2025-2026学年河北省唐山市唐县第一中学数学高二上期末监测试题含解析.doc

2025-2026学年河北省唐山市唐县第一中学数学高二上期末监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）
A.13 B.14
C.15 D.16
2．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（）
A.里 B.里
C.里 D.里
3．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（）
A.相交 B.相离
C.内切 D.外切
4．已知，则下列不等式一定成立的是（）
A B.
C. D.
5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（）
A.4 B.12
C.15 D.18
6．已知是定义在上的函数，其导函数为，且，且，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
7．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）
A B.
C. D.
8．用反证法证明“若a，b∈R，，则a，b不全为0”时，假设正确的是（）
A.a，b中只有一个为0 B.a，b至少一个不为0
C.a，b至少有一个为0 D.a，b全为0
9．在长方体中，，，分别是棱，的中点，则异面直线，的夹角为（）
A. B.
C. D.
10．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是1，且，.记数列的前项和、前项积分别为，，若，则的最小值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
11．双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，，，则的离心率为（ ）
A. B.2
C. D.
12．已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: + = 1和双曲线C2: - =1在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ .

14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.

15．已知椭圆：的右焦点为，且经过点
（1）求椭圆的方程以及离心率；
（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由
16．设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点
（1）若，证明：直线必过坐标原点；
（2）设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程
18．（12分）已知抛物线C：焦点F的横坐标等于椭圆的离心率.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过(1，0)作直线l交抛物线C于A，B两点，判断原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.
19．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，

（1）证明：；
（2）设平面平面，求l与平面MND所成角的正弦值
20．（12分）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量x吨收取的污水处理费y元，运行程序如图所示：
INPUT x
IF THEN

ELSE
IF THEN

ELSE

END IF
END IF
PRINT y
END
（1）请写出y与x的函数关系式；
（2）求排放污水150吨的污水处理费用.
21．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限（单位：年）
1
2
3
4
5
6
7
失效费（单位：万元）
2.90
3.30
3.60
4.40
4.80
5.20
5.90
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）
（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费
参考公式：相关系数
线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，
参考数据：，，
22．（10分）等差数列中，首项，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由题意可得募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，设共募捐了天，然后建立关于的方程，求出即可
【详解】由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，
募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，
根据题意，设共募捐了天，则，
解得或（舍去），所以，
故选：
2、C
【解析】建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解
【详解】记第天走的路程为里，则是等比数列，，
，
故选：C
3、A
【解析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.
【详解】由条件可知，，
化简为：，
动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，
所以两圆相交.
故选：A
4、B
【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
【详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，所以，故D不正确.
故选：B
5、C
【解析】先求出公差，再利用公式可求总重量.
【详解】设头部一尺重量为，其后每尺重量依次为，
由题设有，，故公差为.
故中间一尺的重量为
所以这5项和为.
故选：C.
6、B
【解析】令，再结合，和已知条件将问题转化为，最后结合单调性求解即可.
【详解】解：令，则，
因为，所以，即函数为上的增函数，
因为，不等式可化为，
所以，故不等式的解集为
故选：B
7、B
【解析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a和纵截距b，面积为
【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为
令，得；
令，得
故所求三角形的面积为

故选：B
8、D
【解析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设
【详解】由于“a，b不全为0”的否定为：“a，b全为0”，
所以假设正确的是a，b全为0.
故选：D
9、C
【解析】设出长度，建立空间直角坐标系，根据向量求异面直线所成角即可.
【详解】如下图所示，以，，所在直线方向，，轴，
建立空间直角坐标系，设，，，
，，，所以，，
设异面直线，的夹角为，所以，
所以，即异面直线，的夹角为.
故选：C.

10、C
【解析】先利用序列的所有项都是1，得到，整理后得到是等比数列，进而求出公比和首项，从而求出和，利用，列出不等式，求出，从而得到的最小值
【详解】因为，，所以，
又序列的所有项都是1，所以它的第项，所以，
所以数列是等比数列，又，，所以公比，.
所以，，
，要，即，
即，所以，所以，，所以最小值为4.
故选：C.
11、C
【解析】根据双曲线定义、余弦定理，结合题意，求得关系，即可求得离心率.
【详解】根据题意，作图如下：

不妨设，则，，①；
在△中，由余弦定理可得：，代值得：，②；
联立①②两式可得：；
在△和△中，由，
可得：，整理得：，③；
联立②③可得：，又，
故可得：，则，
则，故离心率为.
故选：C.
12、B
【解析】设出直线，并与抛物线联立，得到，再根据抛物线的定义建立等式即可求解.
【详解】因为直线l的方程为，即，
由消去y，得，
设，则，
又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为3，所以，
而，所以，
故，解得，所以抛物线的方程为
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.
【详解】椭圆；双曲线，
双曲线和椭圆的焦点重合.
根据双曲线的定义有，
所以①，②，
根据椭圆的定义由，
所以路程

.
故答案为：
14、
【解析】根据三视图还原几何体，由此计算出几何体的体积.
【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥，
所以该几何体的体积为.
故答案为：

15、（1），；（2）存在定点，为
【解析】（1）利用，，求解方程
（2）设直线方程为，与椭圆联立利用判别式等于0得，并求得切点坐标及，假设存在点，利用化简求值
【详解】（1）由已知得，，，，椭圆的方程为，离心率为；
（2）在轴存在定点，为使，证明：设直线方程为
代入得，化简得
由，得，，
设，则，，
则，设，则，则
假设存在点
解得
所以在轴存在定点使
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于0得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题
16、
【解析】，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果
【详解】椭圆，
可得，设，，
可得，
化简可得：，
，故答案为
【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）设，首先证明，从而可得到，即得到；进而可得到四边形为平行四边形；再根据为的中点，即可证明直线必过坐标原点
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件可求出直线MN过定点，从而可得到过定点，进而可得到点在以为直径的圆上运动，从而可求出动点的轨迹方程
【小问1详解】
设，则，即
因为，，所以
因为，所以，所以.
同理可证.
因为，，所以四边形为平行四边形，
因为为的中点，所以直线必过坐标原点
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立，整理得，
则，，.
因为，所以，
因为
，解得或.
当时，直线的方程为过点A，不满足题意，所以舍去；
所以直线的方程为，所以直线过定点.
当直线的斜率不存在时，因为，所以直线的方程为，经验证，符合题意.
故直线过定点.
因为为的中点，为的中点，所以过定点.
因为垂直平分公共弦，所以点在以为直径的圆上运动，
该圆的半径，圆心坐标为，
故动点的轨迹方程为．
18、（1）；
（2）原点在以线段AB为直径的圆上，详见解析.
【解析】（1）利用椭圆方程可得其离心率，进而可求抛物线的焦点，即求；
（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理法可得，即得.
【小问1详解】
由椭圆，可得
，故，
∴抛物线C的方程为.
【小问2详解】
由题可设直线l的方程为，
由，得，
设，则
，
又，故，
∴，
∴，即，
故原点在以线段AB为直径的圆上.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.
（2）利用向量法求得与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
∵PD⊥平面ABCD，，以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）
所以，，
所以,
所以.
【小问2详解】
由正方形ABCD得，CD//AB，
∵平面PAB，平面PAB，
∴CD//平面PAB；
又∵平面PCD，平面平面
∴CD//l；
于是CD与平面MND所成的角即为l与平面MND所成的角
由（1）知，
设平面MND的一个法向量，则，
取，则，
于是是平面MND的一个法向量，
因为，设l与平面MND所成角为，则

20、（1）；
（2）1400（元）.
【解析】（1）根据已知条件即可容易求得函数关系式；
（2）根据（1）中所求函数关系式，令，求得函数值即可.
【小问1详解】
根据题意，得：
当时，；
当时，；
当时，.
即.
【小问2详解】
因为，故，
故该厂应缴纳污水处理费1400元.
21、（1）答案见解析；（2）；失效费为6.3万元
【解析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数可得结果；
（2）根据公式求出和可得关于的线性回归方程，再代入可求出结果.
【详解】（1）由题意，知，
，

∴结合参考数据知：
因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系
（2）∵，
∴
∴关于的线性回归方程为，
将代入线性回归方程得万元，
∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出，进而得出数列的通项公式；
（2）根据裂项相消求和法得出前项和为和.
【小问1详解】
因为成等比数列，所以
即，解得，所以；
【小问2详解】
因为，
，
，