2025年西藏自治区日喀则市南木林高中数学高二上期末质量检测试题含解析.doc

2025年西藏自治区日喀则市南木林高中数学高二上期末质量检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A. B.2
C.或2 D.或
2．函数的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知关于x的不等式的解集为空集，则的最小值为（ ）
A. B.2
C. D.4
4．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（）

A. B.
C. D.
5．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（）
A. B.
C.或 D.或
6．已知直线在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m的值为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
7．已知圆，则圆C关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8．函数的大致图象为
A. B.
C. D.
9．已如双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
10．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面是铅垂面，下宽，上宽，深，平面BDEC是水平面，末端宽，无深，长（直线到的距离），则该羡除的体积为（ ）

A. B.
C. D.
11．定义域为的函数满足，且的导函数，则满足的的集合为
A. B.
C. D.
12．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在等腰直角△ABC中，，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的内心，则___________.

14．已知命题：，总有．则为______
15．若满足约束条件，则的最大值为_________.
16．已知数列{an}满足an+2=an+1－an（n∈N*），且a1= 2，a2= 3，则a2022的值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的
（1）求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程
18．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程
19．（12分）已知函数
（1）当时，求的单调性；
（2）若存在两个极值点，试证明：
20．（12分）设椭圆过，两点，为坐标原点
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由
21．（12分）茶树根据其茶叶产量可分为优质茶树和非优质茶树，某茶叶种植研究小组选取了甲，乙两块试验田来检验某种茶树在不同的环境条件下的生长情况．研究人员将100株该种茶树幼苗在甲，乙两块试验田中进行种植，成熟后统计每株茶树的茶叶产量，将所得数据整理如下表所示：

优质茶树
非优质茶树
甲试验田
a
25
乙试验田
10
b
已知甲试验田优质茶树的比例为50%
（1）求表中a，b的值；
（2）根据表中数据判断，是否有99%的把握认为甲，乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响？
附：，其中．

0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635

22．（10分）已知圆C的圆心在直线上，且过点，
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，______，求m的值
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：圆上一点P到直线的最大距离为；条件③：
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据成等比数列求得，再根据离心率计算公式即可求得结果.
【详解】因为实数成等比数列，故可得，解得或；
当时，表示焦点在轴上的椭圆，此时；
当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时.
故选：C.
2、D
【解析】求导后，利用求得函数的单调递减区间.
【详解】解：，
则，
由得，
故选：D.
3、D
【解析】根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零，根的判别式小于零，可得出，再将化为，由和均值不等式可求得最小值.
【详解】由题意可得：，，可以得到，
而，
可以令，
则有，
当且仅当取等号，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查均值不等式，关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出的关系，再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数，运用均值不等式，是中档题.
4、A
【解析】以C为坐标原点，分别以，，方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.
【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，则，，
所以.
又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.

5、C
【解析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，
当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为；
当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为，
所以所求抛物线的方程为.
故选：C.
6、C
【解析】求出直线方程在两坐标轴上的截距，列出方程，求出实数m的值.
【详解】当时，，故不合题意，故，，令得：，令得：，故，解得：.
故选：C
7、B
【解析】求得圆的圆心关于直线的对称点，由此求得对称圆的方程.
【详解】设圆的圆心关于直线的对称点为，
则，
所以对称圆的方程为.
故选：B
8、D
【解析】根据函数奇偶性排除A、C.当时排除B
【详解】解：由可得
所以函数为偶函数，排除A、C.
因为时，，排除B.
故选：D.
9、A
【解析】先作辅助线，设出边长，结合题干条件得到，，利用勾股定理得到关于的等量关系，求出离心率.
【详解】连接，设，则根据可知，，因为，由勾股定理得：，由双曲线定义可知：，，解得：，，从而，解得：，所以，，由勾股定理得：，从而，即该双曲线的离心率为.

故选：A
10、C
【解析】在，上分别取点，，使得，连接，，，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算
【详解】如图，在，上分别取点，，使得，连接，，，则三棱柱是斜三棱柱，该羡除的体积三棱柱四棱锥.
故选：C

【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力
11、B
【解析】利用2f(x)<x＋1构造函数g(x)＝2f(x)－x－1，进而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的单调性结合g(1) ＝0即可解出
【详解】令g(x)＝2f(x)－x－1.
因为f′(x)>，
所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.
所以g(x)单调增函数
因为f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.
所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.
故选B.
【点睛】本题主要考察导数的运算以及构造函数利用其单调性解不等式．属于中档题
12、D
【解析】由题可知：，，，
故选；D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求得△的内心坐标，根据△内心以及关于的对称点三点共线，即可求得点的坐标，则问题得解.
【详解】根据题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，如下所示：

则，不妨设，则直线的方程为，
设点坐标为，则，且，整理得，
解得，即点，又；
设△的内切圆圆心为，则由等面积法可得，解得；
故其内心坐标为，
由及△的内心三点共线，即，整理得，
解得（舍）或，故.
故答案为：.
14、，使得
【解析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.
【详解】解：因为命题，总有，
所以的否定为：，使得
故答案为，使得
【点睛】本题考查了全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.
15、7
【解析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象和直线在轴上的截距，确定目标函数的最优解，代入即可求解.
【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
目标函数可化为，
当直线过点点时，此时直线在轴上的截距最大，
此时目标函数取得最大值，
又由，解得，即,
所以目标函数的最大值为.
故答案为：.

16、
【解析】根据递推关系求出数列的前几项，得周期性，然后可得结论
【详解】由题意，，，，，，所以数列是周期数列，周期为6，
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或
【解析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程；
（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程
【详解】解（1）直线的倾斜角为，
∴直线的倾斜角为，斜率为，
又直线过点，
∴直线的方程为，即；
（2）设直线的方程为，则点到直线的距离
，
解得或
∴直线的方程为或
18、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；
（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.
【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；
（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，
AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心坐标是C(3，2)
又r＝|AC|＝＝2.
所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
19、（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】（1）依据导函数判定函数的单调性即可；
（2）等价转化和构造新函数在不等式证明中可以起到关键性作用.
【小问1详解】
的定义域为，
当时，
令得，
当时，；当时，
所以在和上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
，
存在两个极值点，则有二正根，由，得
由于的两个极值点满足，所以，
不妨设，则
由于，
所以等价于
设函数，

在单调递减，又，从而
所以，故.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理
20、（1）
（2）存在，，
【解析】（1）根据椭圆E： （）过，两点，直接代入方程解方程组，解方程组即可.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到，结合题意求解即可，当切线斜率不存在时，验证即可.
【小问1详解】
将，的坐标代入椭圆的方程得，
解得，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
假设满足题意的圆存在，其方程为，其中，
设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点，
当直线的斜率存在时，令直线的方程为，①
将其代入椭圆的方程并整理得，
由韦达定理得，，②
因为，所以，③
将①代入③并整理得，
联立②得，④
因为直线和圆相切，因此，由④得，
所以存在圆满足题意
当切线的斜率不存在时，易得，
由椭圆方程得，显然，
综上所述，存在圆满足题意
当切线的斜率存在时，由①②④得

，
由，得，
即
当切线的斜率不存在时，易得，
所以
综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且
21、（1）；
（2）有99%的把握认为甲、乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响
【解析】（1）根据即可求出，从而可得到；
（2）根据独立性检验的基本思想求出的观测值，与6.635比较，即可判断
【小问1详解】
甲试验田优质茶树比例为50%，即，解得

【小问2详解】
，
因为，故有99%的把握认为甲、乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据圆心在过点，的线段的中垂线上，同时圆心圆心在直线上，可求出圆心的坐标，进而求得半径，最后求出其标准方程；
（2）选①利用用垂径定理可求得答案，选②根据圆上一点P到直线的最大距离为可求得答案，选③先利用向量的数量积可求得，解法就和选①时相同.
【小问1详解】
由题意可知，圆心在点的中垂线上，
该中垂线的方程为，于是，由，
解得圆心，圆C的半径
所以，圆C的方程为；
【小问2详解】
①，因为，，
所以圆心C到直线l的距离，则，解得，
②，圆上一点P到直线的最大距离为，可知圆心C到直线l的距离
则，解得，
③，因为，所以，
得，又，所以圆心C到直线l的距离，
则，解得