2025年陕西省西安市第一中学数学高二第一学期期末监测试题含解析.doc

2025年陕西省西安市第一中学数学高二第一学期期末监测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个
A.12 B.24
C.36 D.48
2．设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）
A.14 B.28
C.36 D.48
3．椭圆的长轴长为（）
A. B.
C. D.
4．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（）
A. B.
C. D.
5．在正方体中，E，F分别为AB，CD的中点，则与平面所成的角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
A. B.7
C.6 D.
7．一部影片在4个单位轮流放映，每个单位放映一场，不同的放映次序有（ ）
A.种 B.4种
C.种 D.种
8．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（）
A. B.
C. D.
9．甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是（）
A.极差 B.平均数
C.中位数 D.都不相同
10．如图，某铁路客运部门设计的从甲地到乙地旅客托运行李的费用c（元）与行李质量w（kg）之间的流程图．已知旅客小李和小张托运行李的质量分别为30kg，60kg，且他们托运的行李各自计费，则这两人托运行李的费用之和为（）

A.28元 B.33元
C.38元 D.48元
11．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和为石，则“衰分比”为（ ）
A. B.
C. D.
12．若数列满足，则（）
A.2 B.6
C.12 D.20
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为__________________.
14．已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为_________
15．已知函数，，则曲线在处的切线方程为___________.
16．甲乙参加摸球游戏，袋子中装有3个黑球和1个白球，球的大小、形状、质量等均一样，若从袋中有放回地取1个球，再取1个球，若取出的两个球同色，则甲胜，若取出的两个球不同色则乙胜，求乙获胜的概率为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为、右交点为.

（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；
（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.
（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.
18．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点
求证：（1）共面；
（2）求证：

19．（12分）已知： （常数）； ：代数式有意义
（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围
20．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，且，E为PD的中点

（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）在侧棱PC上是否存在点F，使得点F到平面AEC的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
21．（12分）已知椭圆C经过，两点
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与C交于P，Q两点，M是PQ的中点，O是坐标原点，，求证：的边PQ上的高为定值
22．（10分）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为，
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程：
（Ⅱ）求过点的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求的面积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设等比数列的首项为，公比，根据题意，由求解.
【详解】设等比数列的首项为，公比，
由题意得：，
即，
解得，
所以，
故选：D
2、D
【解析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.
【详解】因为为等差数列的前项和，
所以

故选：D
【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.
3、D
【解析】由椭圆方程可直接求得.
【详解】由椭圆方程知：，长轴长为.
故选：D.
4、C
【解析】先求出椭圆的右焦点，从而可求抛物线的准线方程.
【详解】，椭圆右焦点坐标为，故抛物线的准线方程为，
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，一般地，如果抛物线的方程为，则抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，本题属于基础题.
5、B
【解析】作出线面角构造三角形直接求解，建立空间直角坐标系用向量法求解.
【详解】设正方体棱长为2，、F分别为AB、CD的中点，由正方体性质知平面，所以平面平面，在平面作，则平面，因为，所以即为所求角，所以.
故选：B

6、A
【解析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝
故答案为
考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想
7、C
【解析】根据题意得到一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，即可得到答案.
【详解】一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，
所以不同的放映次序有种，
故选：C
8、A
【解析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.
【详解】解：依题意，即，
所以，
所以，由于，
所以
故选：A
9、B
【解析】由平均数、极差及中位数的定义依次求解即可比较
【详解】，
，故甲、乙的平均数相同，
甲、乙的极差分别为，，故不同，
甲、乙的中位数分别为，，故不同，
故选：
10、D
【解析】根据程序框图分别计算小李和小张托运行李的费用，再求和得出答案.
【详解】由程序框图可知，当时，元；当时，元，所以这两人托运行李的费用之和为元.
故选：D
11、A
【解析】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可
【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，
又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，
已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，
则，，
解得：，，
故选：A
12、D
【解析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出
详解】由得，
，
.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分两类：两次都互相交换白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.
【详解】分两类：①两次都互相交换白球的概率为；
②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率为
.
故答案为：.
14、
【解析】根据题意可以设，求其导数可知在上的单调性，由是上的奇函数，可知的奇偶性，进而可知在上的单调性，
由可知的零点，最后分类讨论即可.
【详解】设，则对，，
则在上为单调递增函数，
∵函数是上的奇函数，∴，
∴，
∴偶函数，∴在上为单调递减函数，
又∵，∴，由已知得，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
若，则；
若，则或，解得或或；
则的解集为.
故答案为：.
15、
【解析】根据导数的几何意义求得在点处的切线方程.
【详解】由，求导，知，
又，则函数在点处的切线方程为.
故答案为：
16、##0.375
【解析】先算出有放回地取两次的取法数，再算出取出两球不同色的取法数，根据古典概型的概率公式计算即可求得答案.
【详解】有放回地取两球，共有种取法，
两次取球不同色的取法有种，
故乙获胜的概率为 ，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.
【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，
即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,
联立两个曲线，得，，即，
当焦点是右焦点时，
线段的方程
当焦点时左焦点时，
，，线段的方程
（2），
假设点在曲线上
单调递增
∴
所以点不可能在曲线上
所以点只可能在曲线上，根据得
可以得到
当左焦点，，同样这样的使得不存在
所以这样的点一共2个
（3）设直线方程，圆方程为
直线与圆相切，所以

，
，

根据得到
补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，
∵，
当，存在，否则不存在
这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时
存在不存在.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.
18、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，， 0 ，，，，，从而，由此能证明共面
（2） 求出， 0 ，，，，，由，能证明
【详解】证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，

共面.

（2），

【点睛】本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题
19、（1）；（2）.
【解析】（1）若，分别求出，成立的等价条件，利用为真，求实数的取值范围；
（2）利用是的充分不必要条件，建立不等式关系即可求实数的取值范围
【详解】：等价于：即；
：代数式有意义等价于：
，即，
（1）时，即为，
若“”为真命题，则，得：
故时，使“”为真命题的实数的取值范围是，，
（2）记集合，，
若是成立的充分不必要条件，则是的真子集，
因此：， ，
故实数的取值范围是
20、（1）证明见解析
（2）
（3）存在；
【解析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角；
（3）设出F点坐标，用空间向量的点到平面距离公式进行求解.
【小问1详解】
证明：连接BD，设BD与AC交于点O，
连接PO．因为，所以

四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，则
又，所以平面PBD，
因为平面PBD，所以
【小问2详解】
因为，所以，所以由（1）知平面ABCD，
以O为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，
建立空间直角坐标系，

则，，，，，
，
所以，，，
设平面AEC的法向量，则，
即，令，则
平面ACD的法向量，，
所以二面角为；
【小问3详解】
存在点F到平面AEC的距离为，理由如下：
由（2）得，，
设，则，
所以点F到平面AEC的距离，
解得，，所以
21、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）设出椭圆方程，根据的坐标求得椭圆方程.
（2）对直线的斜率分成存在和不存在两种情况进行分类讨论，求得的边PQ上的高来证得结论成立.
【小问1详解】
设椭圆方程为，
将坐标代入得，
所以椭圆方程为.
小问2详解】
当直线的斜率不存在时，关于轴对称，
由于，所以，
即，
直线与椭圆有两个交点，符合题意.
所以的边PQ上的高为.
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
由消去并化简得①，
设，
则，
.
由于M是PQ的中点且，所以，
所以，
即，
，
，
.
此时①的

.
原点到直线的距离为.
综上所述，的边PQ上的高为定值
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据题意可以求出椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式，求出的值，然后结合椭圆的关系求出，最后写出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）根据平面向量共线定理可以得出A，B两点横坐标和纵坐标之间的关系，再设出直线AB方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出直线AB的斜率，最后根据三角形面积结合根与系数关系求出的面积.
【详解】（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为，
由题意可得，又
，，所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设，，由得：，
验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为
联立椭圆方程，得：，整理得：，
得：，将代入得，
所以的面积.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用一元二次方程根与系数关系求直线斜率和三角形面积问题，考查了数学运算能力.