，
则 m+n＝，
∴E（﹣，﹣），或（，﹣）．
【点评】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四

边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点．

25．（12 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AD 上一动点（不与点 A，D 重合）．边 BC 关于 BE 对称的
线段为 BF，连接 AF．

（1） 若∠ABE＝15°，求证：△ABF 是等边三角形；
（2） 延长 FA，交射线 BE 于点 G．

①△BGF 能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE 的度数；如果不能，请说明理由；
②若 ，求△BGF 面积的最大值，并求此时 AE 的长．
【分析】（1）由轴对称的性质得到 BF＝BC，根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，求得∠CBE＝75°，根据轴对称的性质得到∠FBE＝∠CBE＝75°，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
①根据轴对称的性质得到 BC＝BF，根据正方形的性质得到 BC＝AB，得到 BA＜BE＜BG，推出点 B 不可能是等腰三角形 BGF 顶角的顶点，若点 F 是等腰三角形 BGF 顶角的顶点，则有∠FGB＝∠FBG＝∠CBG，此时 E 与 D 重合，不合题意，于是得到只剩下 GF＝GB 了，连接 CG 交 AD 于 H，根据全等三角形的性质得到 FG＝CG，得到△BGF 为等腰三角形，根据平行线的性质得到∠AHG＝∠BCG，求得∠BGF＝∠BGC＝＝45°，根据等腰三角形的