上海高中数学之直线与圆(打印版).doc

直线与圆
【直线的倾斜角与斜率】
直线的倾斜角与斜率的概念；
直线的倾斜角与斜率的关系.
注意数形结合思想方法的运用！
1．已知点A(2,-3)，B(-3,-7)，直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是_____________．

变式1：两直线与相交于第一象限的点，则a的范围是________．
（－１，２）

变式2：如果那么直线不经过第 象限．

【直线的方程】
直线方程的点斜式、两点式、点向式、法向式、斜截式、截距式；
直线方程的一般式.
求直线方程的方法：直接法；待定系数法
5．已知直线l：，则过点P（1,2）且与直线l所夹锐角为的直线方程为_____________．（直接法）
ｘ＝１或

变式：已知直线l：，则过点P（1,2）且倾斜角是直线l倾斜角两倍的直线方程为_____________．

呢？ 呢？
ｘ＝１　　　　　　　　　　
6．求过点P(3,2)且在两坐标轴上截距之和为0的直线方程.
法一：设截距式方程
法二：设点斜式方程
２ｘ－３ｙ＝０或ｘ－ｙ－１＝０
变式1：过点P(3,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．２ｘ－３ｙ＝０或ｘ＋ｙ－５＝０
变式2：过点P(3,2)且到原点的距离为3的直线方程为_________________________________．设点斜式方程
ｘ＝３或５ｘ＋１２ｙ－３９＝０
变式3：过点P(3,2)并使A(2,-3)、B(6,1)到它的距离相等的直线方程为_________________________________．
３ｘ＋ｙ－１１＝０或ｘ－ｙ－１＝０
法一：从几何特征分类讨论求解
法二：设点斜式方程
变式4：过点P(3,2)且与圆相切的直线方程为
________________________________．
ｘ＝３或４５ｘ＋２８ｙ－１９１＝０
设点斜式方程
变式5：求过点P(3,2)且与x轴、y轴正半轴围成三角形面积最小时的直线方程.
２ｘ＋３ｙ－１２＝０
法一：设点斜式方程
法二： 设截距式方程
法三：设角
变式6：设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标为（2，-1），则直线AB的方程为__________________．
ｘ－２ｙ－４＝０
设点法
变式7：过点P(3,0)作直线l，使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被P点平分，求直线l的方程.
８ｘ－ｙ－２４＝０
设点法
变式8：△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在直线方程为y=0，若B(1,2)，求点A和点C的坐标.
Ａ（－１，０），Ｃ（５，－６）

【直线的定点问题】

7．直线，当k变化时，直线恒过定点________．
（３，１）
变式1：直线一定经过第________象限.
三
变式2：判断直线与圆的位置关系.
相交

【解析几何中的对称问题及其应用】
点关于点的对称：
理论基础：点关于的对称点为，即是的中点，特别是中点的应用比较广泛，中点也就是对称的另一种说法而已.
例 1 已知平行四边形的四个顶点坐标分别为 ，求的值.
方法一：利用斜率相等
方法二：利用对角线互相平分，
方法三：利用向量相等．
答案：
变式 已知矩形的两个顶点,且它的对角线的交点在轴上，求的坐标.
方法一：设对角线中点，利用邻边垂直；
方法二：设对角线中点，利用对角线相等且互相平分；
答案：

直线关于点的对称：
理论基础：就本质而言，直线关于点的对称即点关于点的对称，结合几何特性，直线关于点的对称直线与已知直线平行（对称点不在直线上），应用几何特性就可以降低解题运算量，提高解题效率.
例 2 求直线关于点对称的直线的方程.
方法一：取两点，求对称点，求方程。
方法二：因为所求直线与已知直线平行，可设平行直线，然后取一点对称后代入。
方法三：根据平行设方程，再利用距离相等求参数。
方法四：应用轨迹思想
答案：
结论：直线关于点的对称直线为

圆关于点的对称：首先圆是关于自己圆心自对称的图形．其次圆关于点的对称图形仍然为圆，且半径不变，所以圆关于点的对称即为点关于点的对称．
点关于直线的对称：
理论基础：点关于直线的对称点为，则A，的中点在直线上，且与垂直，根据两个关系，建立方程组进行求解．
例 3 求点关于直线的对称点．
答案：
结论：特殊的对称轴求对称点的方法：对于对称轴为轴、轴、的对称问题，我们可以利用更简单的方法直接写出对称点，不必再利用方程组的思想去求解．

变式1 求直线关于直线对称的直线方程．

直线关于直线的对称：
理论基础：直线关于直线对称，即点关于直线对称，
解决方法一：取两点，分别求对称，得到方程；
方法二：求交点（交点存在）再求一个点的对称点即可．
答案：
变式2 直线关于直线的对称直线方程为______________．
答案：
结论：同样的对于对称轴为特殊直线的问题可以直接给出：
关于直线的对称直线为：
变式3已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为___________________________．
圆关于直线的对称：
如果圆本身关于直线对称，说明直线经过圆的圆心；
若求圆关于直线的对称圆，即转化为圆心关于直线的对称点问题，半径不变．
和直线相同，对于特殊对称轴问题可以应用同样的结论．
答案：
例 4 已知、，点在直线上，若使取最小值，则点的坐标为__________________．
答案：
变式1 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则入射光线所在直线的方程是_______________．
答案：反射光线：，入射光线：

变式2 自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则光线l所在直线的方程为_______________________________．
答案：４ｘ＋３ｙ＋３＝０或３ｘ＋４ｙ－３＝０
变式3 在轴上有一点，直线上有一点，定点，若的周长最小，求两点的坐标．
答案
例５　如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y＝x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标．

x
y
O
A
B
l2
l1
l

x
y
O
A
B
l2
l1
l

D

解：（1）直线l1：y＝2, 设l1交l于点D，则D（，2） ∵l的倾斜角为30°,∴l2的倾斜角为60° ∴
∴反射光线l2所在直线的方程为 即
已知圆C与l1切于点A，设 C(a , b )
∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴ ①
又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上， ∴ ②
由①②得 圆C的半径r＝3 故所求圆C的方程为
（2）设点B(0, －4）关于l的对称点B′(x0 ,y0) 则 且
得B′(, 2) , 固定点Q可发现，当B′，P，Q共线时，PB＋PQ最小，故PB＋PQ最小值为B′C－3
解得 ∴ PB＋PQ最小值为B′C－3＝
【轨迹法的简单应用】
例6 若方程．
（1）当且仅当在什么范围内，该方程表示一个圆；
（2）当在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程．

解析：（1）由，
，
当且仅当时，
即时，给定的方程表示一个圆。
（2）设圆心坐标为，则（为参数）。
消去参数，为所求圆心轨迹方程。
点评：圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。

例7 已知圆A过点()，且与圆B：关于直线对称．
(1)求圆A和圆B方程；
(2)求两圆的公共弦长；
(3)过平面上一点向圆A和圆B各引一条切线,切点分别为C、D，设，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值．

解：（1）设圆A的圆心A（a，b），由题意得：
解得
设圆A的方程为，将点P()代入得r＝2
∴圆A：，圆B：
（2）由题意得两圆的公共弦所在直线方程为l：x－y＋2＝0，设(0, 0)到l的距离为d,
则d＝, ∴公共弦长m＝2
（3）证明：由题设得：,
∴化简得：, ∴配方得：
∴存在定点M()使得Q到M的距离为定值，且该定值为.

例8已知：以点C (t, )(t∈R , t ≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A, 与y轴交于点O、B, 其中O为坐标原点.
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程.

解：（1）∵圆C过原点O , 设圆C的方程是
令，得；令，得
，即△OAB的面积为定值.
（2）垂直平分线段．
，∴ 直线OC的方程是 ， 解得：
当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离，圆与直线相交于两点.
当时，圆心的坐标为，，圆心到直线的距离,
圆与直线不相交，不符合题意舍去.
所求圆C的方程为