甘肃省嘉峪关市第一中学2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

甘肃省嘉峪关市第一中学2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A.6 B.12
C.56 D.78
2．在下列函数中，求导错误的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3．复数的共轭复数的虚部为（）
A. B.
C. D.
4．已知椭圆的离心率为，则（）
A. B.
C. D.
5．设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
6．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是（ ）

A. B.
C. D.
8．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（）
A. B.
C. D.1
9．过点且平行于直线的直线方程为（）
A. B.
C. D.
10．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（）

A. B.
C. D.
11．若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
12．命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，AD与BC是三棱锥中互相垂直的棱，，（c为常数）.若，则实数的取值范围为__________.

14．已知抛物线，则的准线方程为______.
15．某中学高一年级有420人，高二年级有460人，高三年级有500人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取21人，则从高三年级抽取的人数是__________
16．已知双曲线的左，右焦点分别为，P是该双曲线右支上一点，且（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为

5
6
7

.

表示2台设备使用期间需更换的零件数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.
（1）求的分布列；
（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？
18．（12分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线方程；
（2）直线与抛物线相交于两个不同的点，为坐标原点，若，求实数的值；
19．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点
（1）求椭圆的方程及焦点坐标；
（2）若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围
20．（12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
21．（12分）长方体中，，点分别在上，且.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
22．（10分）已知数列满足各项均不为0，，且，.
（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；
（2）令，，求.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由等比数列的性质直接求得.
【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：
由，解得：；
由可得：，
所以.
故选：D
2、B
【解析】分别求得每个函数的导数即可判断.
详解】；
；
；
.
故求导错误的是B.
故选：B.
3、B
【解析】先根据复数除法与加法运算求解得，再求共轭复数及其虚部.
【详解】解：，
所以其共轭复数为，其虚部为
故选：B
4、D
【解析】由离心率及椭圆参数关系可得，进而可得.
【详解】因为，则，所以.
故选：D
5、C
【解析】根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得，由双曲线的性质可知，利用函数的单调性即可求得最小值.
【详解】由双曲线：可得
，，所以，
所以，，
由双曲线的定义可得，所以，
所以，
由双曲线的性质可知：，令，则，
所以上单调递增，
所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点，
即的最小值为，
故选：C.

6、B
【解析】方程有两个根，转化为求函数的单调性与极值
【详解】函数定义域是，
有两个零点，即有两个不等实根，即有两个不等实根
设，则，
时，，递减，时，，递增，
极小值＝，而时，，时，，
所以
故选：B
7、A
【解析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，在平行六面体中，，
可得.
故选：A.
8、B
【解析】直接由点面距离的向量公式就可求出
【详解】∵，
∴，又平面的一个法向量为，
∴点A到平面的距离为
故选：B
9、A
【解析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.
【详解】解：设直线的方程为，
把点坐标代入直线方程得.
所以所求的直线方程为.
故选：A
10、D
【解析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此时的的值.
【详解】设为第一象限的交点，、，
则、，解得、，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，
，
即，当且仅当，即，时等号成立，
此时
故选：D
11、B
【解析】构造函数，根据题意，求得其单调性，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】构造函数，则，故在上单调递减；
又，故可得，则，即，解得，
故不等式解集为.
故选：B.
【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性，以及利用函数单调性求解不等式，解决本题的关键是根据题意构造函数，属中档题.
12、C
【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，
故命题的否定是“”.
本题选择C选项.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分析得都在以为焦点的椭球上，再利用椭球的性质得到，化简即得解.
【详解】解：因为，
所以都在以为焦点椭球上，
由椭球的性质得，是垂直椭球焦点所在直线的弦，的最大值为,此时共面且过中点，
即
故实数的取值范围为.
故答案为：
14、##
【解析】根据抛物线的方程求出的值即得解.
【详解】解：因为抛物线，所以，
所以的准线方程为.
故答案为：
15、25
【解析】由条件先求出抽样比，从而可求出从高三年级抽取的人数.
【详解】由题意抽样比例：
则从高三年级抽取的人数是人
故答案为：25
16、
【解析】由已知及向量数量积的几何意义易知，根据双曲线的性质可得，再由双曲线的定义及勾股定理构造关于双曲线参数的齐次方程求离心率.
【详解】∵，
∴△为等腰三角形且，又，
∴，
∴．又，，
∴，则，可得，
∴双曲线C的离心率为
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析；
（2）应选择.
【解析】(1)由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解.
(2)分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答.
【小问1详解】
的可能取值为10，11，12，13，14，
，，
，，
，
则的分布列为：

10
11
12
13
14

0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
【小问2详解】记为当时购买零件所需费用，
，，
，，
元，
记为当时购买零件所需费用，
，，
，
元，显然，
所以应选择.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；
（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.
【小问1详解】
解：由抛物线过点，且，
得
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
设，联立得，
，
，
，
则，
，即，
解得或，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去；
所以实数的值为.
19、（1），
（2）
【解析】（1）由题意，列出关于a，b，c的方程组求解即可得答案；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），则，作差可得①，又线段MN的垂直平分线过点A（0，1），则②，联立直线MN与椭圆的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式联立即可求解
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，
所以椭圆C的方程为，焦点坐标为
【小问2详解】
解：设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），
因为，所以，即，
所以①，
因为线段MN的垂直平分线过点A（0，1），所以，即②，
联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，
所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，
把③代入②，得④，
把③④代入①得，
所以，即，代入（*）得，解得，又k≠0，
所以k的取值范围为
20、（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.
【解析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.
【详解】解：（Ⅰ），
∵曲线在处的切线方程为，
∴解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，
令，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
∴在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.
21、（1）证明见解析.
（2）
【解析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；
（2）以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由面面角的空间向量求解方法可得答案.
【小问1详解】
证明：长方体中，平面，又平面，
又平面，
又平面
同理可证，而平面，
平面
【小问2详解】
解：以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

从而，，，
由（1）知，为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，
，
则，从而，令，则，得平面的一个法向量为

由图示得平面与平面所成的角为锐角，平面与平面所成的角的余弦值为
22、（1）证明见解析，，
（2）
【解析】（1）根据题意，结合递推公式，易知，即可求证；
（2）根据题意，结合错位相减法，即可求解.
【小问1详解】
∵，∴，，
∴等差数列，首项为，公差为3.
∴，即，.
【小问2详解】
根据题意，得，
，①
，②
①-②得

，
故.