2024-2025学年福建省安溪一中数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2024-2025学年福建省安溪一中数学高一第二学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知两条直线，，两个平面，，下面说法正确的是( )
A． B． C． D．
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中角ABC的对边分别为A．B．c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为（）
A． B． C． D．
4．若，，，设，，且，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．15 D．18
5．若线性方程组的增广矩阵是，解为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数，则下列命题正确的是（ ）
①的最大值为2；
②的图象关于对称；
③在区间上单调递增；
④若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则；
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
7．利用随机模拟方法可估计无理数的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand()表示产生区间(0,1)上的随机数, 是与的比值，执行此程序框图，输出结果的值趋近于 ( )

A． B． C． D．
8．设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则值为
A． B． C． D．
10．已知函数在上单调递增，且的图象关于对称.若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为__________．
12．已知实数满足，则的最大值为_______．
13．函数的定义域为________
14．不等式x（2x﹣1）＜0的解集是_____．
15．若是等比数列，，，则________
16．已知函数分别由下表给出：

1
2
3

2
1
1

1
2
3

3
2
1
则当时，_____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设全集为，集合，集合.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
18．已知数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
19．已知圆,圆与圆关于直线对称.
(1)求圆的方程;
(2)过直线上的点分别作斜率为的两条直线,使得被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等.
(i)求的坐标;
(ⅱ)过任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交,判断所得弦长是否恒相等,并说明理由.
20．已知海岛在海岛北偏东，，相距海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动．

（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；
（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．
21．已知数列的前项和
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足：，求的前项和（结果需化简）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
满足每个选项的条件时能否找到反例推翻结论即可。
【详解】
A：当m, n中至少有一条垂直交线才满足。
B：很明显m, n还可以异面直线不平行。
C: 只有当m垂直交线时，否则不成立。
故选：D
此题考查直线和平面位置关系，一般通过反例排除法即可解决，属于较易题目。
2、C
【解析】
根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得.
【详解】
依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径, 的中点是球心,
如图:

依题意设 ,则正四棱柱的体积为:,解得,
所以外接球的直径,
所以外接球的半径,则这个球的表面积是.
故选C.
本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.
3、D
【解析】
首先利用同角三角函数的关系式求出sinC的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果．
【详解】
△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，
利用同角三角函数的关系式sin1C+cos1C＝1，
解得sinC，
由于acosB+bcosA＝1，
利用余弦定理，
解得c＝1．
所以c1＝a1+b1﹣1abcosC，
整理得4，
由于a1+b1≥1ab，
故，
所以．
则，
△ABC面积的最大值为，
故选D．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
4、B
【解析】
首先分别求出向量 ，然后再用两向量平行的坐标表示，最后求值.
【详解】
, ,
当时，，
解得.
故选B.
本题考查了向量平行的坐标表示，属于基础题型.
5、C
【解析】
由题意得，，解方程即可得到所求值.
【详解】
由题意得，，
解得，
则，故选C.
本题主要考查了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考查运算能力，属于中档题.
6、C
【解析】
，由此判断①的正误，根据判断②的正误，由求出的单调递增区间，即可判断③的正误，结合的图象判断④的正误.
【详解】
因为，故①正确
因为，故②不正确
由得
所以在区间上单调递增，故③正确

若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，
结合的图象知，必有
此时，另一解为
即，，满足，故④正确
综上可知：命题正确的是①③④
故选：C
本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.
7、B
【解析】
根据程序框图可知由几何概型计算出x，y任取（0，1）上的数时落在 内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．
【详解】
解:根据程序框图可知为频率，它趋近于在边长为1的正方形中
随机取一点落在扇形内的的概率

故选：B
本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.
8、A
【解析】
因为，，且
，即，所以.故选A.
9、B
【解析】
利用三角函数的诱导公式，得到，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
故选B.
本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、D
【解析】
首先根据题意得到的图象关于轴对称，，再根据函数的单调性画出草图，解不等式即可.
【详解】
因为的图象关于对称，
所以的图象关于轴对称，.
又因为在上单调递增，
所以函数的草图如下：

所以或，
解得：或.
故选：D
本题主要考查函数的对称性，同时考查了函数的图象平移变换，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先根据题意转化为函数与有个交点，再画出与的图象，根据图象即可得到的取值范围.
【详解】
有题知：函数恰有个零点，
等价于函数与有个交点.

当函数与相切时，
即：，，
，解得或（舍去）.
所以根据图象可知：.
故答案为：
本题主要考查函数的零点问题，同时考查了学生的转化能力，体现了数形结合的思想，属于中档题.
12、
【解析】
根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.
【详解】
根据约束条件可以画出可行域，
如下图阴影部分所示，
目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率，
因此可得，当在点时，斜率最大
联立，得
即
所以此时斜率为 ，
故答案为.

本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.
13、
【解析】
根据反余弦函数的定义，可得函数满足，即可求解.
【详解】
由题意，根据反余弦函数的定义，可得函数满足，
解得，即函数的定义域为.
故答案为：
本题主要考查了反余弦函数的定义的应用，其中解答中熟记反余弦函数的定义，列出不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14、
【解析】
求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集，得到答案．
【详解】
由不等式对应方程的实数根为0和，
所以该不等式的解集是．
故答案为：．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15、
【解析】
根据等比数列的通项公式求解公比再求和即可.
【详解】
设公比为,则.
故
故答案为：
本题主要考查了等比数列的基本量求解,属于基础题型.
16、3
【解析】
根据已知，用换元法，从外层求到里层，即可求解.
【详解】
令.
故答案为:.
本题考查函数的表示，考查复合函数值求参数，换元法是解题的关键，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
（1）化简集合，按并集的定义，即可求解；
（2）得，结合数轴，确定集合端点位置，即可求解.
【详解】
解：（Ⅰ）集合，
集合，
∴；
（Ⅱ）由，且，
∴，由题意知，
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
本题考查集合间的运算，考查集合的关系求参数，属于基础题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用与的关系可得，再利用等差数列的通项公式即可求解.
（2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
解：（1）因为，①
所以当时，，又，故.
当时，，②
①②得，，
整理得.
因为，所以，
所以是以为首项，以1为公差的等差数列.
所以，即.
（2）由（1）及得，，
所以

.
本小题考查与的关系、等差数列的定义及通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.
19、（1）；（2）（i）,（ii）见解析
【解析】
(1)根据题意，将问题转化为关于直线的对称点即可得到，半径不变，从而得到方程；
(2) (i) 设，由于弦长和距离都相等，故P到两直线的距离也相等，利用点到线距离公式即可得到答案；
(ⅱ)分别讨论斜率不存在和为0三种情况分别计算对应弦长，故可判断.
【详解】
（1）设，因为圆与圆关于直线对称，，
则直线与直线垂直，中点在直线上，得
解得所以圆.
（2）（i）设的方程为，即；
的方程为，即.
因为被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等，
所以到的距离与到的距离相等，即，
所以或.
由题意，到直线的距离，
所以不满足题意，舍去，
故，点坐标为.
（ii）过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
证明如下：
当的斜率等于0时，的斜率不存在，被圆截得的弦长与被圆截得的弦长都等于圆的半径；
当的斜率不存在，的斜率等于0时，与圆不相交，与圆不相交.
当、的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设、的方程分别为，即.
因为到的距离，
到的距离，所以到的距离与到的距离相等.
所以圆与圆的半径相等，所以被圆截得的弦长与被圆截得的弦长恒相等.
综上所述，过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
本题主要考查点的对称问题，直线与圆的位置关系，计算量较大，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.
20、（1）小时；（2）海里．
【解析】
试题分析：（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向，因为小时，所以．则物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里．在中由正弦定理可求得的值．（2）在中用余弦定理求，再根据二次函数求的最小值．
试题解析：解：

（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里，，
中，由正弦定理得：，即，
则．
（2）由（1）题设，，，
由余弦定理得：

∵，
∴当时，海里．
考点：1正弦定理；2余弦定理；3二次函数求最值．
21、（1）；（2）；
【解析】
（1）运用数列的递推式得时，，时，，化简计算可得所求通项公式；
（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】
（1）可得
时，
则
（2）数列满足，
可得，即，
前项和

两式相减可得
化简可得
本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．