2019高考数学(文)大一轮复习习题-第十章-算法初步、统计、统计案例-第十章-算法初步、统计、统计.doc

第十章算法初步、统计、统计案例
第一节算法初步

1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构及相应语句
名称
示意图
相应语句
顺序结构

①输入语句：INPUT　“提示内容”；变量
②输出语句：
PRINT　“提示内容”；表达式
③赋值语句：
变量＝表达式
条件结构

IF　条件　THEN语句体
　END　IF

　IF　条件　THEN
　语句体1
ELSE
　语句体2
　END　IF
循环结构
直到型循环结构

DO循环体
LOOP　UNTIL　条件
当型循环结构

WHILE　条件
循环体
　WEND

1．(教材习题改编)如图所示的程序框图的运行结果为________．

解析：因为a＝2，b＝4，所以输出S＝＋＝2．5．
答案：2．5
2．执行如图的程序框图，则输出的结果为________．

解析：进行第一次循环时，
S＝＝20，i＝2，S＝20>1；
进行第二次循环时，
S＝＝4，i＝3，S＝4>1；
进行第三次循环时，
S＝＝0．8，i＝4，S＝0．8<1，
此时结束循环，输出的i＝4．
答案：4

1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
3．易混淆当型循环与直到型循环．
直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．

1．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为(　　)

A．i＞7？　 B．i＞9？　　C．i＞10？　　D．i＞11?
解析：选A　∵21＋23＋25＋27＝170，∴判断框内应补充的条件为i＞7？或i≥9？．
2．如图所示，程序框图的输出结果是________．
解析：第一次循环：S＝，n＝4；
第二次循环：n＝4<8，S＝＋，n＝6；
第三次循环：n＝6<8，S＝＋＋，n＝8；
第四次循环：n＝8<8不成立，输出S＝＋＋＝．
答案：

1．(2016·北京高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(　　)
A．1　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B　开始a＝1，b＝1，k＝0；第一次循环a＝－，k＝1；第二次循环a＝－2，k＝2；第三次循环a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2．
2．定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则⊗的值为(　　)

A．4　　　　 B．3　　　　　
C．2　　　　　 D．－1
解析：选A　由程序框图可知，S＝
因为2cos＝1,2tan＝2,1<2，
所以⊗＝2(1＋1)＝4．

3．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝(　　)
A．7
B．12
C．17
D．34
解析：选C　第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，输出s＝17．
4．(2016·河南省六市第一次联考)如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是(　　)

A．k>3?
B．k>4?
C．k>5?
D．k>6?
解析：选C　依次运行程序框图中的语句：k＝2，S＝2；k＝3，S＝7；k＝4，S＝18；k＝5，S＝41；k＝6，S＝88，此时跳出循环，故判断框中应填入“k>5？”．

程序框图的3个常用变量
(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1．
(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i．
(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i．
　处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．

算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是高考的一大亮点．
常见的命题角度有：
(1)与概率、统计的交汇问题；
(2)与函数的交汇问题；
(3)与不等式的交汇问题；
(4)与数列求和的交汇问题．　　　 　

角度一：与概率、统计的交汇问题
1．(2016·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1)，在样本的20人中，记身高在＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值
解析：选C　初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3，第3次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21＋3＋22，k＝4．…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，故选C．

解决算法交汇问题的3个关键点
(1)读懂程序框图，明确交汇知识；
(2)根据给出问题与程序框图处理问题；
(3)注意框图中结构的判断．

1．(2017·南昌模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为(　　)
A．　　　 B．
C． D．
解析：选B　依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13,22,31,40,49,58,67,76，所以输出的x不小于40的概率为．
2．(2016·长春市质检)运行如图所示的程序框图，则输出的S值为(　　)

A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选A　由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为，故选A．
3．执行如图所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝________．

解析：第一次循环：y＝5，x＝5；第二次循环：y＝，x＝；第三次循环：y＝，此时|y－x|＝＝<1，故输出y＝．
答案：

设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是(　　)

A．13　　　　　　　　　 B．13．5
C．14 D．14．5
解析：选A　当填13时，i值顺次执行的结果是5,7,9,11，当执行到i＝11时，下次就是i＝13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×3×5×7×9×11，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13，故选A．

算法语句应用的4个关注点
(1)输入、输出语句：在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号，变量之间用逗号隔开．
(2)赋值语句：左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量．
(3)条件语句：条件语句中包含条件语句时，要分清内外条件结构，保证结构完整性．
(4)循环语句：分清“for”和“while”的格式，不能混用．

1．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)

A．25 B．30
C．31 D．61
解析：选C　该语句表示分段函数
y＝
当x＝60时，y＝25＋0．6×(60－50)＝31．
∴输出y的值为31．
2．按照如图程序运行，则输出K的值是________．

解析：第一次循环，X＝7，K＝1；
第二次循环，X＝15，K＝2；
第三次循环，X＝31，K＝3，X>16，
终止循环，则输出K的值是3．
答案：3

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈，则输出的s属于(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选A　当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈上单调递增，
在上单调递减．
∴s∈．
综上知s∈．
2．(2016·沈阳市教学质量监测)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，b＝－2，则输出的a的值为(　　)
A．16
B．8
C．4
D．2
解析：选B　当a＝－1，b＝－2时，a＝(－1)×(－2)＝2<6；a＝2，b＝－2时，a＝2×(－2)＝－4<6；当a＝－4，b＝－2时，a＝(－4)×(－2)＝8>6，此时输出的a＝8，故选B．
3．(2017·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是(　　)
A．20　　　 B．21
C．22　　　　 D．23
解析：选A　根据程序框图可知，若输出的k＝3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，S＝2×0＋3＝3，执行第2次时，S＝2×3＋3＝9，执行第3次时，S＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数a的取值范围是9≤a<21，故选A．

4．(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为(　　)
A．9　 B．18　　
C．20　　 D．35
解析：选B　由程序框图知，
初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，
第一次循环：v＝4，i＝1；
第二次循环：v＝9，i＝0；
第三次循环：v＝18，i＝－1．
结束循环，输出当前v的值18．故选B．
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知实数x∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为(　　)

A．　　　 B．　　　　
C．　　　　 D．
解析：选B　由程序框图可知，经过3次循环跳出，设输入的初始值为x＝x0，则输出的x＝2＋1≥103，所以8x0≥96，即x0≥12，故输出的x不小于103的概率为P＝＝＝．
2．(2017·长春模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的n＝7，则输入的整数K的最大值是(　　)

A．18 B．50
C．78 D．306
解析：选C　第一次循环S＝2，n＝2，第二次循环S＝6，n＝3，第三次循环S＝2，n＝4，第四次循环S＝18，n＝5，第五次循环S＝14，n＝6，第六次循环S＝78，n＝7，需满足S≥K，此时输出n＝7，所以18＜K≤78，所以整数K的最大值为78．
3．(2016·福建省毕业班质量检测)执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是(　　)

A．1　　　　　 B．2
C．8 D．9
解析：选C　由程序框图可知，其功能是运算分段函数y＝因为y＝3，所以
或或
解得x＝－2或x＝8，故选C．
4．

执行如图所示的程序框图，如果输入n的值为4，则输出S的值为(　　)
A．15 B．6
C．－10 D．－21
解析：选C　当k＝1，S＝0时，k为奇数，所以S＝1，k＝2,2<4；k＝2不是奇数，所以S＝1－4＝－3，k＝3,3<4；k＝3是奇数，所以S＝－3＋9＝6，k＝4,4＝4；k＝4不是奇数，所以S＝6－16＝－10，k＝5，5>4，所以输出的S＝－10，故选C．
5．(2017·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝(　　)

A．4 B．5
C．2 D．3
解析：选A　第一次循环，得S＝2，否；第二次循环，得n＝2，a＝，A＝2，S＝，否；第三次循环，得n＝3，a＝，A＝4，S＝，否；第四次循环，得n＝4，a＝，A＝8，S＝>10，是，输出的n＝4，故选A．
6．(2017·北京东城模拟)如图给出的是计算＋＋＋＋…＋的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(　　)

A．i＜50？　　　　　　 B．i＞50?
C．i＜25? D．i＞25?

解析：选B　因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i>50？．
7．如图(1)是某县参加2 016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在
1．(教材习题改编)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是(　　)
A．随机抽样　　　　　　 B．分层抽样
C．系统抽样 D．以上都不是
解析：选C　因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．
2．(教材习题改编)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
解析：设应从高二年级抽取x名学生，则＝．
解得x＝15．
答案：15

1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．
2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．
3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即．

1．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．
解析：总体个数为N＝8，样本容量为M＝4，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝．
答案：
2．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．
解析：每组袋数：d＝＝20，
由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列．
a61＝11＋60×20＝1 211．
答案：1 211

1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198
3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481

A．08　　　　 B．07　　　　　
C．02　　　　　 D．01
解析：选D　由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01．
2．下列抽样试验中，适合用抽签法的有(　　)
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：选B　A，D中的总体中个体数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B．
3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C　根据题意，＝，
解得n＝28．
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为＝．

简单随机抽样的特点
(1)抽取的个体数较少．
(2)是逐个抽取．
(3)是不放回抽取．
(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．

(2016·兰州市实战考试)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1 000．适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．若抽到的50人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为(　　)
A．12　　　　　　　　　　　 B．13
C．14 D．15
解析：选A　根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d＝＝20的等差数列{an}，∴通项公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1 000，得≤n≤，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做问卷C的共有12人，故选A．

系统抽样的3个关注点
(1)若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．
(2)抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变．
(3)如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．

1．(2016·江西八校联考)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为(　　)
A．480 B．481
C．482 D．483
解析：选C　根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482．
2．(2017·安徽皖北联考)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是(　　)
A．5 B．7
C．11 D．13
解析：选B　把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组，所以第1组抽到的数为39－32＝7．

1．(2015·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石　　　　　　　　 B．169石
C．338石 D．1 365石
解析：选B　设1 534石米内夹谷x石，则由题意知＝，解得x≈169．故这批米内夹谷约为169石．
2．(2015·福建高考)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
解析：设男生抽取x人，则有＝，
解得x＝25．
答案：25

进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系
(1)＝；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．

1．某地区有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．
解析：因为分层抽样也叫按比例抽样，所以应从小学中抽取×30＝×30＝18(所)，同理可得从中学中抽取×30＝×30＝9(所)．
答案：18　9
2．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量(件)

1 300

样本容量(件)

130

由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是________件．
解析：设样本容量为x，则×1 300＝130，
∴x＝300．∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，
∴y＝80．∴C产品的数量为×80＝800(件)．
答案：800

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验
解析：选D　A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．
2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为(　　)
A．50　　　　　　　　　　　 B．60
C．70 D．80
解析：选C　由分层抽样方法得×n＝15，解之得n＝70．
3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(　　)
A．10 B．11
C．12 D．16
解析：选D　因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16．
4．某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．
解析：设样本容量为n，则＝，n＝16．
则样本容量为16．
答案：16
5．为了了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为________．
解析：在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分段，k＝(N为总体的容量，n为样本的容量)，所以k＝＝＝40．
答案：40
二保高考，全练题型做到高考达标
1．从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为(　　)
9264　4607　 2021　3920　7766　3817　3256　 1640
5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814
2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815
5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702
9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488
A．76,63,17,00　　　　　 B．16,00,02,30
C．17,00,02,25 D．17,00,02,07
解析：选D　在随机数表中，将处于00～29的号码选出，第一个数76不合要求，第2个63不合要求，满足要求的前4个号码为17,00,02,07．
2．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9．现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是(　　)
A．72 B．74
C．76 D．78
解析：选C　由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76．故选C．
3．(2017·兰州双基测试)从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1
C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3
解析：选D　根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1＝p2＝p3．
4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为(　　)
A．800双 B．1 000双
C．1 200双 D．1 500双
解析：选C　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．
5．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区，从496到600在C营区，则三个营区被抽中的人数依次为(　　)
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
解析：选B　依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤，因此A营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得<k≤42，因此B营区被抽中的人数是42－25＝17，故C营区被抽中的人数为50－25－17＝8．故选B．
6．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．
解析：由题意可得＝，
解得z＝400．
答案：400
7．(2017·北京海淀模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．

解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0．5＋980×0．2＋1 030×0．3＝1 015．
答案：50　1 015
8．哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为________．
解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取＝12人．
答案：12
9．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：

初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0．19．
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
解：(1)∵＝0．19．∴x＝380．
(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：×500＝12(名)．
10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n．
解：总体容量为6＋12＋18＝36．
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，
分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，
技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝．
所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18．
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，
系统抽样的间隔为，
因为必须是整数，所以n只能取6．
即样本容量为n＝6．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)
A．100 B．150
C．200 D．250
解析：选A　样本抽取比例为＝，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则＝，故n＝100，选A．
2．(2017·东北四市联考)为迎接校运动会的到来，某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者(18名女志愿者中有6人喜欢运动)．
(1)如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队，求女志愿者被抽到的人数；
(2)如果从喜欢运动的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得医疗救护)，任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作，则抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率是多少？
解：(1)用分层抽样的方法，每个志愿者被抽中的概率是＝，
∴女志愿者被抽中的有18×＝6(人)．
(2)喜欢运动的女志愿者有6人，分别设为A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D懂得医疗救护，
则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，
其中2人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．
设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件K，则P(K)＝＝.

第三节用样本估计总体

1．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
(2)决定组距与组数；
(3)将数据分组；
(4)列频率分布表；
(5)画频率分布直方图．
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
3．茎叶图的优点
茎叶图的优点是不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．
　茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
4．样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
概念
优点与缺点
众数
一组数据中重复出现次数最多的数
众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征
中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)
中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
平均数
如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝
平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低

(2)标准差、方差
①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝ ．
②方差：标准差的平方s2
s2＝，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．

1．(教材习题改编)一组数据分别为：12,16,20,23,20,15,28,23，则这组数据的中位数是________．
解析：这组数据从小到大排列为：12,15,16,20,20,23,23,28，∴这组数据的中位数是＝20．
答案：20
2．(教材习题改编)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．

解析：由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0．040＋0．080)＝0．6，所以共有80×0．6＝48(人)．
答案：48

1．易把直方图与条形图混淆
两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的．
2．易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为．
3．在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．

1．如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．
解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86,86,90,91,93,93,93,96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是＝92．
答案：93　92
2．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为
1．如图是某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为(　　)

A．85,84　　　　　　　　 B．84,85
C．86,84 D．84,86
解析：选A　由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87，
所以平均数为＝85，众数为84．
2．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x，y的值分别为(　　)

A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
解析：选C　∵甲组数据的中位数为15＝10＋x，
∴x＝5．
又乙组数据的平均数为
＝16．8，∴y＝8．∴x，y的值分别为5,8．
3．(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是________．
解析：35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．
答案：4

茎叶图中的3个关注点
(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．
(2)重复出现的数据要重复