投针试验 王雪峰.doc

课题：第六章 频率与概率2．投针试验
课型：新授
授课人：枣庄十五中学东校 王雪峰
授课时间：2012年11月22日星期四
教学目标：
1. 能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．
2. 经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生的合作交流的意识和能力．
3. 培养学生实事求是的科学态度．亲历试验，提高学生学习数学的兴趣．
教学重点：能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．
教学难点：借助大量重复试验去感悟试验频率稳定于理论概率．
教法及学法指导：
教法：“试验—探究—归纳”法
学法：学生通过小组活动，亲自动手试验，主动探索，发现规律；互动合作、解决问题；使学生主体地位得以体现．让学生充分感悟多次试验频率稳定于理论概率这一事实．
教具准备：大头针，图钉，多媒体演示
教学过程:
一．感悟导入
[师]上节课我们介绍了用树状图或列表格的方法计算随机事件的概率．但这些方法也不是万能的。下面我们来看一个例子．比如掷一枚图钉，有几种结果?它们是等可能的吗?
[生]有“朝天”和“倾斜”两个可能结果，但我觉得这两个可能的结果不是等可能的.
[师]能不能说“朝天”的概率是，“倾斜”的概率也是呢?
[生]当然不能．
[师]再例如，掷一只瓶盖，也有“正”“反”两种可能，但出现的可能性相等吗?
[生]不相等．
[师]很好．这些随机事件的概率还能用树状图或列表格的方法计算吗？该怎样求？
[生]只有动手做大量的试验．因为我们知道：当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率．
[师]看来，有些事件发生的概率只有亲自做很多次实验了．
二．合作探究
试验一：从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能钉帽着地．你估计哪种事件发生的概率大?
试验目的：利用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”来估计某一事件发生的概率．
试验方式：小组合作交流，全班汇总实验数据，交流研讨．
试验工具：形状、大小完全相同的图钉．
试验步骤：1．分组：每组6人．
2．每组每人做10次实验，根据实验结果，
填写下表的表格：
实验结果
钉尖着地
钉帽着地
频数

频率

3．根据上表你认为哪种情况的频率较大?
4．分别汇总本小组其中两人、三人、四人、五人、六人的实验数据，相应得到实验40次、60次、80次、100次时钉帽着地的频率，填写下表，并绘制折线统计图．
实验次数
20
30
40
50
60
钉帽着地的频数

钉帽着地的频率

5．汇总全班各小组其一个组．两个组、三个组、四个组……的实验数据，相应得到实验120次、180次、240次、360次……时钉帽着地的频率.
6．估计钉帽着地的概率．
注意：①图钉必须从一定高度自由落下，保证着地时的随机性；②组内同学合作时要进行适当的分工；③体现学生的自主性，实验活动以及实验数据的汇总等都可以由学生白行组织完成；④教师认真评价学生合作交流的意识和能力，学生的思维水平，学生的动手能力等.
[师生共析]我们一同来研究一下，掷一枚图钉时，出现“钉帽着地”这一结果的概率．
将图钉掷200次，每掷20次，统计一下两个组同学“钉帽着地”这一结果出现的次数，并算出相应的频率，如下表．
将统计数据(“钉帽着地”的频率)
实数累计次数
出现“顶帽着地”的次数
出现“顶帽着地”的频率
20
9
45％
40
25
62.5％
60
30
50％
80
46
57.5％
100
61
61％
120
71
59.2％
140
80
57.1％
160
90
56.3％
180
102
56.7％
200
113
56.5％

从图中可发现，“顶帽着地”的频率开始“摆动”得很厉害，随着试验次数的增加，这个
频率就开始比较稳定了，最后大致在56.5％左右摆动．由此我们可以估计“顶帽着地”的概率约为56．5％，即0.565.
[师]在数学的历史上，有一个较为著名的投针实验：
平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离为a，向此平面任投一长度为l(l<a)的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交．
相交和不相交的可能性相同吗?你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗?
[生]相交和不相交的可能性不相同，由于结果的可能性不同，因此这个事件的概率也不能列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率．也必须用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”来估计该针与平行线相交的概率．
[师]很好，我们还是分组活动．
试验二：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都是a，向此平面任投一长度为l(l<a)的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们不相交，估计针与平行线相交的概率．
试验目的：利用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”，并据此估计针与平行线相交的概率．
试验方式：小组交流，全班研讨的方法．
试验工具：每组学生要在平面上画有相同距离“的一组平行线，并且有长度都为l的针(l<a)．要求针必须粗细均匀．
活动步骤：1．分组，两人一组．
2．取一张白纸，在上面画一组平行线．它们之间的距离为2厘米，另外准备一根1厘米长的针．在纸下面垫一层软布，使针落在纸面上时不会弹跳起来．
3．每组至少完成50次实验，分别记录下其中相交和不相交的次数．
4．统计全班的实验数据，估计针与平行线相交的概率．
活动效果：在具体实验的过程中，要求每组学生都确定相同的l和a，而对于针可由教师统一准备．这样做是因为如果l和a取不同的值，实验结果是不同的．那样全班就无法统计数据．为了保证随机性。要求学生从一定的高度随意抛针．两个同学适当分工，使学生自主活动，汇总实验数据．此外，在实验过程中，有时针与线是否相交较难判断，学生可能为此发生一些争执，教师可以适当地加以指导，如建议学生忽略这次实验或者认为相交、不相交各计半次，等等．避免学生过多地停留于此.
[师]请同学们在用实验获得的数据估计针与平行线相交的概率的同时，用计算器计算实验总次数除以直线与平行线相交的次数，你会有什么惊人的发现?
[生]得到的商好像是π的近似值.
[师]很好!其实这件事绝非偶然．请同学们打开书阅读“读一读”——投针实验．
[师]“读一读”中提到的蒙特卡罗方法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，它将所求解的问题与一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，因此又称为统计模拟法或统计试验法．
三、巩固训练
随便说出3个正数，以这3个数为边长一定能围成一个三角形吗?一定能围成一个钝角三角形(其中最大边的平方大于另两边的平方和)吗?估计能围成一个钝角三角形的概率．
设计意图：使学生会设计试验估算随机事件的概率,提高分析解决问题的能力.
四、 归纳小结
这节课我们学会了用实验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率，并亲自体验到了“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”．经历实验、统计等活动过程，在活动过程中，同学们都能积极参与到数学活动中去，合作意识和思维能力及思维水平得到了不同程度的提高，了解了蒙特卡罗方法，
五、 课后作业
习题6．3
六、板书设计
6.2 投针试验
1频率与概率
2图钉试验
3大头针试验
4归纳小结

教学反思：
通过学生分组合作进行的抛图钉及投针的试验激发了学生的学习兴趣,提高了学生合作交流的能力,通过学生亲身试验,分析,归纳更好的体会了在大量试验的情况下概率稳定在频率附近这一性质. 在试验过程中，有时针与线是否相交较难判断，学生为此发生一些争执，可以进行适当的指导，如建议学生忽略这次试验或者认为相交、不相交各计半次等，避免学生过多地停留于此．但由于学生人数较多,试验时间较长,个别学生没能完全投入,今后要注意改进.