江西省南康中学、平川中学、信丰中学2025年数学高一第二学期期末达标检测试题含解析.doc

江西省南康中学、平川中学、信丰中学2025年数学高一第二学期期末达标检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为（ ）

A． B． C． D．
2．等差数列中，若，，则（ ）
A．2019 B．1 C．1009 D．1010
3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．已知幂函数过点，则的值为( )
A． B．1 C．3 D．6
5．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，若，，，则角的大小为（ ）
A．30° B．45°或135° C．60° D．135°
7．已知一个扇形的圆心角为，半径为1．则它的弧长为（ ）
A． B． C． D．
8．若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．若存在正实数，使得，则（ ）
A．实数的最大值为 B．实数的最小值为
C．实数的最大值为 D．实数的最小值为
10．将边长为2的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球表面积为（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知实数满足则的最小值为__________．
12．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.
13．设向量与向量共线，则实数等于__________．
14．两圆交于点和，两圆的圆心都在直线上，则____________；
15．若数列满足（）,且，，__.
16．直线与圆交于两点，若为等边三角形，则______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在等差数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和
18．已知方程，.
（1）若是它的一个根，求的值；
（2）若，求满足方程的所有虚数的和.
19．如图，边长为2的正方形中.

（1）点是的中点，点是的中点，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求证：；
（2）当时，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求三棱锥的体积.
20．已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.
21．已知向量满足，且向量与的夹角为.
（1）求的值；
（2）求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为，从而构造方程可求得结果.
【详解】
由图形可知，小正方形边长为
小正方形面积为：，又大正方形面积为：
，即：
解得：
本题正确选项：
本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.
2、D
【解析】
由等差数列中，，，求出，由此能求出的值．
【详解】
等差数列中，，，
，
即，解得，
．
故选：．
本题考查等差数列基本量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
3、D
【解析】
试题分析：将函数的图象向右平移,
可得，故选D．
考点：图象的平移．
4、C
【解析】
设，代入点的坐标，求得，然后再求函数值．
【详解】
设，由题意，，即，
∴．
故选：C.
本题考查幂函数的解析式，属于基础题．
5、B
【解析】
根据零点存在性定理即可求解.
【详解】
由函数，
则，，
故函数的零点在区间上.
故选：B
本题考查了利用零点存在性定理判断零点所在的区间，需熟记定理内容，属于基础题.
6、B
【解析】
利用正弦定理得到答案.
【详解】
在中
正弦定理：或
故答案选B
本题考查了正弦定理，属于简单题.
7、C
【解析】
直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果.
【详解】
由扇形弧长公式得：
本题正确选项：
本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.
8、C
【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
根据程序框图依次计算得到

结束
故答案为C
本题考查了程序框图，意在考查学生对于程序框图的理解能力和计算能力.
9、C
【解析】
将题目所给方程转化为关于的一元二次方程，根据此方程在上有解列不等式组，解不等式组求得的取值范围，进而求出正确选项.
【详解】
由得，当时，方程为不和题意，故这是关于的一元二次方程，依题意可知，该方程在上有解，注意到，所以由解得，故实数的最大值为，所以选C.
本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
10、C
【解析】
根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥的外接球直径，从而求出外接球的表面积，得到答案.
【详解】
由题意，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，
如图所示，
则,
三棱锥的外接球直径为，即半径为，
外接球的表面积为，故选C.

本题主要考查了平面图形的折叠问题，以及外接球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
本题首先可以根据题意绘出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何性质，找出目标函数取最小值所过的点，即可得出结果。
【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，

结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值，
即。
本题考查根据不等式组表示的平面区域来求目标函数的最值，能否绘出不等式组表示的平面区域是解决本题的关键，考查数形结合思想，是简单题。
12、
【解析】
先利用辅助角公式将函数的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数的解析式，即可计算出的值．
【详解】
，
由题意可得，
因此，，
故答案为．
本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为（或）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量上进行加减，考查计算能力，属于中等题．
13、3
【解析】
利用向量共线的坐标公式,列式求解.
【详解】
因为向量与向量共线,
所以,
故答案为:3.
本题考查向量共线的坐标公式,属于基础题.
14、
【解析】
由圆的性质可知，直线与直线垂直，
，直线的斜率，
，解得.
故填：3.
本题考查了相交圆的几何性质，和直线垂直的关系，考查数形结合的思想与计算能力，属于基础题.
15、1
【解析】
由数列满足，即，得到数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，利用等比数列的极限的求法，即可求解．
【详解】
由题意，数列满足，即，
又由，，所以数列的奇数项构成首项为1，公比为，偶数项构成首项为，公比为的等比数列，
当为奇数时，可得，
当为偶数时，可得．
所以．
故答案为：1.
本题主要考查了等比数列的定义，以及无穷等比数列的极限的计算，其中解答中得出数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16、或
【解析】
根据题意可得圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列方程解出即可.
【详解】
圆，即，
圆的圆心为，半径为，
∵直线与圆交于两点且为等边三角形，
∴，故圆心到直线的距离为，
即，解得或，故答案为或.
本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据已知数列为等差数列，结合数列的性质可知：前3项和，所以，又因为，所以公差，再根据等差数列通项公式，可以求得．本问考查等差数列的通项公式及等差数列的性质，属于对基础知识的考查，为容易题，要求学生必须掌握．（2）由于为等差数列，所以可以根据重要结论得知：数列为等比数列，可以根据等比数列的定义进行证明，即，符合等比数列定义，因此数列是等比数列，首项为，公比为2，所以问题转化为求以4为首项，2为公比的等比数列的前n项和，根据公式有．本问考查等比数列定义及前n项和公式．属于对基础知识的考查．
试题解析：（1）又

（2）由（1）知得：
是以4为首项2为公比的等比数列

考点：1.等差数列；2.等比数列．
18、（1）；（2）190.
【解析】
（1）先设出的代数形式，把代入所给的方程，化简后由实部和虚部对应相等进行求值；
（2）由方程由虚根的条件，求出的所有的取值，再由方程虚根成对出现的特点，求出所有虚根之和．
【详解】
解：（1）设，是的一个根，
，，
，解得，，，
（2）方程有虚根，，解得，
，，2，，
又虚根是成对出现的，所有的虚根之和为．
本题是复数的综合题，考查了复数相等条件的应用，方程有虚根的等价条件，以及方程中虚根的特点，属于中档题．
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）折叠过程中，，保持不变，即，，由此可得线面垂直，从而有线线垂直；
（2）由（1）知面，即是三棱锥的高，求出底面积可得体积．
【详解】
（1）证明：由，.
可得：，，，
面
又面

（2）解：在三棱锥中，
，，
面，
由，，可得
．
本题考查证明线线垂直，考查求棱锥的体积．立体几何中证明线线垂直，通常由线面垂直的性质定理给出，即先证线面垂直，而证线面垂直又必须证明线线垂直，注意线线垂直与线面垂直的转化．三棱锥中任何一个面都可以当作底面，因此一般寻找高易得的面为底面，常用换底法求体积．
20、 (1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】
（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案.
【详解】
(1)因为，所以，
因为，所以，
所以数列是等比数列；
(2)因为，所以，
所以，
又因为，所以，所以是以为首项，
为公比的等比数列，所以，
所以；
(3)①当时，；
②若n是偶数，
则，
所以当n是偶数时，

；
③当n是奇数，且时，

；
综上所述，当时，.
本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）根据，得到，再由题中数据，即可求出结果；
（2）根据向量数量积的运算法则，以及（1）的结果，即可得出结果.
【详解】
解：（1）因为，所以，即.
因为，且向量与的夹角为，
所以，即.
（2）由（1）可得

.
本题主要考查平面向量的数量积，熟记模的计算公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.