2024-2025学年巴彦淖尔市重点中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2024-2025学年巴彦淖尔市重点中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是，则该阴影区域的面积是（ ）

A．3 B． C． D．
2．已知等比数列的前项和为，若，则( )
A． B． C．5 D．6
3．己知向量，.若，则m的值为( )
A． B．4 C．- D．-4
4．一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．1 B．3 C．6 D．2
5．已知直线与圆相切，则的值是( )
A．1 B． C． D．
6．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．若实数a＞b，则下列结论成立的是（ 　　）
A．a2＞b2 B． C．ln2a＞ln2b D．ax2＞bx2
8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①与平行 ②与是异面直线
③与成角    ④与是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（　　）
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
10．若直线与直线互相平行，则的值等于（ ）
A．0或或3 B．0或3 C．0或 D．或3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的零点的个数是______.
12．若6是-2和k的等比中项，则______.
13．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则角_______.
14．设三棱锥满足，，则该三棱锥的体积的最大值为____________.
15．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为__________里．
16．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为　_________　．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，某地三角工厂分别位于边长为2的正方形的两个顶点及中点处.为处理这三角工厂的污水，在该正方形区域内（含边界）与等距的点处建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，记辅设管道总长为千米.

（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设，将表示成的函数；
（ii）设，将表示成的函数；
（2）请你选用一个函数关系，确定污水厂位置，使铺设管道总长最短.
18．已知向量（），向量，，
且.
（Ⅰ）求向量；
（Ⅱ）若，，求.
19．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调增区间；
（3）若，求的最大值与最小值.
20．在中，角的对边分别为，已知，，.
（1）求的值；
（2）求和的值.
21．在平面立角坐标系中，过点的圆的圆心在轴上，且与过原点倾斜角为的直线相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)点在直线上，过点作圆的切线、，切点分别为、，求经过、、、四点的圆所过的定点的坐标.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用几何概型的意义进行模拟试验，即估算不规则图形面积的大小．
【详解】
正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，，
又，.
故选：B．
本题考查几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系.
2、A
【解析】
先通分，再利用等比数列的性质求和即可。
【详解】
．
故选A.
本题考查等比数列的性质，属于基础题。
3、B
【解析】
根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
依题意，由于，所以，解得.
故选B.
本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题.
4、D
【解析】
几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.
【详解】
由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，
直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，
一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.
四棱锥的体积是.
故选D.
本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．
5、D
【解析】
利用直线与圆相切的条件列方程求解.
【详解】
因为直线与圆相切，所以
，，，故选D.
本题考查直线与圆的位置关系，通常利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行判断，考查运算能力，属于基本题.
6、A
【解析】
先利用韦达定理得到关于a,b的方程组，解方程组即得a,b的值，即得解.
【详解】
由题得，
所以a+b=7.
故选：A
本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7、C
【解析】
特值法排除A,B,D,单调性判断C
【详解】
由题意，可知：
对于A：当a、b都是负数时，很明显a2＜b2，故选项A不正确；
对于B：当a为正数，b为负数时，则有，故选项B不正确；
对于C：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴ln2a＞ln2b，故选项C正确；
对于D：当x＝0时，结果不成立，故选项D不正确；
故选：C．
【点评】
本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．
8、B
【解析】
把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．
【详解】
把平面展开图还原原几何体如图：

由正方体的性质可知，与异面且垂直，故①错误；
与平行，故②错误；
连接，则，为与所成角，连接，可知为正三角形，则，故③正确；
由异面直线的定义可知，与是异面直线，故④正确．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B．
本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．
9、B
【解析】
设两人步行，跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.
【详解】
设两人步行、跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为．
则甲所用的时间为：．
乙所用的时间，满足+，解得．
则＝＝＝1．∴．故乙先到教室．
故选：B．
本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．
10、D
【解析】
根据直线的平行关系，列方程解参数即可.
【详解】
由题：直线与直线互相平行，
所以，，解得：或.
经检验，当或时，两条直线均平行.
故选：D
此题考查根据直线平行关系求解参数的取值，需要熟记公式，注意考虑直线重合的情况.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
在同一直角坐标系内画出函数与函数的图象，利用数形结合思想可得出结论.
【详解】
在同一直角坐标系内画出函数与函数的图象如下图所示：

由图象可知，函数与函数的图象的交点个数为，
因此，函数的零点个数为.
故答案为：.
本题考查函数零点个数的判断，在判断函数的零点个数时，一般转化为对应方程的根，或转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
12、-18
【解析】
根据等比中项的性质，列出等式可求得结果.
【详解】
由等比中项的性质可得，，得.
故答案为：-18
本题主要考查等比中项的性质，属于基础题.
13、
【解析】
根据三角形面积公式和余弦定理可得，从而求得；由角的范围可确定角的取值.
【详解】

故答案为：
本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用问题，关键是能够配凑出符合余弦定理的形式，进而得到所求角的三角函数值.
14、
【解析】
取中点，连，可证平面，，要使最大，只需求最大值，即可求解.
【详解】
取中点，连，
所以，
，
，平面，平面，
设中边上的高为，

，当且仅当时，取等号.
故答案为:.

本题考查锥体的体积计算，考查线面垂直的判定，属于中档题.
15、192
【解析】
设每天走的路程里数为
由题意知是公比为的等比数列
∵
∴
∴
故答案为
16、
【解析】
记甲、乙两人相邻而站为事件A
甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，
则甲、乙两人相邻而站的战法有=4种站法
∴=

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（i）（，其中）.（ii).
（2）污水厂设在与直线距离处
【解析】
（1）（i）设的中点为，则，，，，由此可得关于的函数；
（ii）由题意，则，，由此可得关于的函数；
（2）设，，则，然后利用基本不等式求最值．
【详解】
解：

（1）（i）设中点，则，，，，
∴（，其中）；
（ii），，
；
（2）设，，则，
，
当，即时，取最小值，
∴污水厂设在与直线距离处时，铺设管道总长最短，最短长度为千米．
本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属于中档题．
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）∵,，
∵，∴，即，①
又，②
由①②联立方程解得，，．
∴；
（Ⅱ）∵，即，，
∴，，
又∵，
，
∴
.
19、（1）；（2）[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（3）f（x）=2，f（x）=﹣1
【解析】
（1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论；
（2）利用正弦函数的单调性，求出f（x）的单调增区间；
（3）利用正弦函数的定义域和值域，求得当时，f（x）的最大值与最小值．
【详解】
（1）∵函数f（x）＝sin4x+2sinxcosx﹣cos4x＝（sin4x﹣cos4x）+sin2x＝﹣cos2x+sin2x＝2sin（2x﹣），
∴f（x）的最小正周期为＝π．
（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（3）若，则2x﹣∈，
当2x﹣＝时，f（x）=2；当2x﹣=﹣时，f（x）=．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
20、（1）；（2），
【解析】
（1）由，求得，由大边对大角可知均为锐角，利用同角三角函数关系求得，利用两角和差正弦公式求得结果；（2）根据正弦定理得到的关系，代入可求得；利用余弦定理求得.
【详解】
（1）

（2）由正弦定理可得：
又 ，解得：，则
由余弦定理可得：

本题考查解三角形的相关知识，涉及到同角三角函数关系、两角和差正弦公式、大边对大角的关系、正弦定理和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.
21、（1）（2）经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、
【解析】
(1)先算出直线方程，根据相切和过点，圆心在轴上联立方程解得答案.
(2) 取线段的中点 ，经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为，将圆方程表示出来，联立方程组解得答案.
【详解】
(1)由题意知，直线的方程为，整理为一般方程可得
由圆的圆心在轴上，可设圆的方程为，
由题意有，解得：，，
故圆的标准方程为.
(2)由圆的几何性质知，，，取线段的中点，由直角三角形的性质可知，故经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，
设点的坐标为，则点的坐标为
有
则以为直径的圆的方程为：，整理为
可得.
令，解得或，
故经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、.
本题考查了圆的方程，切线问题，四点共圆，定点问题，综合性强，技巧性高，意在考查学生的综合应用能力.