小学数学解题教学研究.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小学数学解题教学研究,小学数学解题,教学,研究,解题研究及理论简介,归纳问题,周期问题,数论,问题,砝码称重,勾股定理,鸡兔同笼,行程问题,数学趣题及数学应用,苏格拉底助产术,关于问题解决的最早记录之一出现在柏拉图的苏格拉底谈话录门诺中，在书中，苏格拉底和门诺的仆人进行了一次典型的“苏格拉底谈话”向仆人提出一系列诱导式的问题，对他的回答进行细微的纠正，最终使仆人证明了一个数学关系式。,苏格拉底提醒门诺，他并没有告诉仆人任何东西，而仆人则完全依靠自己回答了所有的问题。仆人利用“记忆”中的重要结果对这些问题作出了正确的回答。但是并没有人曾教给仆人这些结果，这说明仆人原本就知道它们。也就是说，知识存在于他们永恒的灵魂之中而非存在于身体之中。正因为灵魂是所有知识的居住地，所以他能够想起这些知识。总之，知识是永恒的，如同柏拉图式的，它也是完美的。知识既不可能被生产，也不可能被发现，而只能被回忆。,笛卡儿的伟大设想,十七世纪。笛卡儿开始他的“创造性思维”的研究，他构造了一个伟大设想，在这个设想中：首先通过数学化把任何问题转化为数学问题；然后把任何数学问题转化为代数问题；再把代数问题转化为解单个的方程。,笛卡儿希望在他的有生之年完成他的伟大事业，他的一些成功的努力被记录在后人的纪念性文章思考的规则（1952）里。其中，说明了普通人怎样才能象笛卡儿那样思考，利用他的方法，象他那样解决问题。,官能心理学和训练理论,在19世纪的大部分时间里，在学校课程中起统治地位的是官能心理学和训练理论。按照官能心理学的观点，每个人的大脑是由各种官能（或者说心理功能）所组成的，这些官能包括感觉、记忆、想象、理解、直觉、推理等，不同的官能位于大脑的不同部位，而且可以通过针对性的训练来发展或者强化某个特殊的官能。在这种理论的支配下，学校的任务就是发展学生的各种基本技能，而其中，数学，特别是高水平的数学，则是发展学生推理技能的主要手段。,在这一阶段，数学课程中的问题解决主要以常规问题为主，不考虑对数学结构的理解，而一味地推行训练与练习。教材中的习题部分的普遍形式是：先给出一道例题及一条相应的解题法则，然后提供一系列的类似问题进行练习。,20世纪中期,对于问题解决来说，1945年是标志性的一年。在这一年里，关于问题解决的经典著作创造性思维（Max.Wertheimer）和数学领域的发明心理学(Jacques Hadmard)的英文版首次发行。而最重要的是，波利亚的怎样解题也问世于这一年。这本书的出版，无论对波利亚还是对问题解决都是一个转折点：对作者本人来说，这本书成了他的关于数学思维本质的一系列重要著作的第一本，而数学思维则成了他此后工作的核心，并相继出版了数学与猜想（1954），数学的发现（第一卷，1962；第二卷，1965）；而对于问题解决来说，这本书的影响也是巨大的。,波利亚的两个例子,前n个自然数的平方和,n个平面最多可以将空间分成几个部分？,波利亚的解题四步骤,弄清题意,制订计划,实现计划,回顾,20世纪80年代的研究热潮,1977年，美国全国数学督导委员会（NCSM，1977）宣布：“学习数学的根本目的是学会问题解决”。1980年，全国数学教师协会在行动的议程中提出：“问题解决应该成为80年代学校数学教育的核心”。这一口号很快得到了世界各国数学教育界的普遍响应，并由此掀起了一股问题解决研究的热潮。这股热潮一直延续到九十年代，在美国关于数学教育的一些主要刊物1991年所发表的论文中，问题解决占据了首要的位置，约占全部论文的五分之一。,问题解决的四维超立方体模型（切片）,解题教学,问题,解题,理论,/应用,封闭,/开放,常规,/非常规,知识与经验,表征与探索,控制与调节,情感与信念,题组训练,变式教学,专家模式,学徒式教学,小组合作,研究性学习,关于数学解题的研究,解题方法,解题过程,解题能力,解题策略,解题思想方法,解题技巧,逻辑过程,心理过程,能力类型,波利亚,方法论,证题术,施恩菲尔德,奥加涅相,心理学,中国,克鲁切茨基,能力因素,解题,关于解题者的研究,解题者,差异分析,个体的解题背景,实际的解题过程,针对性解题教学,知识经验,认知因素,元认知因素,情感因素,优生,中等生,差生,常规/非常规题,封闭/开放题,理论/应用题,题型教学,策略专项训练,小组合作学习,（,专家）模型,课题活动,案例分析,教学实验,问题解决的心理历程,（一）认知课题,认知课题是解决问题的起始环节和基础,（二）表征课题,通过对课题的认知和理解，在对课题进行编码的基础上，在头脑中形成课题的条件与问题的初步印象，即为课题表征。课题表征既是个体对面临的任务、环境信息以另一种形式在心理活动中的表现和记载，也是个体进行问题解决时所加工的对象。它可以反映在解题过程和策略的选择上。课题表征的水平对问题解决有重要影响,问题解决的心理历程,（三）联想与匹配（模式识别）,解决问题依赖于过去的知识经验。在获得某种表征信息后，就以该表征作为一种提取线索，通过联想，激活头脑中的已有经验，获取有关的信息，并将内外信息进行比较、匹配。若匹配成功，课题即被视作已有经验系统的一个实例或同例，产生与原经验系统中的问题解决一致的或相平行的解法。在匹配过程中，若已有经验不能提供现成的实例或同例，则需通过联想激活有关经验生成一个可与之匹配的新的实例或同例。若匹配失败，则将重新回溯到起始阶段，逐一进行检查，检查感觉信息中选用的信息是否可靠（即审题是否正确），对课题的初步理解（课题表征）是否有误，与长时记忆中信息建立的联系是否适宜（即联想是否恰当），然后再一次进行匹配。如此反复进行，逐步缩小检查的范围直到匹配成功，问题才得到解决。,问题解决的心理历程,（四）反思结果,反思结果包含两层意思。一是对获得结果的整个思维过程进行检查。二是反思从该课题可得出的经验和教训。反思的有效方法一般有：（1）找出问题解决过程中的主要困难及关键，搞清楚自己是怎样寻找思路的。（2）对解题方法重新评价，找到最优解决方法。（3）思考解决该课题的过程中，是否有某种技巧值得吸取，是否有某种技巧尔后在类似的场合中用得上。（4）弄清楚当前的课题中可以得到哪些结论或吸取什么教训。（5）概括出课题的一般结构、特点，总结出运用该课题解法的条件范围，以便把该课题的解法推广到同一类型的所有题,美国2000年课标中的问题,问题,：一个矩形长和宽的比是4：3，它的面积是300平方英寸，它的长和宽是多少？,解法一：,解法二：30012=25，所以每个正方形的面积为25，边长为5。,弗赖登塔尔介绍的教学问题,问题：一件T恤与三瓶饮料总价30元，两件T恤与两瓶饮料总价44元，求T恤、饮料的单价。,（1）T U U U 30 （2）T T U U 44,法一：T U U U T U U U=60U U U U=16U=4,法二：T U=22 U U=8U=4,法三：从（2）到（1）少14元，再到 U U U U又少14元，即16元。,一个常见的数学教学问题,求和,归纳问题（1）,如下图所示的长方形由,6,个相同的小方格组成，现在将其中的部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何两个相邻的小方格都至少有一个被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法,种。,(,所有小方格均被涂上黑色也允许。只要有一个编号的小方格的颜色不同，就被认为是不同的涂色方法,),1,2,3,4,5,6,归纳问题（2）,如下图所示的长方形由,9,个相同的小方格组成，现在将其中的部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何两个相邻的小方格都至少有一个被涂上黑色，那么共有不同的涂色方法,种。,(,所有小方格均被涂上黑色也允许。只要有一个编号的小方格的颜色不同，就被认为是不同的涂色方法,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,归纳问题（,3,）,青蛙公子在练习跳台阶。台阶共有8级，青蛙公子每一步只能往上跳一级或二级台阶。若以每一步跳后的落脚点为哪几个台阶来区分，青蛙公子从最下面跳到第8级台阶的顶上共有,种不同的跳法。,完全数,毕达哥拉斯（,Pythagoras,，公元前,572-497,）,完全数,：正因数之和等于该数本身（因数包括1但不包括该数自身），6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，8128，33550336（1538年），8589869056（一个梅森素数对应一个完全数，至2005年共发现42个完全数）,亲和数,亲和数,：两个数中任意一个数除了它自身以外的所有正因数的和恰好等于另一个数。,最小的一对是220和284。,220=2,2,511，284=2,2,71,1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,1+2+4+71+142=220,哥德巴赫猜想,哥德巴赫猜想（1742年）：每一个不小于6的偶数都是两个奇素数的和，每一个不小于9的奇数都是三个奇素数的和。,德国数学家哥德巴赫（,Goldbach,，,1690-1764,）,1966,年陈景润证明了“,1+2,”：,每一个不小于6的偶数都可以表示成一个奇素数与不超过两个奇素数乘积的和。,斐波那契数列,1228,年算经修订版中载有如下的“兔子问题”：某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子（假定养的时候是小兔）开始，一年内能繁殖成多少对兔子？,其结果是著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，,一个有趣的悖论,3,5,3,5,5,5,8,斐波那契,斐波那契,（L.Fibonacci,1170-1250）是欧洲中世纪第一位有影响的数学家，他早年随其父在北非师从阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后写成算经一书这部名著主要是一些来源于中国、印度、希腊的数学问题的汇编，内容涉及整数和分数算法，开方法，二次和三次方程以及不定方程,斐波那契数列的应用,斐波那契数列有着广泛的应用，优选法就与该数列有密切的联系科学家们发现，蜜蜂的繁殖速度符合斐波那契数列多数花的花瓣数是斐波那契数列中的项，如百合花是,3,，野玫瑰是,5,，大波斯菊是,8,，金盏草是,13,，紫宛是,21,，雏菊是,34,等,生物学中有一个“鲁德维格定律”就是斐波那契数列在植物学上的应用,归纳,问题,（4）,（,勾股数,）,3，4，5,5，12，13,7，24，25,归纳问题（,5,）,悟空和八戒在玩变戏法。原有一只1层布做的袋子和袋子里装着的一些桃子。戏法规则是：袋子里装的桃子等于或超过1000个时，1次变化就使3个桃子和袋子的1层布消失；袋子里装的桃子少于1000个时，1次变化就增加5个桃子和袋子的1层布。若袋子的每层布均消失，则袋子也不存在了，桃子堆放在草地上。现在，有一只1层布的袋子内装着84个桃子，那么经过若干次变化，袋子变没后，堆放在草地上的共有,只桃子。,周期问题（1）,今天是星期四，从明天起的第1天是星期五，第二天是星期六，第 天是星期几？,指数 1 2 3 4 5 6 7,除以7余 3 2 6 4 5 1 3,1006=164，除以7余4,费马小定理,P为素数，a与p互质，则,a,p-1,1(mod p),P为素数，a为任意整数，则,a,p,p(mod p),周期,问题（2）,整数3,20,13,除以11的余数是,。,3,1,0,1(mod,11,),3,2013,3,1,0201,3,3,5,(mod,11,),周期问题,（3）,下面这串数字从第5个数开始，每个数都等于它前面的3个数之和：,2，0，0，8，8，16，32，56，104，,这串数中第2008个数除以6的余数是,。,2，0，0，2，2，4，2，2，2，0，4，0，4，,2，0，0,一个基本结论,递归数列：a,n,=f(a,1,a,2,a,n-1,),值域是有限数集的递归数列必为周期数列。,整除和同余问题,被3，9整除的整数特点。,被4，25整除的整数特点。,被8，125整除的整数特点。,被11整除的整数特点。,被7，13整除的整数特点。,(1001=71113）,整除和同余问题（1）,有一个六位数，各个数位上的数字互不相同且都不是0，如果这个六位数能被11整除，那么将这个六位数的六个数字重新排列，至少还能排出,个能被11整除的六位数。,整除和同余问题（2）,老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是2的倍数。”第二个同学说：“这个数是3的倍数。”第三个同学说：“这个数是4的倍数。”第十四个同学说：“这个数是15的倍数。”最后，老师说：“在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的自然数最小是,。,整除和同余问题（3）,整数A=3786542241059362 31678451 的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D。那么D=,。,整除和同余问题（4）,整数A=,4444,4444,的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D。那么D=,。,整除和同余问题（5）,有9个小朋友围成一圈，按顺时针方向依次编为19号。现在按如下的方法给他们发糖：先给1号小朋友发一块糖，然后顺时针方向隔过一人后给3号小朋友发一块糖，再顺时针方向隔过两人后给6号小朋友发一块糖，如此依次间隔1人、2人、3人、4人发糖。那么拿到第100块糖的是,号小朋友。,孙子算经中的物不知数,今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。,702+213+152-2105=23。,除以3余2的数：2，5，8，11，,其中除以5余3的数：8，23，38，,其中除以7余2的数：23,孙子歌,明代数学家程大位的算法统宗中所载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。”,中国剩余定理,物不知数问题的解法后被秦九韶（宋）推广到一般情形，称为“孙子定理”。,秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术”相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的，因此关于这一算法被称作“中国剩余定理”。,整除和同余,问题（,6,）,一个整数除以,5,余,1,，除以,6,余,3,，除以,7,余,6,，这个整数最小是,。,整除和同余,问题,（7）,一堆糖，减去一,颗,后可以平均分成五份，将其中的四份合到一起并减去一,颗,后又可以平均分成五份，若再将其中的三份合到一起并减去一,颗,后还是可以平均分成,五,份。那么这堆糖至少有,几颗？,因数问题（1）,求下列各整数的因数个数、因数和,（1）36,（2）2700,在100至150之间，,恰有8个,因数的整数,共有几个？,因数问题（2）,两个整数的最大公因数是17，最小公倍数是6,120,，满足此条件的两个数共有 对（两个数确定后，顺序不同的仍算同一对）。,6120=172,3,3,2,5,因数问题（3）,两个整数的最小公倍数是420，这两个数分别除以它们的最大公因数，得到的两个商的和是9，这两个整数是,。,420=2,2,357,砝码称重问题（1）,有若干个重量均为整数克的砝码。用天平称物体的重量时，砝码可以放在物体另一侧的称盘上，也可以放在物体同一侧的称盘上。为了能够用最少的砝码称出1，2，3，4，5，121中任一整数克物体的重量，那么，至少需要,个砝码。,砝码称重问题（2）,有若干种重量均为整数克的砝码，每一种都有两个重量相同的砝码，不同种类的砝码重量不同。用天平称物体的重量时，砝码可以放在物体另一侧的称盘上，也可以放在物体同一侧的称盘上。为了能够用最少种类的砝码称出1，2，3，4，5，62中任一整数克物体的重量，那么，至少需要,种不同的砝码。,同类问题,将25个同样的零件分别放在5只同样的,袋,子中，要求有人要125个之间的任意多个零件时，都可以不拆,袋,地从中拿出若干,袋,如数付给他。这5,袋,有,种不同的装法。,欧拉,欧拉（Euler，17071783）瑞士数学家、物理学家。,13岁进入巴塞尔大学学习数学，16岁获硕士学位。,1727-1741、1766-1783：工作于彼得堡科学院；1741-1766：工作于柏林科学院。,28岁右眼失明，60岁前后双目失明。,欧拉直线,三角形的垂心、重心、外心三点共线，且重心分垂心与外心的连线段成2：1。,勾股定理,周髀算经中商高回答周公的问话时答道：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”,周髀算经中陈子与荣方的一段对话则阐述了勾股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为故，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，”,弦图,三国时期的赵爽（公元3世纪）为周髀算经作注时，给出了“弦图”，运用面积的出入相补原理证明了勾股定理。,勾股问题（1）,直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长。,费尔马大定理,x,2,+y,2,=z,2,的通解（x，y互质时）,X=2mn，y=m,2,-n,2,，z=m,2,+n,2,（m，n互质且一奇一偶）,以下方程无正整数解,费尔马大定理的证明,1993,年在英国剑桥大学牛顿数学研究所的一个讨论班上，美国普林斯顿大学教授维尔斯（,Wiles,）宣布证明了费尔马大定理。,1994,年修补了证明中的一些漏洞后于,1995,年在数学年刊上正式发表。为此维尔斯获得了沃尔夫奖,。,曾获菲尔兹、沃尔夫数学奖的华人科学家,菲尔兹：,丘成桐,（1982年）；,陶哲轩,（2006年，31岁）,沃尔夫：,陈省身,孙子算经中的,鸡兔同笼,今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。,术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。,鸡兔同笼问题（1）,商店出售大、中、小气球，大球每个,3,元，中球每个,1.5,元，小球每个,1,元。张老师用,120,元买了,55,个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多。问每种球各买几个？,鸡兔同笼问题（2）,一项工程，如果全是晴天，,15,天可以完成。倘若下雨，雨天一天只能完成晴天的4/5的工作量。现在知道在施工期间雨天比晴天多,3,天。问这项工程要多少天才能完成？,鸡兔同笼问题（3）,甲、乙两地相距,100,千米。张先骑摩托 车从甲地出发，,1,小时后李驾驶汽车也从甲地出,发。两人同时到达乙地。摩托车开始速度是每小时,50,千米，后来减速为每小时,40,千米。汽车速度是每小时,80,千米，但汽车在途中停了,10,分钟。问摩托车是在出发后多少时间开始减速的？,行程问题（1）,小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去。小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去。他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇。问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？,行程问题（2）,一只小船从A地到B地往返一次共用2小时。回来时顺水，比去时每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。求A，B两地的距离。,行程问题（3）,甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米。求A，B两地的距离。,行程问题（4）,甲、乙、丙依次相距300米（见下图），甲、乙、丙每分钟依次走100米、90米、85米。如果甲、乙、丙同时出发，那么经过,几,分钟，甲所处的位置第一次与乙、丙的距离相等。,甲,乙,丙,无限概念的早期探索 芝诺悖论,两分法悖论：运动不存在，因为位移物体在到达目的地之前必先抵达一半处，在一半处之前必先抵达四分之一处依此直至无穷，而无穷是不会结束的。,阿基里斯与乌龟赛跑,飞矢不动,运动场,Ball悖论（1892）,矩形ABCD，作AE=AD，使DAE为,锐角，分别作线段,CD、CE的垂直平分,线交于点O，易证,OAEOBC，,从而可得,BAE=ABC（钝角=直角）。,A,B,C,D,M,N,O,E,亚里士多德轮,大、小圆同时滚动一周，所以大、小圆周长相等。,角谷猜想,二次大战前后美国一个叫叙拉古的小镇流行一种数字游戏，无论你从什么自然数开始，按照一个简单的运算模式（如果是偶数则除以2，如果是奇数则乘3加1），最终必然跌进,4,2,1,的怪圈。,1960,年前后日本数学家角谷静夫将其带回日本，发展成角谷猜想（3X+1现象）。,角谷猜想举例,序列有长有短：,16,8,4,2,1共4步；,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,共,16,步；,27,要经过111步的计算才到达1。,分油问题,有3个外形不规则的油壶A，B，C，其中A壶已经装满了油共10升，B，C是两个空壶，容积分别是7升和3升。请用这3个壶而不借助于任何其它工具，将10升油平分后分别装入A，B壶。,A,B,C,设用B壶从A壶中倒出x次，用C壶从A壶中倒出y次，则应有,7x+3y=5,该方程有无数多组解，比如,x=2，y=-3,故只要用B壶从A壶中倒出2次，将C壶装满后倒入A壶3次，就倒出了5升油。,（-1，4）是另一组解,A,B,C,A B C,A B C,10 0 0 x=2 2 7 1,x=1 3 7 0 2 5 3,3 4 3,y=-3 5 5 0,y=-1 6 4 0,6 1 3,y=-2 9 1 0,9 0 1,过河问题,三名商人各带一名仆人搬运若干财宝过河，河中只有一条没有艄公的小舟，小舟最多只能同时乘载两个人。商人们知悉了仆人们的如下阴谋：一旦在河的此岸或彼岸出现了仆人人数超过商人人数的现象，则立即干掉商人，劫走财宝。请为商人们设计一个安全的渡河方案。,伪币问题,12,枚硬币外表一样，已知其中有一枚是伪币，并且知道伪币的重量与另外,11,枚真币不同，而11枚真币的重量均相同。请利用一架天平称量,3,次，确定哪一枚是伪币，以及它比真币是轻还是重。,一个聪明的解法,哈佛大学学生,Charles,Zemach 给出的解法：,记12,枚硬币为：,A,、,B,、,C,、,D,、,E,、,F,、,G,、,H,、,I,、,J,、,K,、,L,每次称量结果记为：,左盘上升：,1；,左盘下降：,-1；,平衡：,0,三次称量结果对应一个3元数组（x，y，z）,一个聪明的解法,访谈调查中的问题,调查某些敏感问题（比如吸毒）时，被调查者可能碍于面子，不能如实回答。,案例,：调查某地吸毒人口的比例。抽样掉查10000人。,方案,：让被调查者,私下,抛两次硬币，若第2次正面朝上，则如实回答问题“A：你吸毒吗？”，若第2次反面朝上，则如实回答问题“B：你第1次抛的硬币正面朝上吗？”被调查者只需回答“是”与“不是”而不需要指出是哪个问题的答案。,结果：,若收集到3000个是，则除去回答第2个问题的“是”2500个，剩余的500个应该是回答第1个问题的“是”，而回答第1个问题的人大约5000个，所以该地大约有10的人是吸毒的。,选举中的数学,55位选民要从5个候选人ABCDE中选出一个代表，假定55位选民对5位候选人的偏爱次序如下：,选民人数 18 12 10 9 4 2,第一选择 A B C D E E,第二选择 D E B C B C,第三选择 E D E E D D,第四选择 C C D B C B,第五选择 B A A A A A,不同选举方法得到的不同结果,多数原则：A以最多票数18票当选。,取票数最多的两位再表决：AB中，B以37票当选。,每次淘汰票数最少者：依次淘汰EDBA，最后C当选。,捉对表决：EA3718，EB3322，EC3619，ED2827，故E当选。,记分法：选民对5位候选人按偏爱次序分别记5，4，3，2，1分，则A127分，B156分，C162分，D191分，E189分，故D当选。,一个不可能性定理,有关选举理论最重要的一项研究，是1972年诺贝尔经济奖得主，史坦福大学教授阿罗（JK Arrow）在1951年发表的一条定理：,绝对公平的选举系统是不存在的。,