奇偶函数.ppt

2.2.2,第,2,章,考点一,考点二,考点三,把握热点考向,应用创新演练,理解教材新知,2,2.2,函数的奇偶性,2,2,函数的简单性质,提示：,问题,2,：观察它们的图象有何对称性？,问题,3,：填写下表,表一,x,3,2,1,0,1,2,3,f,(,x,),x,2,f,(,x,),|,x,|,9 4 1 0 1 4 9,3 2 1 0 1 2 3,表二,问题,4,：从上面两个表格中，可以得出什么结论？,提示：,表一中：,f,(,x,),f,(,x,),，,表二中：,f,(,x,),f,(,x,),奇函数,偶函数,定义,一般地，设函数,y,f,(,x,),的定义域为,A,，如果对任意的,x,A,，都有,，那么称函数,y,f,(,x,),是奇函数,一般地，设函数,y,f,(,x,),的定义域为,A,，如果对任意的,x,A,，都有,，那么称函数,y,f,(,x,),是偶函数,图象,特点,奇函数的图象关于,对称,偶函数的图象关于,对称,奇偶性,如果函数是奇函数或偶函数，就说函数,f,(,x,),具有奇偶性,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),原点,y,轴,函数的奇偶性定义的理解,(1),函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的,“,局部,”,性质，而奇偶性是函数的,“,整体,”,性质,(2),如果函数的定义域不关于原点对称，那么该函数就不具有奇偶性所以函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件,思路点拨,先确定函数的定义域，然后再严格按照函数奇偶性的定义来判断,一点通,判断函数的奇偶性的步骤,(1),看函数的定义域是否关于原点对称,(,若不对称则为非奇非偶函数,),(2),判断,f,(,x,),与,f,(,x,),的关系,(3),根据定义，写出结论,若,f,(,x,),f,(,x,),，则函数,f,(,x,),为奇函数,若,f,(,x,),f,(,x,),，则函数,f,(,x,),为偶函数,若,f,(,x,),f,(,x,),且,f,(,x,),f,(,x,),，则,f,(,x,),既是奇函数又是偶函数,若,f,(,x,),f,(,x,),且,f,(,x,),f,(,x,),，则,f,(,x,),为非奇非偶函数,解析：,利用函数奇偶性的定义知，为偶函数，为非奇非偶函数，只有为奇函数,答案：,2,(2011,广东高考改编,),设函数,f,(,x,),和,g,(,x,),分别是,R,上的偶,函数和奇函数，则下列结论恒成立的是,_,|,f,(,x,)|,g,(,x,),是奇函数,|,f,(,x,)|,g,(,x,),是偶函数,f,(,x,),|,g,(,x,)|,是奇函数,f,(,x,),|,g,(,x,)|,是偶函数,解析：,设,F,(,x,),f,(,x,),|,g,(,x,)|,，由,f,(,x,),和,g,(,x,),分别是,R,上的偶函数和奇函数，得,F,(,x,),f,(,x,),|,g,(,x,)|,f,(,x,),|,g,(,x,)|,F,(,x,),，,f,(,x,),|,g,(,x,)|,是偶函数，又可判断其他选项不恒成立,答案：,当,x,0,，,则,f,(,x,),(,x,),3,3(,x,),2,1,x,3,3,x,2,1,(,x,3,3,x,2,1),f,(,x,),由知，当,x,(,，,0),(0,，,),时，都有,f,(,x,),f,(,x,),，所以,f,(,x,),为奇函数,思路点拨,设,x,0,，则,x,0,的解析式，然后用分段函数的形式写出,f,(,x,),例,2,已知,f,(,x,),是,R,上的奇函数，当,x,(,，,0),时，,f,(,x,),2,x,(1,x,),，求,f,(,x,),一点通,(1),利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义求解一般分以下三个步骤：设所求函数解析式中所给的区间上任一个,x,，即求哪个区间上的解析式，就设,x,在哪个区间上把所求区间内的变量转化到已知区间内利用函数奇偶性的定义,f,(,x,),f,(,x,),或,f,(,x,),f,(,x,),求解所求区间内的解析式,(2),由奇函数的定义可知，奇函数,f,(,x,),在,x,0,处有定义时，一定有,f,(0),0.,(3),根据奇函数、偶函数图象的对称性，作出,y,轴一侧的图象，另一侧的图象可以由对称性得到,4,设,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，当,x,0,时，,f,(,x,),2,x,2,x,，则,f,(1),_.,答案：,3,5,(1),已知函数,f,(,x,),是奇函数，且,x,3,a,1,3,a,5,，则,a,的值为,_,(2),已知函数,f,(,x,),x,2,2,mx,1,是偶函数，则,m,的值为,_,解析：,(1),f,(,x,),是定义域为,3,a,1,3,a,5,的奇函数，,3,a,1,3,a,5,0.,a,1.,(2),f,(,x,),x,2,2,mx,1,是偶函数，,f,(,x,),f,(,x,),x,2,2,mx,1,x,2,2,mx,1.,m,0.,答案：,(1),1,(2)0,6,如图，给出偶函数,y,f,(,x,),的,局部图象，试作出它的,y,轴右侧的图象，并比较,f,(1),与,f,(3),的大小,解：,偶函数,y,f,(,x,),在,y,轴右侧图象上任一点,P,(,x,，,f,(,x,),关于,y,轴的对称点为,P,(,x,，,f,(,x,),，下图为补充完后的图象易知,f,(1),f,(3),例,3,设定义在,2,2,上的奇函数,f,(,x,),在区间,0,2,上单调递减，若,f,(,m,),f,(,m,1)0,，求实数,m,的取值范围,思路点拨,首先由奇偶性把不等式转化为,f,(,x,1,),f,(,x,2,),的形式，再利用单调性转化为,x,1,，,x,2,的大小关系注意函数的定义域,一点通,解决有关奇偶性与单调性的综合问题，要注意利用奇偶性进行化简，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，同时不能漏掉函数定义域对参数的影响,7,设,f,(,x,),是,R,上的偶函数，且在,(,，,0),上为减函数，,若,x,1,0,，则,f,(,x,1,),与,f,(,x,2,),的大小关系为,_,解析：,x,1,x,2,0,，,x,1,x,1,0.,f,(,x,),在,(,，,0),上为减函数，,f,(,x,),在,(0,，,),上是增函数，,f,(,x,2,),f,(,x,1,),，又,f,(,x,),是,R,上的偶函数，,f,(,x,1,),f,(,x,1,),故,f,(,x,2,),f,(,x,1,),答案：,f,(,x,2,),f,(,x,1,),8,若函数,y,f,(,x,),是奇函数，且,y,f,(,x,),在,a,，,b,(,a,0),上是,单调递增的，则,y,f,(,x,),在,b,，,a,上的单调性如何？并证明你的结论,解：,y,f,(,x,),在,b,，,a,上也是单调递增的,其证明过程如下：,设,b,x,1,x,2,a,，则,b,x,1,x,2,a,.,又,y,f,(,x,),在,a,，,b,上单调递增，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),而,y,f,(,x,),是奇函数，,f,(,x,1,),f,(,x,1,),，,f,(,x,2,),f,(,x,2,),，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故,y,f,(,x,),在,b,，,a,上也是单调递增的,(2),图象法：奇,(,偶,),函数的等价条件是它的图象关于原点,(,或,y,轴,),对称,(3),性质法：偶函数的和、差、积、商,(,分母不为零,),仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇,(,偶,),数个奇函数的积、商,(,分母不为零,),为奇,(,偶,),函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数,点此进入,